Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưsep

Nguyễn Minh Tuấn giaocho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thứcTrêbưsep loại 1, loại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội 2014

Mục lục

Phần mở đầu 2

Chương 1 Đa thức Trêbưsep 4 1.1 Định nghĩa 4 1.2 Tính chất 10

1.3 Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep

22 1.3.1 Độ lệch của đa thức 22

1.3.2 Định lí Berstein Markov 29

Chương 2 Xấp xỉ Trêbưsep 35 2.1 Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep 35 2.2 Chuỗi Trêbưsep 42

2.3 Hệ số Trêbưsep 46

2.4 Tính chất tối ưu của khai triển Trêbưsep .49

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

1

PHẦN MỞ ĐẦU

Đa thức Trêbưsep (P.L Chebyshev) có vị trí rất đặc biệt trong toánhọc Nó xuất hiện ngay trong các bài toán trong toán học sơ cấp, đặc biệttrong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đa thức Trêbưsep cũng

có rất nhiều ứng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nộisuy, Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều

bài báo và các công trình toán học nghiên cứu về nó Chính vì thếnên tôi được thầy hướng dẫn là PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn giaocho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài

"ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP"

Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thứcTrêbưsep loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưsep trongchứng minh định lí Berstein Markov, xấp xỉ Trêbưsep

Ngoài phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận vàdanh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Đa thức Trêbưsep

Chương này giới thiệu định nghĩa về đa thức Trêbưsep loại 1,loại 2 và một số tính chất của nó như tính chất trực giao,

Phần cuối của chương này là một số ứng dụng của đa thức Trêbưsep

là độ lệch của đa thức và chứng minh định lí Berstein Markov

Cuối cùng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các đồngnghiệp và các học sinh trường THPT Yên Phong số 2 Bắc Ninh đã độ

ng viên và tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạnnên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc vàkhông thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được

sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!

p(x) = a0 + a1x + + akxk

và k ≤ n thì p ∈ Pn

Xét hàm số

Tn(x) = cos nθ,

trong đó n là một số tự nhiên, x = cos θ, và 0 ≤ θ ≤ π Khi θ tăng từ 0

đến π thì x giảm từ 1 đến 1 Hàm số Tn(x) được định nghĩa bởi (1.2)xác định trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng đó là I; có nghĩa là,cho x ∈ I, ta tìm được giá trị duy nhất của θ = arccos x thỏa mãn 0 ≤ θ

≤ π và Tn(x) có giá trị cos nθ Vì vậy Tn(x) là một hàm số đơn trị

einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.

Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có

(cos θ + i sin θ)n = cosn θ + Cn1 cosn−1 θ(i sin θ)

Cân bằng phần thực của phương trình (1.4), ta thu được

cos nθ = cosn θ − Cn2 cosn−2 θ sin2 θ + Cn4 cosn−4 θ sin4 θ +

Vế phải của (1.6) là một đa thức với x = cos θ, và vì vậy hàm số Tn(x)

được định nghĩa trong (1.3) là một đa thức Ta tiến tới xác định các

Vậy Tn(x) có các giá trị trong I, là một đa thức bậc n, xác định với mọigiá trị của x (đúng cho cả mọi số phức x) Đa thức Tn(x) như vậy gọi

là đa thức Trêbưsep bậc n, và ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại 1 là đa thức Tn(x)

thỏa mãn điều kiện

1.2 Tính chất

Từ công thức (1.10), ta quan sát thấy rằng, các hệ số của Tn(x) làcác số nguyên và đan xen dấu, hệ số bậc cao nhất là một số dương.Nếu n > 0, thì ta có

[n/2]

j=0

Tính chất 1.2.1 i) Đa thức Tn(x) có bậc n có hệ số cao nhất bằng 2n− 1

ii) Đa thức Un(x) là đa thức bậc n có hệ số bậc cao nhất bằng 2n

Chứng minh i) Sử dụng Định nghĩa 1.1.2 và phép quy nạp theo n,

ta dễ chứng minh được đa thức Tn(x) có bậc n có hệ số cao nhất bằng

2 n−1

ii) Sử dụng Định nghĩa 1.1.4 và phép quy nạp theo n, ta dễ chứng minh được đa thức Un(x) có bậc n có hệ số cao nhất bằng 2 n

