Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2

Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LE TH] HUONG - Th.S HO XUAN THANG

Phân loại và phương pháp giải

cac dang bai tap 7 TOS)

Se (Chương trình nâng cao)

b

<4 i ry * Tóm tắt lí thuyết * Phân loại

và phương pháp giải các dạng

nhién va ban Co sé NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LÊ THỊ HƯƠNG - Th.§ HỒ XUAN THANG

* Phân l0ại các tlạng tuán

* Phưững pháp giải hài tập tác tạng hải tập mẫu

* Bai tap ap dung tw gidi

Be

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC-GHỐC-GIA-HÀ NÔI

MUC LUC

Chương I! Y€ÊTỠ cossitrteotgiiasdtSGL300RSISSSSESHGIEHEREAYSSEiSfuiSRlsa 3

Dang 1: Chứng minh đẳng thức vectơ -5555:-+2 5 Dạng 2: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương `

Hướng dẫn - lời giải - đáp số

Chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài ¡: Tích vô hướng của hai vectơ

Dang 1: Cac bài toán liên quan đến tích vô hướng

Dạng 2: Xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đăng thức vcectơ Chi tƯỔC bcsccnnikinbiEE114011110 0163111104 015016146111408116035146051600S0312953886158840/50648 28 Dạng 3: Dùng phương pháp vectơ để giải một số dạng bài toán bhinh học phăng

Bài 2: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3: Một số ứng dụng của tích vô hướng

Hướng dẫn - lời giải - đáp số .- :cc2555cccccvsrvrrerrrrrrrrrrrree

Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 5: Đường tròn sec nhe 104

* Jectơ là đoạn thăng định hướng

— Một điêm., được xác định là điêm sóc (điểm đâu), còn điểm kia là diém ngọn (diém cudi)

~ Hướng từ điểm góc đến điềm ngọn là hướng của vectơ

~ Độ dài của đoạn thang goi là độ dài của vectơ

* Kí hiệu: Vecto cé điểm gốc 1, điểm ngọn B kí hiệu AB

Độ dài vector AB kí hiệu là |AB)|

Đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB

* Vecto khong kí hiệu O la vecto:

~ Có điềm gốc và điểm ngọn trùng nhau

— Có hướng bắt kì

~ Đồ dài bằng 0

2 Vectơ cùng phương, cùng hướng

* Hai vect AB và CD được gọi là cùng phương kí hiệu:

AB/CDc AB//CD - (giá của chúng song

A,B,C,D thăng hàng song hoặc trùng nhau)

* Hai vect AB và CD được 8oi là cùng hướng kí hiệu:

<n, s= JAB/GD

AB 1 CD c J^B/CP :

Tia AB,CD cùng hướng

* Hai vecto AB va CD được gọi là ngược hướng kí hiệu:

AB 1L €B© AB//CD

Tia AB,CD ngược hướng

3 Vecto bằng nhau, đối nhau

* Hai vecto AB va CD được gọi là bằng nhau, kí hiệu:

Cho 2 vecto a va b Lay mét diém A tu y, ve AB=a.BC `=b

Vecto AC được goi la téng cua 2 vecto a va b Kí ! hiệu

AC =AB+BC=a+b

b Các quy tặc

* Quy tắc 3 điểm: Với 3 điềm A, B, C bắt kì ta luôn có AB+BC = AAC

* Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta luôiôn có

AC=AB+AD

c Tinh chất của phép cộng vecto’ `

V6i moi vecto a, b.€ ta có

Cho hai vecto a,b Ta goi vector a+(-b) là hiệu cua hai vwecto

a,b va ki hiéu a-b

Như vậy: a-b=a+ (-b)

b Quy tắc

Cho hai vectơ AB, với mọi điểm Ó bát kì ta có: AB =OB—=OAA

II PHÉP NHÂN MỘT SÓ VỚI MỘT VECTƠ

2 Tính chất của phép nhân một số với một vectơ

Lới mọi vectở a.b, với mọi số k, h ta có:

