Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưse

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP

VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP

VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2014

Mục lục

Phần mở đầu 2

Chương 1 Đa thức Trêbưsep 4

1.1 Định nghĩa 4

1.2 Tính chất 10

1.3 Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep 22

1.3.1 Độ lệch của đa thức 22

1.3.2 Định lí Berstein- Markov 29

Chương 2 Xấp xỉ Trêbưsep 35

2.1 Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep 35

2.2 Chuỗi Trêbưsep 42

2.3 Hệ số Trêbưsep 46

2.4 Tính chất tối ưu của khai triển Trêbưsep 49

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

1

PHẦN MỞ ĐẦU

Đa thức Trêbưsep (P.L Chebyshev) có vị trí rất đặc biệt trong toán học Nó xuất hiện ngay trong các bài toán trong toán học sơ cấp, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đa thức Trêbưsep cũng có rất nhiều ứng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều bài báo và các công trình toán học nghiên cứu về nó Chính vì thế nên tôi được thầy hướng dẫn là PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài

"ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP"

Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưsep trong chứng minh định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep

Ngoài phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Đa thức Trêbưsep

Chương này giới thiệu định nghĩa về đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2

và một số tính chất của nó như tính chất trực giao,

Phần cuối của chương này là một số ứng dụng của đa thức Trêbưsep

là độ lệch của đa thức và chứng minh định lí Berstein- Markov

Chương 2 Xấp xỉ Trêbưsep

Chương này giới thiệu xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep, chuỗi Trêbưsep, hệ số Trêbưsep và tối ưu của khai triển Trêbưsep

Luận văn được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn

sâu sắc đến Thầy Tôi xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy

cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, Khoa sau đại học trường Đại học KHTN- Đại học quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại đây

Tôi cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học toán 2011-2013 nghành Toán Giải tích Khoa Toán Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và làm luận văn này

Cuối cùng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các đồng nghiệp và các học sinh trường THPT Yên Phong số 2- Bắc Ninh đã động viên và tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Đa thức Trêbưsep

1.1 Định nghĩa

Trước hết, ta nhắc lại rằng một đa thức là một hàm sốp(x) được viết dưới dạng

p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n xn, (1.1) trong đó a 0 , , a n là các số thực và x là biến thực Nếu a n 6= 0, thì ta nói rằng p là đa thức bậcn Tập hợp các đa thức có bậc không vượt quá

n ta kí hiệu là Pn; nghĩa là, nếu

p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a k xk

và k ≤ n thì p ∈ Pn

Xét hàm số

T n (x) = cos nθ, (1.2)

trong đó n là một số tự nhiên, x = cos θ, và 0 ≤ θ ≤ π Khi θ tăng từ 0

đến π thì x giảm từ 1 đến -1 Hàm số T n (x) được định nghĩa bởi (1.2) xác định trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng đó là I; có nghĩa

là, cho x ∈ I, ta tìm được giá trị duy nhất của θ = arccos x thỏa mãn

0 ≤ θ ≤ π và T n (x) có giá trị cos nθ Vì vậy T n (x) là một hàm số đơn trị

xác định trên I, có thể viết như sau

T n (x) = cos n(arccos x), (1.3) trong đó 0 ≤ arccos x ≤ π

Ta nhắc lại rằng

eiθ = cos θ + i sin θ,

và

einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ. (1.4) Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + Cn1cosn−1θ(i sin θ)

+Cn2cosn−2θ(i2sin2θ) + · · · + C nn(i sin θ)n.

Cân bằng phần thực của phương trình (1.4), ta thu được

cos nθ = cosnθ − C n2cosn−2θ sin2θ + Cn4cosn−4θ sin4θ + · · ·

+ (−1)[n/2]C n2[n/2]cosn−2[n/2]θ sin2[n/2]θ. (1.5) Thay sin2θ = 1 − cos2θ vào (1.5) ta thu được

cos nθ =

[n/2]

X q=0

(−1)qCn2qcosn−2qθ

q X k=0

(−1)kCqkcos2kθ

!

