TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X

Định nghĩa không gian compăc Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở của nó đều có chứa phủ con hữu hạn.. Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập com

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thái Sơn Thầy đã rất nhiệt tình trong công tác hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi cũng chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học

Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học Đặc biệt là thầy TS Nguyễn Hà Thanh đã giúp tôi tìm được nhiều tài liệu hay phục vụ cho việc thực hiện đề tài luận văn

Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã có liên lạc với giáo sư S.Kundu - là tác giả nhiều bài báo liên quan đến đề tài chúng tôi quan tâm và cũng đã nhận được nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư Xin chân thành biết ơn Giáo sư S.Kundu

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Tp Hồ Chí Minh, năm 2009

Tác giả Phạm Văn Đông

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 3

1.2 Các lớp không gian tôpô 11

1.3 Không gian tuyến tính tôpô 15

1.4 Cái đều và tôpô đều 17

1.5 Không gian giả-compăc 20

Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở 21

2.2 So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều 32

Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN C ps (X) 3.1 Ánh xạ cảm sinh 39

3.2 Tính mêtric hóa và tính tách được trên Cps(X) 47

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Ba tôpô thông dụng trên C(X) là tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ đều u

và tôpô hội tụ điểm p Tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X) trùng với nhau nếu và chỉ nếu X là compăc Bởi vì tính compăc là điều kiện mạnh

như thế nên có một “lỗ hổng” giữa hai tôpô này Đặc biệt, nó được thấy rõ trong lý thuyết độ đo Chính cái “lỗ hổng” đó mà trong năm thập kỷ qua, có

một vài tôpô được giới thiệu làm cầu nối giữa k và u, cụ thể là tôpô chặt, tôpô

trên những tập con giới nội

Trong một bài báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu và Pratibha Garg

đã giới thiệu một tôpô tự nhiên khác nữa trên C(X), đó là tôpô giả

tôpô giả compăc-mở ps được đề cập ngẫu nhiên, song nó đáng được nghiên

cứu nhiều hơn nữa Chính vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là

“TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)”

2 Mục đích

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Giới thiệu thêm một tôpô lồi địa phương khác nữa giữa tôpô

compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X)

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận Trong đó chương 2 và chương 3 là phần chính của luận văn, ở đây các không gian được xét đều là không gian Tychonoff Cụ thể:

Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương

Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở và so sánh tôpô này

với hai tôpô đã biết là tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều

Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric

hóa và tính tách được của C ps X

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương

có liên quan đến các chương sau Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4] Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô

Cho tập X Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X

nếu thỏa các điều kiện sau:

 Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc 

Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí

hiệu là X,  hay ngắn gọn là X nếu không cần chỉ rõ  là tôpô trên X Các phần tử của không gian gọi là các điểm

Cho X,  là một không gian tôpô Tập G được gọi là tập mở của

X Tập con F của X gọi là tập đóng nếu \ X F mở

1.1.2 Lân cận

a) Cho X,  là không gian tôpô và x X Tập V  X được gọi là

một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x V G

Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x

b) Nhận xét Một tập là mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm

thuộc nó

1.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở

Cho  là một tôpô trên X Một họ con  của  gọi là một cơ sở của 

nếu mọi tập thuộc  đều bằng hợp của một họ các tập thuộc .Hay, họ con

 của  là cơ sở của  nếu , , :   G  x G  V  x V G

Một họ con  của  gọi là một tiền cơ sở của  nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc  là một cơ sở của  Như vậy họ con  của  là tiền