~ A,B, C thang hang œ AB =kAC, k #0

4 Tính chất các trung điễm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

~ Quy tắc 3 điểm: AB+BC=AC, AC-AB=BC, véi moi A, B.C

~ Quy tắc hình bình hành: AB+ AD=AC với ABCD là hình bình

hành

~ Quy tắc trung điểm: MA + MB= 2MI, với l là trung điềm của AB

~ Quy tắc trọng tâm: GA + GB+GC =0, với Ở là trọng tâm AABC

~ Các tính chất của các phép toán

2) Thuc hién các phép biến đôi theo một trong các hướng sau:

- Biến đổi về này thành về kia của đẳng thức (thông thường lùà xuấ phát từ về ¿ phức tạp biến đổi rút gọn dé đưa về về đơn giản hơn)

~ Biến đồi đẳng thức cần chứng mình về tương đương với 1 đăngg thức hăng đúng

~ Xuất phát từ 1 đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đăng thứức cải ching minh

Bail: Cho 4 diém A, B, C, D Chitng minh rang:

Bai 2: Cho AABC va G Ia trong tam AABC

a Chitng minh rang MA+MB+MC =3MG

b Tìm tập hợp điểm M sao cho MA+MB+MC =0

Suy ra tập hop M thoa MA +MB+MC =O la {G}

Bai 3: Cho AABC cé D, E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA

A ang GAs BE=-=GB; CF

Suy rà AB+ BÉ + Cf - (GA +H GC) -

b Với mọi điểm Mtacó: MA+MB=2MF

MB+MC =2MD

MC +MA =2ME

Suy ra: 2(MA+ MB+ MC) = 2(MF + MD + ME)

Vay: MA +MB+MC =MD+ME+4MP

Bài 4: Cho AABC va G, H, O lan luot là trọng tâm, trực tâm, tâm cđiường

tròn ngoại tiếp của tam giác Gọi D là điêm đôi xứng của 1 qua O CClhing mình răng:

ec OH=OA+0B+0C =30G (xem bai 2)

Cho tứ giác ABCD Gọi E, Flam lượt là trung điêm của AB, CID; O

là trung diém của EE Chứng mình rằng:

a OA+0B+0C+0D=0

Bài 7: Cño AABC Goi M là trung diém cua AB và N la diém trén canh AC

sao cho NC = 2NA Goi K la trung diém cua MN

Bai 9: Cho AABC Trén caunh AB, AC lay cdc diém M, N sao cho Min =a

MA =b Hai đường thăng CM và BN cắt nhau tại l Chứng mình rằn

Suy ra AE =alB

Tương tự ANAF ~ NCI

nên AF = blC

Lừ đó suy ra: Al= alB+blC

DANG 2: BIEU THI MOT VECTO THEO HAI VECTO KHONG CUNG PHUONG

Phương pháp:

Sư dụng quy tắc ba điềm phối hợp với các tính chất của các phép toán vecfơ dé biéu thi vecto cần biêu diễn theo hai vecto không cùng phương cho trước

Bail: Cho hình bình hành LBCD tâm O Đặt AO=a, BO=b Hãy biểu

diễn các vectơ AB BC, CD và DA theo hai vecto a,b

Giải:

BC = BO+OC =b+a CD=-AB=b-a

DA =-BC =-b~a

Bai 2: Cho AABC co trong tam la G H la diem đối xing ctia B qua G Goi

M la trung diém cua BC Dat AB=b, AC =c Biểu thị các vectơ AH,CH

AB- AC

1 3°

Bai 3: Cho hinh bình hanh ABCD co M N la trung diém của các cạnlh DC

DA dit AM=a, BN=b Biéu dién cdc vecto AB: BC: CD: DA: AC; BD theo 2 vecto a,b

eS

AC = AB+AD=—a- cb

BD = AD- AB = $5

Bài 4: Có 110C Gói Tà điểm trên canh BC sao cho 2C] — 3BT, gọi J là

điề phần kéo dài của cạnh BC sao cho 3JB — 2C:

Bài 2: Cho 4 diém A B, C, D tuy ý M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

cac doan thang AC, BD, AD va BC Chứng minh rang:

b AB-CD=AC-BD=2PQ

Bai 3: Cho AABC, bên ngoài AABC ta vé cac hinh binh hanh ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh R]+IQ+PS=Ø

Bài 4: Cho AABC có [ là trung điểm BC Trên 2 cạnh AB AC lấy các diém

D, E sao cho DA = 2DB; EC = 3EA Goi J là trung điêm của DE (Clhứng minh rang

Bai 6: Cho AABC Goi I, J, K là các điểm xác định bởi 2lB+3IC =O:

21C+3JA =0; 2KA+3KB=0 Chimg minh rang hai tam giác A'BC và

IJK co cùng trọng tâm

Bài 7: Cho I, J là trung điểm của đoạn AB, CD M, N là các điểm xátc định

bởi MA+kMC =0: NBR+kND =0 (k#~1) Gọi O là trung điểm của đoạn

OIl+kOl =0

b Gọi P, Q là các điểm sao cho PA+kPD=0 QB+kQC =0 Ching minh O la trung diém cua PQ

Bai 8: Cho AABC và | 1a tam đường tròn nội tiếp tam giác đó Gọi a, b, c là

độ dài các cạnh Chứng minh rằng alA +bIB+clC =0

lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác đó Chứng minh rằng:

a(b+c)AM + b(e +a)BN +c(a + b)C CP =0

Bài 10: Cho AABC Gọi HH là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng:

tgA.HA + tgB.HB + tgC.HC =0

Bai 11: Cho AABC N là điểm sao cho CN =—BC G là trọng tâm AABC J

2

Biéu thi AC theo AG va AN

Bai 12: Cho AABC co D, E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA

và AB Đặt BE=a CF =b Biểu diễn các vectơ AB BC.CA và ADtheo

a và b

Bài 13: Cho AABC, | là điểm trên phần kéo dài cua AB sao cho IA = 21B, J

la diém nam trên cạnh AC sao cho 3JA = 2JC Biểu thị vectơ IJ theo

b Dat AG =a; AH =b Tinh AB, AC theo a va b

Bai 16: Cho luc giác đều ABCDEE Đặt u = AB; v= AF Biểu thị các vectơ

BC, CD, DE EF, AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF theo u và v

Bai 17: Cho tt gidc ABCD Goi M, N, E, F là các điểm sao cho

AM = pAB, DN = pDC, AE = qAD, BF = qBC MN cat EF tai O Tinh EF

theo EM va EN

15

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD Goi M, N là các điểm nam trém doan

AB va CD sao cho AM = ~AB, CN = 2DC

J

a Tinh ANthco AB=a, AC =b

Tinh Al, AJ theo a, b vam,n

d Xác định m dé AI đi qua G

16

HƯỚNG DAN - LỜI GIẢI - DAP SO

Gọi G G' lần lượt là trọng tâm 2 tam giác ABC và LIK

Khi đó: 2IB+31C =0 = 2(Iổ +GB)+3(Iổ+G€)=0

Tương tu: QB+kQC =O > (k +1)0Q =OB+kOC

Từ đĩ suy ra: (k+1)(OP+OQ)=(OA+0B]+k(OD+OC)

=2Ưl+2kOJ = 2(Oï+k07)=Ø => OP +0:1Q =6

Vậy O là trung điểm của PQ

Bài 8

Gọi D và E lần lượt là chân các đường phân giác của AARC lkẻ từ B

và C Dung Ax song song BD cat CE vaM Dung Ay song song CE cat

Dựng Bx song song với NC cắt AM tại E

Dung By song song voi MA cat CN tai F

Mặt khác: BH = BE + BF =

19

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả AD+BE+CF =0

Suy ra: AD =-a-b enh aD Po

c Tacó: AI=AB+BI = AB+mBC = AB +m(AC -AB)

1-3mn =0 n=— 11

18

22

Cho 2 vecty a#0; b#0 Ldy một diém O ty y VE

OA =a; OB=b Gée AOB duoc goi là góc giữa 2 vectơ a.b ki

Tích vô hướng của hai vectơ a va b la mot số, kí hiệu a.b va

được xúc định nhự sau: a.b = fale cos(a b)

