Tự chọn : Chủ dề về căn bậc hai

KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP A.. Dạng về tính toán liên quan đến căn thức : Với dạng này khi làm bài tập cần thực hiện các phép biến đổi đơn giản về căn thức để rút gọn các

Chủ đề 1 : CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa về căn bậc hai : a ∈ R và a ≥ 0

x = a ≥ 0 gọi là căn bậc hai số học của a ⇔ x2 = a

Từ định nghĩa trên cho ta biết : Với mọi số dương ta đều viết dưới dạng bình phương của một số không âm Có nghĩa là nếu a ≥ 0 thì ( a )2 = a

2 Căn thức bậc hai :

Điều kiện để A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

Từ đó ta có : nếu A ≥ 0 thì ( A )2 = A

Hằng đẳng thức : A2 =A = A neu A 0−A neu A 0≥<



3 Quy tắc biến đổi căn thức : A ≥ 0 , B > 0

a A B= AB Từ đó suy ra A B A B2 =

b AB A

B

= Từ đó suy ra A AB

B = B và

A AB B

B =

II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

A Dạng về tính toán liên quan đến căn thức :

Với dạng này khi làm bài tập cần thực hiện các phép biến đổi đơn giản về căn thức để rút gọn các biểu thức

Bài 1 : Tính

a 3 18− 32 4 2+ + 162 b 2 48 4 27− + 75+ 12

c 80+ 20− 5 5 45− d 3 32− 128+ 18

Bài 2 : Tính

a (5 2 3) (3 2 3)− 2− + 2 b ( 5+ 2) (2 5 1)(2 5 1)2− + − − 40

c ( 2 1)2 3 ( 2)2 4 2 111 2

− − − + + d ( 5+ 3 2)( 5− − 3 2)+ + 48

e  6 3 3 5 2− + −12 8 2 6 5 3÷ −

2 3 3 2− +2 6 3 24+

Bài 3 : Chứng minh rằng

a 43 3+ 2+ 313÷÷ 1,2+ 2 4− 15÷÷=4

b 32 6 2+ 23 −4 32÷÷3 23 − 12− 6÷÷= − 2

c 1 2 (15 2 6) 201

5 2 6 5 2 6

Bài 4 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a ( ) (2 )( ) ( )2

6− 3 − −1 3 3 1 3 2 1+ + +

b ( ) (2 )( ) ( )2

7 14 1 7 7 1 3 3 6

5 2 3 5 2 3+ − − 14 3 1 7 1,5− − − 2

3 2 4− − −4 2 2 28+ − 3 5 4 2 3 5 4 2− +

A Phân tích ra thừa số

Bài 1 : Viết các biểu thức sau thành tích :

a 5+ 5 b 5 3 3 5− c 5 2 6− d 14 6 5−

e ab 2 a 3 b 6+ − − f x2− x ( x > 0)

g x x 2x 9 x 18− − + ( x > 0) h x 3 x 2− + ( x > 0) i x 3 x 2− + ( x > 0)

k 6 xy 4x x 9y y 6xy− − + ( x > 0 , y > 0)

Bài 2 Giải phương trình

a x 4 5 x+ =

b 2x x 3x 4 x 6 0− + − =

c x 2 x 1 9− − =

d x 3 x+ = −4

Bài 3 : Rút gọn các biểu thức sau :

a a 3

a 9

−

a 2 a 1

a 1

− c 4 4 a a4 a

− d x 5 x 4x 16

−

e x 5 x 6

x 3

2 15 2 10 6 3

2 5 2 10 3 6

− − + g a a b

b b a

ab 1

−

B Rút gọn biểu thức dạng a2 = a

Để áp dụng công thức trên ta cần xem xét biểu thức dưới dấu căn để đưa biểu thứ dưới dấu căn về dạng bình phương của một biểu thức

Ví dụ : 8 2 15+ ta để ý thấy ( ) ( )2 2

2 15 2 5 3 va8= = 5 + 3 cho nên

8 2 15+ = 5+ 3 vì vậy ( )2

8 2 15+ = 5+ 3 = 5+ 3 + Khi rút gọn cần để ý đến dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức ( Không được dùng máy tính bỏ túi)

a ( ) (2 )2

2 5− + 2 1− b ( ) (2 )2

7 2− − 7 1+

c 5 2 6− + 5 2 6 ( 3 1)+ − − d 15 6 6− + 15 6 6+

e 14 6 5+ − 14 6 5− f 29 12 5+ − 12 5 29−

Bài 2 : Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức

a 2x− x2+4x 4+ với x = 3 , x = -5

b x− x 4 x 4− + với x = 4 ; x = 3 2 2−

c 2x 3+ − 4x 12x 92− + với x = -2 và x = 18

Bài 3 : Cho biểu thức A = 2x 7+ − 4x 12x 92− +

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của biểu thức A với x = -2 , x = 4,5

c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Hướng dẫn giải :

a A = 2x + 7 – 2x - 3 

Nếu x > 1,5 thì A = 2x + 7 – 2x + 3 = 10

Nếu x = 1,5 thì A = 10

Nếu x < 1,5 thì A = 2x + 7 – (3 – 2x) = 4x + 4

b Với x = -2 < 1,5 thay vào A = 4(-2) + 4 = -4

Với x = 4,5 > 1,5 thì A = 10

c Theo trên ta có A = 10 với mọi x ≥ 1,5

Với x < 1,5 - > 4x < 6 == > 4x + 4 < 10 hay A < 10 với mọi x < 1,5

Vậy A ≤ 10 với mọi x Hay giá trị lớn nhất của A là 10 với mọi x ≥ 1,5

Bài 4 Cho biểu thức A = 2x 9x2 6x 1

1 3x

+

−

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của A với x = -3

c Với giá trị nào của x thì A = 4

Bài 5 : Giải phương trình

a 1 12x 36x− + 2 =5 b 25 10x x− + 2 +3x 8= c x 2 x 1 2 x 1 3− − = − −

Hướng dẫn giải câu : Cần rút gọn các biểu thức , sau đó đưa về giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