cơ sở của  nếu mọi G  và mọi x G  , tồn tại W W1, 2, ,W n sao cho

cận V của x ta đều có V \ x  A  thì x được gọi là điểm tụ hay điểm

giới hạn của tập A

Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X 

và mọi lân cận V của x, V  A 

1.1.7 Không gian tách được

1.1.8 Các tiên đề đếm được

1.1.8.1 Tiên đề đếm được thứ hai

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó

liên tục tại x X  nếu mọi lân cận V của f x trong Y đều tồn tại lân cận  

U của x trong X sao cho f U  V

Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX

 (hay 2 là thô hơn 1) nếu, kí hiệu X là tập hợp X với tôpô i i 1,2 ,i 

ánh xạ đồng nhất X1 X2 là liên tục Nếu ngoài ra  1  ta bảo 2 1 là chặt

chẽ mịn hơn 2 (và 2 là chặt chẽ thô hơn 1) Ta kí hiệu X1 X2, X1 X2

và X1 X2 để chỉ rằng tôpô trên X2 là trùng với tôpô trên X1, tôpô trên X2

trên X1

Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau

1.1.10.2 Định lí

đây là tương đương

phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f1 liên tục

1.1.11.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng

1.1.12.1 Định nghĩa các T i- không gian

 X gọi là T - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,0 x y X 

có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x

 X gọi là T1- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì , x y X 

có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

khác nhau bất kì ,x y X  tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho

U V  

 X gọi là T - không gian hay không gian chính qui nếu X là 3 T - 1

không gian và với mọi x X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn

tại các tập con mở ,U V sao cho x U F ,  và V U V  

 X gọi là 1

2

T không gian hay không gian hoàn toàn chính qui

tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục f X:  0,1 sao cho f x  và 0 f y  với mọi 1 y F 

 X gọi là T - không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là 4 T - 1

không gian và hai tập con đóng bất kì không giao nhau , A B trong , X tồn tại

các tập con mở , U V sao cho A U , B và V U V  

3 2

Xét họ  các tập con G của X thỏa mãn GX  với mọi  Khi đó I

không gian đã cho, kí hiệu X  I X

ĐặtX I XI và  : X  X là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X

là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu  liên tục

Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff Tập X cùng với tôpô Tychonoff

gọi là tích của họ không gian đã cho

1.2 Các lớp không gian tôpô

1.2.1 Không gian compăc

1.2.1.1 Định nghĩa không gian compăc

Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở

của nó đều có chứa phủ con hữu hạn

Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compăc nếu mọi phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn

1.2.1.2 Sự compăc hóa

Giả sử X là một không gian không compăc

Không gian compăc Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một

compăc hóa của không gian X

1.2.1.3 Compăc hóa Stone–Čech

Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy và kí hiệu C là tập hợp tất

cả các hàm liên tục f X:  0,1 C

Ánh xạ e X:  0,1 , C f e x   f x   x X f,  được gọi là C

ánh xạ kết hợp với C Đặt X e X  thì  X e,  được gọi là compăc

Stone–Čech hoặc đơn giản là X nếu đồng nhất X với e X  

1.2.1.4 Compăc hóa thực Hewitt

liên tục trên X  p  được gọi là compăc hóa thực Hewitt của X

1.2.1.5 Không gian realcompăc

1.2.1.6 Định lí về tính compăc trong không gian mêtric

Gọi A là một tập con của không gian mêtric X Khi đó các phát biểu sau là tương đương

 ii A là tập compăc đếm được;

 iii A là tập compăc theo dãy

1.2.1.7 Định lí

Cho X là một không gian compăc Hausdorff Khi đó các phát biểu sau

là tương đương

 i X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai;

 ii Không gian C X với mêtric cận trên là không gian tách được;  

 iii X là không gian mêtric hóa

1.2.2 Không gian compăc theo dãy

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc theo dãy nếu

1.2.3 Không gian paracompăc

phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương

1.2.4 Không gian compăc theo dãy

Một không gian tôpô X được gọi là compăc theo dãy nếu với mỗi dãy trong X có một dãy con hội tụ

1.2.5 Không gian compăc đếm được

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc đếm được nếu

và chỉ nếu với mỗi tập con vô hạn B của A có điểm tụ thuộc A

1.2.6 Không gian Lindelof

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof nếu với mỗi

phủ mở của nó có một phủ con đếm được

1.2.7 Không gian mêtric hóa

1.2.7.1 Định nghĩa không gian mêtric hóa

gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi

mêtric d trùng với tôpô  trên X

1.2.7.2 Định nghĩa hữu hạn địa phương

Cho X là không gian tôpô Một họ  các tập con của X được gọi là hữu hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận chỉ giao

hữu hạn với một số phần tử của họ 

1.2.7.3 Định nghĩa cái mịn

Một cái mịn của một phủ trên không gian X là cái phủ mới của không

gian này sao cho với mỗi tập trong phủ mới là một tập con của một tập nào đó thuộc phủ cũ