Công thức (1.10) cũng cho thấy n chẵn thì tất cả các lũy thữa của

x trong Tn(x) là chẵn, còn khi n lẻ thì tất cả các lũy thừa của x cũng là

lẻ Vì vậy với mọi số nguyên không âm n, ta có

Tn(−x) = (−1)nTn(x)

Do đó, ta có tính chất sau

Tính chất 1.2.2 i) Đa thức Tn(x) là hàm chẵn khi n chẵn; là hàm lẻkhi n lẻ

ii) Đa thức Un(x) là hàm chẵn khi n chẵn; là hàm lẻ khi n lẻ

Chứng minh Sử dụng Định nghĩa 1.1.1, ta có:

Tn(− cos θ) =Tn[cos(π + θ)] = cos n(π + θ)

= cos(nπ + nθ) = (−1)n cos

nθ =(−1)nTn(cos θ)

Từ đó suy ra Tn(−x) = (−1)nTn(x), đó là điều cần chứng minh

Ghi chú

+ Với n chẵn, đa thức Tn(x) là một hàm chẵn, vậy khai triển của

Tn(x) chỉ gồm các lũy thừa bậc chẵn của x

Tn(x) = 2n−1xn + axn−2 + bxn−4 +

+ Với n lẻ, đa thức Tn(x) là một hàm lẻ, vậy khai triển của Tn(x) chỉ

gồm các lũy thừa bậc lẻ của x

Tn(x) = 2n−1xn + axn−2 + bxn−4 +

Ta nhắc lại rằng nghiệm của đa thức p(x) là tất cả các giá trị của x

sao cho p(x) = 0 Do đó ta có tính chất sau

Tính chất 1.2.3 i) Đa thức Tn(x) có đúng n nghiệm phân biệt trên

đoạn [1; 1] là

xk = cosii) Đa thức Un(x) có đúng n − 1 nghiệm phân biệt trên đoạn (1; 1) là

xk = cos

Chứng minh Trước hết ta tìm x ∈ [−1; 1] sao cho Tn(x) = 0

Với |x| ≤ 1, ta có thể đặt x = cos θ, vậy

Hình 1.3: Biểu diễn các nghiệm của đa thức Trêbưsep

nhưng chúng lập thành từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox Vậy chỉ

có n giá trị khác nhau của xk, ứng với k = 1, 2, , n

xk = cosVậy trên đoạn [1; 1], ta tìm được n nghiệm phân biệt của Tn(x), mà một

đa thức bậc n không thể có hơn n nghiệm thực Do đó Tn(x) không cònnghiệm nào khác, ngoài các nghiệm được xác định bởi công thức

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta thấy chỉ có n + 1 giá trị xk

khác nhau, ứng với k = 0, 1, 2 , n.

Với mỗi giá trị xk đó, ta có

Tn(xk) = Tn(cos kπ

n ) = (cos kπ) = (−1)k

(1 − x2)y′′ − xy′ + n2y2 = 0.

Do đó, ta có tính chất sau

Tính chất 1.2.8 Với ∀n ∈ N, ∀x ∈ (−1; 1), ta có

i) (1 − x2)Tn′′(x) − xTn′(x) + n2Tn(x) = 0

ii) (1 − x2)Un′′(x) − 3xUn′ + n(n + 2)Un(x) = 0

Chứng minh i) Với mọi x ∈ (−1; 1), ta có Tn(x) = cos(n arccos x)

cos(n arccos x)

(tk(n2 − k2) + t

0 =

k=0

Chứng minh i) Đặt x = cos θ ⇒ θ = arccos x Ta có

(m = n)(m = n = 0) (m = n = 0)

ii) Đặt x = cos θ ⇒ θ = arccos x Ta có

ii) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo m

Với m = 0 ta có T0(Tn(x)) = 1 = T0.n

Vậy đẳng thức trên đúng với m = 0, ∀n ∈ N

Giả sử đẳng thức trên đúng tới m Khi đó

1.3 (2n

=

1.3.5 (2n + 1) dx

Chứng minh Từ Tích chất 1.2.11 ta suy ra được bằng tích phân từng

phần và mọi đạo hàm của (1 − x 2 ) n−12 có cấp nhỏ hơn n đều triệt tiêu tại

khi chúng ta có thể thấy bằng bắt đầu với k = m số hạng trong chuỗi

vô hạn, trích từ nó số hạng trong u m, sau đó xét số hạng k = m − 1

trong chuỗi vô hạn, trích từ nó số hạng trong u m, và vân vân Do đó

hệ số của untrong khai triển F (u, x/2) ở trên và

Tn

và đẳng thức này đúng với mọi x ∈ I, nhưng

và khi thay thế x bởi 2x thì cho ta kết quả

với hệ số cao nhất (hệ số của lũy thừa bậc cao nhất) bằng 1.

