Tôpô giả compăc mở trên c(x)

Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là tách được nếu và chỉ nếu tồn tại trong nó một tập con đếm được trù mật.. Tiên đề đếm được thứ nhất Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phạm Văn Ðông

TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ

TRÊN C(X)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phạm Văn Ðông

TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ

TRÊN C(X)

Chuyên ngành : Hình học và Tôpô

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thái Sơn Thầy đã rất nhiệt tình trong công tác hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi cũng chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học

Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học Đặc biệt là thầy TS Nguyễn Hà Thanh đã giúp tôi tìm được nhiều tài liệu hay phục vụ cho việc thực hiện đề tài luận văn

Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã có liên lạc với giáo sư S.Kundu - là tác giả nhiều bài báo liên quan đến đề tài chúng tôi quan tâm và cũng đã nhận được nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư Xin chân thành biết ơn Giáo sư S.Kundu

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Tp Hồ Chí Minh, năm 2009

Tác giả

Phạm Văn Đông

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 3

1.2 Các lớp không gian tôpô 11

1.3 Không gian tuyến tính tôpô 15

1.4 Cái đều và tôpô đều 17

1.5 Không gian giả-compăc 20

Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở 21

2.2 So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều 32

Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN C ps (X) 3.1 Ánh xạ cảm sinh 39

3.2 Tính mêtric hóa và tính tách được trên Cps(X) 47

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như đã biết, trên tập hợp C(X) tất cả các hàm liên tục có giá trị thực trên không gian Tychonoff X có một số tôpô tự nhiên Những tôpô này được

sinh ra từ khái niệm hội tụ của dãy hàm Hơn nữa, hàm liên tục và độ đo Baire trên không gian Tychonoff có liên hệ với nhau trong quá trình tính tích phân Một số tôpô lồi địa phương trên không gian những hàm liên tục cũng đã được nghiên cứu để làm rõ mối liên hệ này Chúng cho phép tạo ra lý thuyết không gian lồi địa phương đủ mạnh thuận lợi cho việc ứng dụng vào lý thuyết độ đo tôpô

Ba tôpô thông dụng trên C(X) là tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ đều u

và tôpô hội tụ điểm p Tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X) trùng với nhau nếu và chỉ nếu X là compăc Bởi vì tính compăc là điều kiện mạnh

như thế nên có một “lỗ hổng” giữa hai tôpô này Đặc biệt, nó được thấy rõ trong lý thuyết độ đo Chính cái “lỗ hổng” đó mà trong năm thập kỷ qua, có

một vài tôpô được giới thiệu làm cầu nối giữa k và u, cụ thể là tôpô chặt, tôpô

 -compăc-mở, tôpô hội tụ đều trên các tập con -compăc và tôpô hội tụ đều trên những tập con giới nội

Trong một bài báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu và Pratibha Garg

đã giới thiệu một tôpô tự nhiên khác nữa trên C(X), đó là tôpô giả

compăc-mở Nó được kí hiệu là ps và không gian tôpô tương ứng là C ps (X) Mặc dù, tôpô giả compăc-mở ps được đề cập ngẫu nhiên, song nó đáng được nghiên

cứu nhiều hơn nữa Chính vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là

“TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)”

2 Mục đích

Nghiên cứu tôpô giả compăc–mở trên C X theo quan điểm tôpô  

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Một số tính chất cơ bản của không gian tôpô giả compăc-mở C ps X

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Giới thiệu thêm một tôpô lồi địa phương khác nữa giữa tôpô

compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X)

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận Trong đó chương 2 và chương 3 là phần chính của luận văn, ở đây các không gian được xét đều là không gian Tychonoff Cụ thể:

Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương

Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở và so sánh tôpô này

với hai tôpô đã biết là tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều

Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric

hóa và tính tách được của C ps X

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

có liên quan đến các chương sau Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4] Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô

nếu thỏa các điều kiện sau:

1)

 , X  thuộc ;

2)

 Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc ;

3)

phần tử của không gian gọi là các điểm

1.1.2 Lân cận

Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x

thuộc nó

1.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở

 của  là cơ sở của  nếu , , :   G  x G  V  x V G

Một họ con  của  gọi là một tiền cơ sở của  nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc  là một cơ sở của  Như vậy họ con  của  là tiền

cơ sở của  nếu mọi G  và mọi x G  , tồn tại W W1, 2, ,W n sao cho

1 2 n

Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó

1.1.4 Cơ sở lân cận

Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x hay cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận UUx sao cho

U  V

1.1.5 Điểm tụ

Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x X Nếu mọi lân cận V của x ta đều có V \ x  A  thì x được gọi là điểm tụ hay điểm giới hạn của tập A