(b) Sau khi biến đổi ta được 5 - x + 3x = 8

Nếu x ≤ 5 thì 5 – x + 3x = 8 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5

Nếu x > 5 thì x – 5 + 3x = 8 ⇒ 4x = 13 ⇒ x = 3,25 ( loại vì x < 5)

Vậy x = 1,5 là nghiệm của phương trình

( c)

x 2 x 1 2 x 1 3

x 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1

⇒ x 1 1 2 x 1 3− − = − −

Nếu x ≥ 2 thì x 1 1 2 x 1 3− − = − − ⇒ x 1 2− = ⇒ − = ⇒ =x 1 4 x 5

Nếu 1 ≤ x < 2 thì 1− x 1 2 x 1 3− = − − ⇒ 3 x 1 4 x 1 4 x 27

− = ⇒ − = ⇒ = ( loại vì x < 2 )

C Giải phương trình có chứa căn thức :

Phương pháp chung là

Nếu có dạng A = B ⇔ A = B ( A , B không âm)

Nếu có dạng A B= thì A = B2 ( B ≥ 0 )

Trong biểu thức có nhiều căn thức có thể bình phương nhiều lần để đưa về một trong các dạng trên Trước khi giải phương trình cần tìm điều kiện xác định của các căn thức

Bài 1 : Giải các phương trình sau

a x 2− = 5 b 9x 9+ − x 1+ = 2x 6+ c 4x 2− = 2x 4−

Gợi ý câu (b) : ĐKXĐ x ≥ -1 Gợi ý câu (c) ĐKXĐ : x ≥ 2 9(x 1) x 1 2x 6

3 (x 1) x 1 2x 6

2 x 1 2x 6

4x 4 2x 6 x 1

4x 2 2x 4 4x 2 2x 4

x 1

⇒ = −

Vậy x = -1 ( loại vì x ≥ 2) Vậy phương trình vô nghiệm Bài 2 : Giải các phương trình sau

a x2 + = +5 x 1 b x2 +2x 4 x 1+ = − c 2x 5 5 x+ = −

d 2x 5 2

x 1+ =

− e x2 −8x 17 x 3+ = + f 2x 1+ + x 3 4− =

Hướng dẫn giải

C ĐKXĐ -2,5 ≤ x ≤ 5

5

x 2−

⇒ x(x-10) – 2(x –10) = 0

(x –10)(x – 2) = 10

⇒ x = 2

hoặc x = 10 , mà x = 10 bị loại vì x < 5

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

f ĐKXĐ x ≥ 3 2x 1 4+ = − x 3− , bình phương hai vế ta được 2x + 1 = 16 8 x 3 x 3− − + −

2 2

16 8 x 3 x 3

8 x 3 13 x 2x 1

8 x 3 12 x voi x 12 64(x 3) (12 x)

x 88x 336 0 (x 4)(x 84) 0

nên x = 4 và x = 84 , nhưng x < 12 cho nên x =

84 loại Vậy nghiệm của phương trình là x = 4

D Một số dạng khác

Bài 1 : Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất )

a M = x 3 x 2− − b y = 3 x x− c A = x 4− + 6 x−

Hướng dẫn giải : Với biểu thức kiểu như hai câu a , b ta viết biểu thức về dạng : m ± ( ax+b)2

Nếu có dạng m + ( ax + b)2 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu có dạng : m – (ax + b)2 thì biểu thức có giá trị lớn nhất là m

Hướng dẫn giải a M = x 3 x 2− − =

2

3 9 9

2 4 4

3 17 17

Giá trị nhỏ nhất của M là – 3,75 khi x = 9/4

b y = 3 x x−

( )2

2

9 x 2 x.3 9

17 x 3 17voi moi x 0

Giá trị lớn nhất của biểu thức y là 3,75 khi x

= 9/4

d A = x 4− + 6 x− ĐKXĐ : 4 ≤ x ≤ 6 Trước hết ta có ( a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

Aùp dụng bất đẳng thức trên ta có

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 5 ( lưu ý dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 6 – x ⇒ x = 5

Bài 2 : Tìm các giá trị nguyên để cho biểu thức A = x 3

x 2

+

− nhận giá trị là các số nguyên

Ta viết A = 1 + x 25

− , để A ∈ Z thì

5

x 2− ∈ Z

Cho nên x 2− là ước của 5 , mà Ư(5) = {± 1 ; ± 5 }

Nếu x 2− = 1 ⇒ x = 9

Nếu x 2− = - 1 ⇒ x = 1

Nếu x 2− = 5 ⇒ x = 49

Nếu x 2− = - 5 ⇒ không có x thỏa mãn

Vậy x ∈{ 1 ; 9 ; 49 }