. (1.6)

Vế phải của (1.6) là một đa thức với x = cos θ, và vì vậy hàm số T n (x)

được định nghĩa trong (1.3) là một đa thức Ta tiến tới xác định các hệ

số của chúng

Vế phải của (1.6) là có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, nếu ta viết

A q = (−1)qCn2qcosn−2qθ, q = 0, ,hn

2

i

,

và

Bk,q = (−1)kCqkcos2kθ, k = 0, 1, , q,

thì

cos nθ = A 0 B 0,0

+ A 1 B 0,1 + A 1 B 1,1

+

+ A[n/2]B0,[n/2] + · · · + A [n/2] B[n/2],[n/2]. (1.7) Cộng lại lấy tổng bên phải của ( 1.7 ) bằng cởi đường chéo kế tiếp, ta thu được

cos nθ = (A 0 B 0,0 + A 1 B 1,1 + · · · + A [n/2] B[n/2],[n/2])

+ (A 0 B 0,1 + A 1 B 1,2 + · · · + A [n/2] B[n/2]−1,[n/2]) +

+ (A[n/2]−1B0,[n/2]−1+ A[n/2]B1,[n/2]) + A[n/2]B0,[n/2];

hoặc, bằng cách thay thế A q vàB k,q với những vị trí đứng của chúng cho

cos nθ =

[n/2]

X k=0



(−1)k

[n/2]

X j=k

Cn2jCjk



cosn−2kθ. (1.8)

Đẳng thức (1.8) biểu thị rằng T n (x) là một đa thức bậc n

Nếu ta viết

T n (x) = t 0 + t 1 x + · · · + t n xn. (1.9) Thì từ (1.8), ta rút ra

tn−(2k+1) = 0, k = 0, ,hn − 1

2

i

,

(1.10)

tn−2k = (−1)k

[n/2]

X j=k

Cn2jCjk, k = 0, ,hn

2

i

.

Vậy T n (x)có các giá trị trong I, là một đa thức bậc n, xác định với mọi giá trị của x (đúng cho cả mọi số phức x) Đa thức T n (x)như vậy gọi là

đa thức Trêbưsep bậc n, và ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại 1 là đa thức T n (x)

thỏa mãn điều kiện

T n (x) := cos(n arccos x).

Với

n = 0 T 0 (x) = 1,

n = 1 T 1 (x) = x,

n = 2 T 2 (x) = 2x2− 1,

n = 3 T 3 (x) = 4x3− 3x,

n = 4 T 4 (x) = 8x4− 8x2+ 1,

n = 5 T 5 (x) = 16x5− 20x3+ 5x.

Hình 1.1: Đồ thị của T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T 5

Đặtcos θ = x (θ = arccos x), ta có

cos(k − 1)θ = T k−1 (cos θ), cos kθ = Tk(cos θ).

Từ hệ thức

cos(k + 1)θ + cos(k − 1)θ = 2 cos θ cos kθ,

suy ra

T k+1 (cos θ) = 2 cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = 2 cos θT k (cos θ) − T k−1 (cos θ).

Hay

Tk+1(x) = 2xTk(x) − T k−1 (x).

Từ đó ta đưa đến định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.1 như sau

Định nghĩa 1.1.2 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n là đa thức T n (x) ,xác định như sau

(

T0(x) = 1, T2(x) = x

T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x) (n ≥ 1).

Lấy vi phân T n (x) = cos nθ đối với x ta thu được

Tn′(x) =



d

dθ cos nθ



dθ

dx =

−n sin nθ

− sin θ = n

sin nθ sin θ , x = cos θ.

Từ đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.3 Các đa thức U n (x) (n ∈N) được xác định như sau

U n (x) = 1

n + 1T

′ n+1 (x) = sin(n + 1)θ

sin θ =

sin(n + 1) arccos x

√

1 − x 2 ,

(trong đó cos θ = x (θ = arccos x)) được gọi là các đa thức Trêbưsep loại 2

Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có

n = 0 U 0 (x) = 1;

n = 1 U 1 (x) = 2x;

n = 2 U 2 (x) = 4x2− 1;

n = 3 U 3 (x) = 8x3− 4x;

n = 4 U 4 (x) = 16x4− 12x2+ 1;

n = 5 U 5 (x) = 32x5− 32x3+ 6x.

Tài liệu tham khảo

[1] Theodore J Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley&Sons, 1974

[2] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer- Verlag, 1976

[3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thông tin, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD, 2002

[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm

số, NXBGD, 2002

[6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số bài toán chọn lọc

về lượng giác, NXBGD, 2006

55