1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật

Cho X là không gian tôpô và tập A X

1.1.6.1 Các định nghĩa

 Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa

trong ,A kí hiệu A 0

 Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu Ā hay cl A X

 Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu

A X

1.1.6.2 Định lí

Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X 

và mọi lân cận V của x, V  A 

1.1.7 Không gian tách được

1.1.7.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X gọi là tách được nếu và chỉ nếu tồn tại trong nó một

tập con đếm được trù mật

1.1.7.2 Định lí

Không gian mà tôpô có cơ sở đếm được là tách được

1.1.7.3 Định lí

Cho X là một không gian mêtric Khi đó C X là tách được nếu và p 

chỉ nếu card(X)2 0

1.1.8 Các tiên đề đếm được

1.1.8.1 Tiên đề đếm được thứ hai

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó

có một cơ sở đếm được

1.1.8.2 Tiên đề đếm được thứ nhất

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm xX đều có một cơ sở lân cận đếm được

1.1.8.3 Định lí

Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

1.1.8.4 Định lí

Một không gian rời rạc thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu và chỉ nếu nó hữu hạn

1.1.9 Ánh xạ liên tục

1.1.9.1 Định nghĩa

Cho X và Y là các không gian tôpô Ánh xạ : f X  được gọi là Y liên tục tại x X  nếu mọi lân cận V của f x trong Y đều tồn tại lân cận  

U của x trong X sao cho f U  V

Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX

1.1.9.2 Định lí

Nếu : f X  và : Y g Y  là các ánh xạ liên tục thì g f Z  liên tục

1.1.9.3 Định lí

Với mọi ánh xạ : f X Y, các điều kiện sau đây là tương đương

)

a f liên tục;

)

b f1 G mở trong X với mọi tập G mở trong ; Y

)

c f1 G mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của ; Y

)

d f1 G mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của ; Y

)

e f A  f A  với mọi tập con A của X

1.1.10 So sánh hai tôpô

1.1.10.1 Định nghĩa

Cho hai tôpô 1 và 2 trên cùng một tập hợp ,X ta bảo 1 là mịn hơn

2

 (hay 2 là thô hơn 1) nếu, kí hiệu X là tập hợp X với tôpô i i 1,2 ,i  ánh xạ đồng nhất X1 X2 là liên tục Nếu ngoài ra  1  ta bảo 2 1 là chặt chẽ mịn hơn 2 (và 2 là chặt chẽ thô hơn 1) Ta kí hiệu X1 X2, X1 X2

và X1 X2 để chỉ rằng tôpô trên X2 là trùng với tôpô trên X1, tôpô trên X2

là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X và tôpô trên 1 X là chặt chẽ mịn hơn 2

trên X1

Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau

1.1.10.2 Định lí

đây là tương đương

a) 1 mịn hơn 2;

b) Với mọi x X , mọi lân cận của x trong 2 là một lân cận của x trong 1;

c) Mọi tập con mở của X trong 2 là mở trong 1

1.1.11 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi

1.1.11.1 Định nghĩa phép đồng phôi

Cho X Y, là các không gian tôpô Ánh xạ :f X  được gọi là một Y phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f1 liên tục

1.1.11.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng

Cho X Y là các không gian tôpô ,

Ánh xạ :f X  được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở Y trong X thì f G mở trong   Y

Ánh xạ :f X  được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F Y đóng trong X thì f F đóng trong   Y

Nếu :f X  là một đơn ánh và Y f X:  f X  là một phép đồng

phôi thì f gọi là một phép nhúng đồng phôi từ X vào Y

1.1.11.3 Định lí

Cho f : X  Y là song ánh liên tục Khi đó các điều kiện sau là tương đương

( )a f là phép đồng phôi;

 b f là ánh xạ mở;

 c f là ánh xạ đóng

1.1.12 Các tiên đề tách

1.1.12.1 Định nghĩa các T i- không gian

Cho X là không gian tôpô Khi đó:

 X gọi là T - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,0 x y X 

có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x

 X gọi là T1- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì , x y X 

có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

 X gọi là T - không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm 2

khác nhau bất kì ,x y X  tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho

U V  

 X gọi là T - không gian hay không gian chính qui nếu X là 3 T - 1

không gian và với mọi x X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn

tại các tập con mở ,U V sao cho x U F ,  và V U V  

 X gọi là 1

2

T không gian hay không gian hoàn toàn chính qui hay không gian Tychonoff nếu X là T1- không gian và với mọi x X và mọi

tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục f X:  0,1 sao cho f x  và 0 f y  với mọi 1 y F 