2) Với các đa thức bậc n có hệ số cao nhất bằng 1, thay đổi các

tức là H(x) đổi dấu n + 1 lần khi x chạy qua các giá trị x0, x1, , xn

Do đó H(x) có ít nhất n nghiệm (mâu thuẫn với degH(x) ≤ n − 1 và

Khi đó |P (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] khi và chỉ khi P (x) ≡ Tn(x)

Các đa thức Chebyshev có vai trò quan trọng trong lý thuyết xấp

xỉ các hàm số bằng đa thức, thực hiện trên một đoạn [a; b] Bằngphép thay biến số t ∈ [a; b] bởi

t = b + a + b − ax

22

Bài toán quy về việc xét biến số x ∈ [−1; 1] Nói cách khác là ta thay đoạn [a; b] ta có thể xét đoạn [1; 1] Từ đó ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.3.2 Xét các đa thức

P (x) = xn + a1xn−1 + a2xn−2 + + an−1x + an,

trong đó các hệ số a1, a2, , an là các số phức bất kỳ

Kí hiệu µn(α, β) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của |P (x)|

trong đoạn [α, β] Khi đó ta có

d với trung tâm

các giá trị nhỏ nhất của giá trị cực đại của mọi đa thức bậc n có hệ

số bậc cao nhất bằng 1 Khi đó, ta có

và

d

Vì vậy, đặt

ta có

max

|

với n tương ứng là chẵn hoặc lẻ

Cách đánh giá tương tự cho µn

Trong trường hợp khác, cho Q0(ξ) là đa thức

Trong trường hợp thứ nhất, µn là đạt được và nó chỉ xảy ra khi

P (x) = P0(x) Bởi vì, nếu max |P (x)| = µ, thì từ (1.12), ta cũng có

max P (x) + P (−x) =µ

2

triệt tiêu tại n + 2 điểm, P (x) = P (−x) = Q0(x2) = P0(x).

Hệ quả 1.3.4 Với đa thức

Vì đa thức f (x) có bậc không quá n, nên ta có thể áp dụng công

thức nội suy Lagrange cho f (x) tại n + 1 điểm xk = cos kπ

n (k = 1,

2, , n), ta được

n

f (x) =

k=0

(xk − x0) (xk − xk+1)(xk − xk−1) (xk − xn)

k=0

(1.13)

Mặt khác, áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức

Trêbưsep Tn(x) tại n + 1 điểm xk (k = 0, 1, 2, , n), ta được

Cho x = 0, ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 1.3.5 Cho đa thức

|Pn′(x)| ≤ n2, ∀x ∈ [−1; 1]

Mệnh đề 1.3.1 Cho đa thức Pn−1(x) bậc không vượt quá n − 1 có hệ

số bậc cao nhất a0 thỏa mãn điều kiện

1 − x2|Pn−1(x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1]

Khi đó

a0 ≤ 2n−1.Chứng minh Ta viết đa thức đã cho dưới dạng nội suy Lagrange theo

các nút nội suy x j = cos 2j − 1

π là các nghiệm của đa thức Trêbưsep

T n (x) 2n1

Pn−1(x) =

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bởi n điều kiện của đa thức P (x) có bậc n − 1 là xác định duy nhất Nên từ γUn−1(x) thỏa mãn các điều kiện trên, ta có P (x) = γUn−1(x).

Mệnh đề 1.3.2 Cho đa thức Pn−1(x) bậc không vượt quá n − 1 có hệ

số bậc cao nhất a0 thỏa mãn điều kiện

nên từ (1.18) và (1.19) suy ra

|Pn−1(x)| ≤ n ∀x ∈ (x 1 ; 1].

Tóm lại ta đã chứng minh được rằng |Pn−1(x)| ≤ n ∀x ∈ [−1; 1].