Nhận xét Ưới a ta có: a0=0a =0

* Néu a=b, khi dé aa kí hiệu a gọi là bình phương vô

Mtong cua vecly a

* Taco a#0,b#0: alboab=0

b Tính chất của tích vô hướng

Lới mọi vectơ a,b,c va sé k taco:

B CAC DANG TOAN

DANG 1 CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN TICH VO HUONG

Phuong phap:

1 Bài toán 1: Tinh tích vô hướng của các vectơ Sử dụng các công thức:

# a-b =|al-[b].cos(a,b)

* Các tính chất của phép toán tích vô hướng của hai vectơ và các

hãng đăng thức vê tích vô hưởng như:

(s+B)=|[Ï+|ll+248; (a+b.a-b=a -b”

* ab=ab' Trong đó b_ là hình chiếu của b lên gid cua a

2 Bài toán 2: Chứng mình các đăng thức về tích vô hướng Sử dụng :

„ : Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng phối hợp với các quy tặc về các phép toán vectơ

Bài 1: Cho tam giác đều ABC canh bang a Tinh:

a ABAC; ABBC; BC.CA

=AB AD cos120° = a.a.cos120” = >

Ta có thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tac-3 điển

BCCA =(A€- AB).(~A€) = ~AC” + AB.AC

24

Bài 2: Cho A4B8C với AB = 5cm: BC - “cm: C4 = 8cin

a Tinh AB.AC Suy ra số do cua góc Á

CA sao cho CD = 4em

25

4

Suy ra: cos (CA, cB)= |c? Al CB = 87 14

Ma D nam trén canh CA nén (CD, CB)=(CA CE B)

Do vay CD.CB = Icpjcn| cos|CA.CÍ CB] =4 = gis

Bài 3: Cho hình vuông

ABCD canh a, tam O M la

diém tu) ý trên đường nội

tiếp hình vuông và N là điểm

= MO +MOOA+MOOB+OA.OB+MO “+MOOD +MOOC+OCOD

= 2MO? +MO[OA+OB+OC+OD]+OA.OB+OC.OD

2

= amo? = = (vi OA+0B+0C+0D=0 va OA L OB; OC L OD

nên OA.OB = OC.OD =0)

b Tacé: NA.AB=BA.AB=-AB.AB=-AB?=

2

NO.BA = BLBA = 28 a=~- (với Ï là trung điểm của Al3)

a

Bài 4: Cho 4 diém A, B, C, D bat ki Chitng minh rang:

a AB.CD+AC.DB+ AD.BC =0 (hệ thức Euler) Suy ra 3 đường cao

của một tam giác thì đồng quy

b AD? + BC? -AC - BD’ = 2 ABCD

a Tacé: AB.CD+AC.DB+AD.BC

26

- AB(AI~ A€)+ AC[Ali=AB]+ AB(A€ - AB)

= AB.AD~ AB.AC+ AC.AB-~ ACAD+ AD.AC- AD.AB =0

Gọi H là giao điểm của 2 đường cao xuất phát từ B vả C của

AA BC Khi dé ap dung hé thite Euler doi voi 4 diém H A, B.C ta eG:

HA.BC +HB.CA +HCBA

Nén HB.CA =HC.BA = 0

Suyra: “HA

Do đó HA 1 BC hay HA là đường cao của AABC

Vậy 3 đường cao AABC đồng quy tại một điểm

b Tacé: AD? +BC?-AC?-BD? =AD -AC +BC -BD"

= (AD +AC).CD + (BC + BD).DC

(AD+AC-BC-BD).CD (AD +DB+AC+CB).CD = (AB+AB).CD

~ 2AB.CD

Bai 5: Cho AABC cé AM AH lan A

lượt là trung tuyên và đường cao

của lam giác ứng với cạnh BC

b Tacé: AB?+AC?=AB +AC

= (AM +MB)? +(AM + MC)?