 X gọi là T - không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là 4 T - 1

không gian và hai tập con đóng bất kì không giao nhau , A B trong , X tồn tại

các tập con mở , U V sao cho A U , B và V U V  

Ta gọi 0 1 2 3 1 4

3 2

, , , , ,

T T T T T T là các tiên đề tách

Nhận xét. T - không gian j  T - không gian với i j i

1.1.12.2 Định lí

Cho X là không gian tôpô Khi đó X là T 1 - không gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của X là tập đóng

1.1.13 Tổng và tích của các không gian

1.1.13.1 Tổng

Cho   ,  

I

X 



  là một họ các không gian tôpô Đặt X  I X

Xét họ  các tập con G của X thỏa mãn GX  với mọi  Khi đó I

 là một tôpô trên X Không gian X với tôpô  gọi là tổng của họ các không gian đã cho, kí hiệu X  I X

1.1.13.2 Tích

Cho   ,  

I

X 



  là một họ các không gian tôpô

ĐặtX I XI và  : X  X là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X

là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu  liên tục

Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập  1 U ,

,

U   hay có cơ sở là họ tất cả các tập có dạng I

 

1

n

i  U U 

 1, ,n I

Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff Tập X cùng với tôpô Tychonoff

gọi là tích của họ không gian đã cho

1.2 Các lớp không gian tôpô

1.2.1 Không gian compăc

1.2.1.1 Định nghĩa không gian compăc

Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở

của nó đều có chứa phủ con hữu hạn

Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compăc nếu mọi phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn

1.2.1.2 Sự compăc hóa

Giả sử X là một không gian không compăc

Không gian compăc Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một

compăc hóa của không gian X

1.2.1.3 Compăc hóa Stone–Čech

Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy và kí hiệu C là tập hợp tất

cả các hàm liên tục f X:  0,1 C

Ánh xạ e X:  0,1 , C f e x   f x   x X f,  được gọi là C

ánh xạ kết hợp với C Đặt X e X  thì  X e,  được gọi là compăc Stone–Čech hoặc đơn giản là X nếu đồng nhất X với e X  

1.2.1.4 Compăc hóa thực Hewitt

Không gian X pX : với mỗi f C X  có một hàm mở rộng liên tục trên X  p  được gọi là compăc hóa thực Hewitt của X

1.2.1.5 Không gian realcompăc

Một không gian X được gọi là realcompăc nếu X X

1.2.1.6 Định lí về tính compăc trong không gian mêtric

Gọi A là một tập con của không gian mêtric X Khi đó các phát biểu sau là tương đương

 ii A là tập compăc đếm được;

 iii A là tập compăc theo dãy

1.2.1.7 Định lí

Cho X là một không gian compăc Hausdorff Khi đó các phát biểu sau

là tương đương

 i X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai;

 ii Không gian C X với mêtric cận trên là không gian tách được;  

 iii X là không gian mêtric hóa

1.2.2 Không gian compăc theo dãy

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc theo dãy nếu

và chỉ nếu với mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc A

1.2.3 Không gian paracompăc

Không gian tôpô X được gọi là paracompăc nếu nó chính qui và mỗi

phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương

1.2.4 Không gian compăc theo dãy

Một không gian tôpô X được gọi là compăc theo dãy nếu với mỗi dãy

trong X có một dãy con hội tụ

1.2.5 Không gian compăc đếm được

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc đếm được nếu

và chỉ nếu với mỗi tập con vô hạn B của A có điểm tụ thuộc A

1.2.6 Không gian Lindelof

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof nếu với mỗi

phủ mở của nó có một phủ con đếm được

1.2.7 Không gian mêtric hóa

1.2.7.1 Định nghĩa không gian mêtric hóa

Không gian tôpô (X, ) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô  trên X

1.2.7.2 Định nghĩa hữu hạn địa phương

Cho X là không gian tôpô Một họ  các tập con của X được gọi là hữu hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận chỉ giao

hữu hạn với một số phần tử của họ 

1.2.7.3 Định nghĩa cái mịn

Một cái mịn của một phủ trên không gian X là cái phủ mới của không

gian này sao cho với mỗi tập trong phủ mới là một tập con của một tập nào đó thuộc phủ cũ

1.2.7.4 Tập hợp điểm-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là điểm-hữu hạn nếu với mỗi điểm của X chỉ thuộc một số hữu hạn những tập

thuộc A

1.2.7.5 Tập hình sao-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là hình sao-hữu hạn nếu với mỗi tập thuộc A chỉ giao với một số hữu hạn những tập thuộc A