Mệnh đề 1.3.3 Cho đa thức lượng giác

P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + + an sin nt thỏa mãn các điều kiện

|P (t)| ≤ 1, ∀t ∈ R\{ , −2π, −π, 0, π, 2π, }

Khi đó

P (t)

≤ n, ∀t ∈ Rsin t

Chứng minh Nhận xét rằng P(t)

= Pn−1(cos t) với Pn−1(x) là đa thức

dạng (1.17)

Đặt cos t = x Khi đó |x| ≤ 1 và

Mệnh đề 1.3.4 Cho đa thức lượng giác

Chứng minh Cho trước x0 tùy ý Do

cos(x0 − x) − cos(x0 + x) =2 sin x0 sin x,sin(x0 + x) − sin(x0 − x) =2 cos x0 sin x

Bây giờ ta chứng minh định lí BersteinMarkov

Đặt x = cos α Khi đó theo giả thiết thì |Pn(cos α)| ≤ 1 Mà Pn(cos α)

Chương 2

Xấp xỉ Trêbưsep

2.1 Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep

Ta đã biết, một đa thức Chebyshev Tn(x) có thể biểu diễn tuyến tínhqua tổ hợp của các x 0 , x 1 , , x n và ta có thể xác định được các hệ sốcủa chúng Vậy một đa thức có bậc n có thể biểu diễn tuyến tính thôngqua các T0(x), T1(x), , Tn(x) và ta có thể xác định được hệ số củachúng không? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta có định lý sau

Định lý 2.1.1 ([6], Bài toán 5 trang 243) Với mọi đa thức f (x) bậc n(n

≥ 1) đều có thể biểu diễn dưới dạng

f (x) = a0T0(x) + a1T1(x) + a2T2(x) + + anTn(x) (an = 0)

và cách biểu diễn này là duy nhất

Chứng minh Ta có Tn(x) là đa thức bậc n có hệ số cao nhất là

Bây giờ ta đi xác định các hệ số a0, a1, , an.

Để dễ theo dõi, trước hết ta xét trường hợp sau

Có thể biểu thị Trêbưsep cho các số hạng x n , n = 1, 2, 3, trongcác số hạng của Tn(x) Phép biểu diễn Trêbưsep này cho x n dễ đạtđược bằng giải đa thức Trêbưsep lần lượt như sau Trước hết, taxuất phát từ điều đơn giản sau đây

Sử dụng các tính chất trực giao của đa thức Trêbưsep cho phép xấp

xỉ hàm số bởi đa thức Trêbưsep

Trong phần này chúng ta sẽ xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep

Phương pháp lý thuyết là nhân f (x) bởi

trên đoạn [1; 1], bằng cách sử dụng tính chất trực giao của Tn(x) Do

đó, nếu ta nhân cả hai vế với

Việc đánh giá tích phân cho cm cho bởi công thức (2.2) nói chung sẽphải thực hiện bằng số, và trong trường hợp như vậy là rất quan trọng

để đảm bảo rằng lỗi làm tròn là đủ nhỏ hoặc độ chính xác có sẵn thôngqua xấp xỉ Trêbưsep tới f (x) sẽ được giảm bớt Trong một vài trườnghợp đặc biệt, tích phân có thể được đánh giá phân tích và vấn đề lỗilàm tròn không phát sinh; quan trọng nhất trong trường hợp này là khi

f(x) = xn(n = 0) và ta sẽ mô tả trong trường hợp đưới đây, trước hết tanhìn vào một ví dụ mà công thức (2.2) sẽ được tường minh dưới dạng

Điều này là tốt hơn từ một số quan điểm trên khi hàm lấy tích phân không

chứa điểm kì dị Trong việc đánh giá tích phân có chứa hàm tuàn hoàn

như là một hệ số trong hàm lấy tích phân thường là tốt nhất để sử dụng

các công thức cầu phương đơn giản, chẳng hạn như quy tắc trung điểm,

quy tắc Simpson hoặc quy tắc hình thang Bằng cách sử dụng một trong

những phương pháp này hệ số cj có thể được đánh giá cho một loạt giảm

bước cỡ và kết quả so sánh Điều này sẽ thiết lập một v ài tin tưởng vào

chính xác của kết quả Do đó dùng quy tắc hình thang ( hay là chỉ cần

hình thang ) với bước cỡ số 2πk (k = 1, 2, 3, 4)

f (x) =trong đó h là cỡ bước Từ phương trình (2.3), ta tìm được đánh giá cho

c0

c0 =

Và ta có kết luận c0= 2.53213176 đến 8 số sau phần thập phân.