= (AM+MB)' +(AM-~MB)°

= 2AM +2MB” =2AM” +2MD”

= (AB-AC)(AB+ AC) = CB.2.AM = 2CB.HM= 2BC.MH

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐIÊM HAY TẬP HỢP DIEM THOA MAN

DANG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC

Phương pháp:

1 Xác định điểm M thoả mãn một dang thirc vecto cho trudc:

~ Ta bién đổi đăng thức vectơ cho trước về dạng OM=v trong đó điểm Ó và vectơ V đã biết

— Khi đó điêm M hoàn toàn xác định

2 Xác định tập hợp điểm M thod man đăng thức vectơ cho trước Ta có thể biên đôi đăng thức đã cho về một trong các dạng:

~ Nếu |AM| = R (R la hang số) thì tập hợp các điểm M là đường tròn

tâm A, bán kính R (Nếu R > 0); M =A (Nếu R ~ 0); Là tập rỗng (Nếu

—Nếu MA =kBC (A, B, C cho trước) thì tập hợp điểm M là:

+ Đường thẳng qua A song song với BC nếu k € R

+ Nita đường thăng qua A song song với BC theo hướng BC v6i

keR'

+ Nửa đường thăng qua A song song với BC theo hướng ngược với BC với k e R”

28

3 Xúc định tập hợp điểm thoa mãn đăng thức của tích vô hướng

- 1u có thẻ biến đôi đăng thức tích vô hướng dã cho về một trong các

dụng (ngoài những trường hợp trên)

-/iểu MA.MB =0 (4, B cố định) thì \ thuộc đường tròn đường kính

AB

-/ếu MILAB =0 (H cố định, AB veetơ không đôi) thì tập hợp M la

chường thằng A qua I vudng goc AB

Bail: Cho AABC

a Xúc định diém M thoa man MA + MB+2MC =0

b— Xác định diém N thod man NA -2NB+3NC = 0

c Aúe định điểm P thoa man CP =KA+2KB-3KC (i K là điểm

(Vì A.B.C cho rước nên a=CA z2CÍ3 xúc định Vậy tập

hop P thoa CP =CA+2CB

29

Bài 2: Cho tam giác đều 4BC cạnh bằng a

Goi I 1 điểm sao cho 1B +2IC = va IC=5: B= ` 3

Khi do: (1) <> -3MP = IB? + 21C? -k

Suy ra: MI? 2 3k=2a"

Nén 3NG? => NG? =a’ hay GN=a

Vậy tập hợp điểm N là đường tròn tâm G bán kính là a

Bai 3: Cho nt gide ABCD

a Xác định điểm O sao cho OB+40C = 20D ()

Vậy tập hợp M là đường trung trực của đoạn thăng OA

Bài 4: Cho A4BC vuông tại A Điểm M bắt kì nằm trong tam giác có hình

chiều xuống BC CA AB theo thứ tự là D, E, F

Goi [1a trung diém cla AD

Khi đó: MD+MA =2MI

Vay 'MD+ME+MF =2MI

B

Để MI)+ ME + ME cùng phương với BC thi MI//BC

Suy ra: MI//PQ (PQ la đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC) A

Suy ra: == Lees |

Vay M là đường trung trực của MD va vi M'H= 2 NÓ = BI Na

2 nên MD =—AH

3 Tóm lại M nằm trên đường thăng seng song với BC cách BC một khoảng bằng SAH nhưng trừ những điểm năm phía ngoài AABC

Bài 5: Cho điểm A, B cố định voi AB = a

a Tim tap hop điểm M sao cho: MA +MB.AB =a?

b Tìm tập hợp điềm N thoả: MA? + 2MB? = k (k là hằng số thực

Giải:

MA” +MB.AB =a"

MA’ +(MA +AB).AB =a?

MA +MA.AB+AB =a?

MA’ +MA.AB=0 <> MA’(MA+AB)=0

MA.MB =0

Vay tap hop diém M là đường tròn đường kính AB

b Gọi I là điểm sao cho IA +2IB =0 vì A, B, cố định nên 1 cố định

NP +2NLIA +1A? +2N/’ + 4NLIB + 21B? =k

3Ni + 2NI(IA +2IB)IA? +2IB? =k

Bài 6: Cho A4BC đều cạnh bằng a

Tìm tập hợp điểm M thoả: (MA +MB)(MA + MC) =

Tim tap hop điểm N thoả: NA? + NB? + NC? = 4a’

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính IJ

Gọi G là trọng tâm AABC

Vay 3NG? = 3a’ <> NG? =a"

Do đó tập Hyp điểm N là đường tròm tâm G bán kính bằng a

Khi dé 2AB+ AC = 2(AH + HB) + (AH + HC) = 3AH

Suy ra, đẳng thức đã cho trở thành PG.3AH =0 <> PG.AH =0

Vậy tập hợp điêm P là đường thăng qua G và vuông góc với AH

DẠNG 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐÉ GIẢI MỘT SÓ DẠNG

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHANG

Phương pháp:

1 Để giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vectơ ta tiến

hành:

Bước 1: — Lựa chọn một vectơ "gốc"

~ Chuyển đồi giả thiết, kết luận bài toán từ ngôn ngữ hình học

sang ngon ngit vecto

Bước 2: Thực hiện các phép biến đồi các biểu thức vectơ theo yêu cầu

bài toán

Bước 3: Chuyển các kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình

học tương ứng

2 Một số dạng bài toán:

Bài toán 1: Chứng mình 3 điểm A, B, C thẳng hàng

~ Đề chứng minh A, B, C thang hang t ta cần chứng minh AB cùng phương với AC (hoặc AB cùng phương BC hoặc AC cùng phương với BC) tức là chứng mình đẳng thức vec AB= kAC với k e R

~ Ngoài ra dé chứng mình A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng mình

đẳng thức vectơ MB =kMC+(I—k)MA với M bắt kì, k e R

~ Đặc biệt nếu 0 <k <1 thì B nằm trên đoạn AC

Bài toán 2: Chứng mình ba đường thẳng a, b, c đồng quy thì quy về bài toán Ì bằng cách :

35

“

—Goi A la giao điểm của a và b

— Chứng mình 4 e e tức là A, B, C thang hàng với B C là 2 điểm nằm trên đường thăng C

Bài toán 3: Chứng mình 4B song song vdi CD, ta chitng minh A, B, C,

D không thẳng hàng và AB = kCD

Bài toán 4: Chứng mình AB vuông góc CD, ta chứng minh

AB.CD.=0

Bài toán 5: Các dạng toán tính độ dài, tính góc thì chú ý sử dụng

AB= lan] = VABAB

Cos a= ab (ala goc gitta 2 vecto a,b)

Bai 2: Cho AABC, goi O, G, H lan lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC Chứng mình rằng O, Œ, H thẳng hàng

Giải:

36

Gọi D là điểm dối xứng với A qua O

E là trung điểm của BC

Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD va A|B;C;D, sắp xếp sao cho Bị

thuộc cạnh 4B, Dị thuộc cạnh AD Chứng minh rằng các đường thang DB),

đọi P là giao điểm của DB¡ và D,B

Vì Bị, P, D thăng hàng nên AP =ơAB, +(I~œ)AD @)

Ta lại có: AC= AB+ AD =a+b

Từ đó suy ra: PẺ=AC~AE=-L— I-kh Lã+.1—® § I—kh

Hơn nữa, D,D=(1-h)b=CE

BB=(1-k)a=CF

Suy ra: CC =C,E+C,F =(1—k)a+(I—h)b

Vậy C,C=(I-kh)PC Hay C¡, C, P thẳng hàng tức 1a C\C di qua P

Do vậy DB¡, D¡B và CC¡ đông quy tại P

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và điểm M Gọi N, P, Q, R lần lượt là các điểm

đổi xứng của M qua trung điêm của các cạnh của tứ giác Chứng mình rằng

Bài 5: Cho AABC cần tại A4 và D là trung điểm của cạnh BC H là hình

chiêu vuông góc của D trên cạnh AC và I là trung điêm của đoạn DH