Các hệ số khác được tính toán tương tự và ta tìm được (đến 8 số sau

T0(0.8) = 1, T1(0.8) = 0.8

Hơn nữa

T2(0.8) = 2(0.8)2 − 1 = 0.28 và T3(0.8) = 2(0.8)(0.28) − 0.8 = −0.352

Do đó từ (2.4) thì cho ta kết quả (làm tròn đến 4 chữ số sau phần

thập phân)

e 0.8 ∼ 2.2307.

=

Giá trị đúng đến 4 chữ số sau phần thập phân là 2.2255.

Bằng so sánh xấp xỉ bậc ba đạt được bằng chặt chuỗi Taylor cho

e x sau khi 4 số hạng cho

Trong khi sai số của chuỗi Taylor là

ET ay = |2.2255 − 2.2053| = 0.0202

So sánh hai kết quả trên ta thấy sai số trong chuỗi Taylor hầu lớn

gấp 4 lần của xấp xỉ Trêbưsep Cho giá trị bé của x tuy nhiên bậc ba

chuỗi Taylor sẽ cho kết quả tốt hơn chẳng hạn như ở x = 0.2 Chuỗi

Trêbưsep cho e0.2 = 1.2172 Trong khi Taylor chuỗi bậc ba cho e0.2 =

1.2213 và thực vậy giá trị chính xác là e 0.2 = 1.2214 mà minh hoạ điểm

xấp xỉ Trêbưsep không nhất thiết sinh ra phép xấp xỉ tối ưu ở bất kỳ

điểm đã cho trong khoảng [ 1, 1 ] nhưng chúng bảo đảm để cực tiểu

hoá sai số lớn nhấ t trong khoảng

Nói chung nó thường xảy ra vài công thức xấp xỉ sẵn sàng và mỗi

một công thức sẽ có ưu điểm và nhược điểm riêng Nói riêng, công

thức khác nhau có thể cho kết quả xấp xỉ tốt nhất trên các phần

khác nhau của khoảng và có thể yêu cầu phân tích phải quyết định

sử dụng ở điểm bất kỳ nào

Nhận xét Vì x k có thể biểu diễn là tổ hợp tuyến tính của các T0(x),

T1(x), , Tk(x), nên áp dụng khai triển Taylor ta có thể xấp xỉ một hàm

số f (x) bất kỳ bởi các chuỗi số của đa thức Trêbưsep Và sau đây là

một ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2 Sử dụng đa thức Trêbưsep cho 5 số hạng đầu tiên của

chuỗi Taylor cho e x

=

81

T0(x) +64

Nếu chúng ta dừng kết quả này sau khi số hạng T3(x) chúng ta sẽ

thu được

64

với độ sai số chính 1921T4(x) +

Xấp xỉ này cũng có thể được xem như khai triển bậc ba cho e x

Nếu chúng ta làm qui đổi các hệ số của ( 2.5 ) để dạng số thập phân

ta có

ex ∼ 1.26562500T

= 0 (x) + 1.125T 1 (x) + 0.27083333T 2 (x) + 0.041667T 3(x)

(2.6)

Như vậy chúng ta có thể so sánh phương trình ( 2.4 ) và (2.6 ) từ đó

cả hai đều xấp xỉ bậc ba của e x thu được bằng sử dụng đa thứcTrêbưsep Hệ số từ hai phương trình thuộc bảng dưới đây

Phương trình (2.4)

Phương trình (2.6)

Từ đó cả hai xấp xỉ bậc ba cung cấp một số loại xấp xỉ tốt cho e x

và chúng có hệ số tương tự nhưng chúng không là đồng nhất vìphương trình ( 2.4 ) là xấp xỉ đến e x dùng 4 đa thức đầu tiên trongkhi phương trình ( 2.5 ) tương đương với 5 số hạng của chuỗi Taylorđầu tiên cho e x tiết kiệm đến bậc ba

2.2 Chuỗi Trêbưsep

Định nghĩa 2.2.1 Chuỗi vô hạn

B0

+ B1T1(x) + + BnTn(x) +2

gọi là chuỗi Trêbưsep

Ta nhắc lại rằng, với mỗi hàm f (x), có khả tích trên I, có kết hợp với

43khai triển Trêbưsep , một quan hệ ta ký hiệu bởi

∞