1.2.7.4 Tập hợp điểm-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là

điểm-hữu hạn nếu với mỗi điểm của X chỉ thuộc một số hữu hạn những tập

thuộc A

1.2.7.5 Tập hình sao-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là hình

sao-hữu hạn nếu với mỗi tập thuộc A chỉ giao với một số hữu hạn những tập

thuộc A

1.2.7.6 Tập hợp dạng G

G tập) khi và chỉ khi nó là giao của một họ đếm được các tập con mở của

không gian đó

1.2.7.7 Không gian có dạng không-tập-chéo

Một không gian X được gọi là có dạng không-tập-chéo nếu tồn tại một

hàm liên tục f X X:   0,1 sao cho   f1 0 với    x x x X, :  

1.3 Không gian tuyến tính tôpô

1.3.1 Khái niệm không gian tuyến tính tôpô

Một không gian tuyến tính (thực hay phức) có thể đồng thời được trang

bị một cấu trúc tôpô Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa tôpô

Một không gian tuyến X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu

trúc đại số gọi là một không gian tuyến tính tôpô (hay không gian vectơ tôpô)

1.3.2 Định lí

i) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V a  là một lân cận của a

ii) Nếu V là lân cận của gốc thì với mọi  0, V cũng là lân cận

của gốc

Như vậy, tôpô của không gian hoàn toàn xác định bởi tập các lân cận của gốc: biết tập này thì mọi lân cận của một điểm tùy ý sẽ suy ra bằng một phép tịnh tuyến Do đó sau đây ta thường chỉ nói về các lân cận của gốc, và

để cho gọn, ta sẽ nói tắt “lân cận” (chứ không nói rõ “của gốc”), trừ trường hợp sợ nhầm lẫn

 i Mỗi V  đều cân đối và hấp thu; 

 ii Nếu V  thì V   với mọi    0;

 iii Mỗi V  bao hàm một W  sao cho  W W V;

 iv Với mỗi cặp V V1, 2 tồn tại W  sao cho  W   V1 V2

Ngược lại, nếu trong một không gian tuyến tính X lấy một họ    

các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên

X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận  làm cơ sở lân cận của gốc

1.3.5 Không gian lồi địa phương

1.3.5.1 Tôpô lồi địa phương

quan trọng đó là các không gian lồi địa phương

1.3.5.2 Định nghĩa

Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận

(của gốc) gồm toàn tập lồi Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi

và nhận làm cơ sở lân cận họ tất cả các tập có dạng n1  0, 0

i V i V i

    

1.3.5.4 Định lí

Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn  tùy ý Trên

X có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc

họ  đều liên tục Tôpô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc

họ tất cả các tập có dạng x: sup1  i n p x i   ( 0,p i)

1.4. Cái đều và tôpô đều

1.4.1 Định nghĩa

Cái đều trên tập X đó là họ U khác rỗng những tập con của X X

thỏa mãn các điều kiện sau:

 a Mỗi một phần tử của họ U đều chứa đường chéo ;

 b Nếu UU thì U1U ;

 c Nếu U U thì V V U  với một V nào đó thuộc ;U

 d Nếu U U và U V  X X thì VU

Cặp X,U được gọi là không gian đều 

của họ 

1.4.2 Định lí

Họ  các tập con của tích X X  là một cơ sở của cái đều trên X khi

và chỉ khi đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

 a Mỗi phần tử của họ  đều chứa đường chéo đường chéo ; 

 b Nếu U thì U1 chứa một phần tử nào đó của họ ;

 c Nếu U thì V V U với một phần tử V nào đó trong ;

 d Giao của hai phần tử bất kì của họ  đều chứa một phần tử nào đó của 

Trong đó U1     x y, : ,y x U và    x x x X, :  

1.4.3 Tôpô đều

 

   : ,  

U x  y x y U

1.4.4 Định lí

Phần trong của một tập con A của không gian X đối với tôpô đều là tập tất cả những điểm x sao cho U x  A với một U nào đó trong U

U của cái đều U Do đó họ tất cả các tập dạng U x trong đó U , U là cơ

nhưng điều đó không quan trọng lắm)

một số k sao cho k s với mọi s S Số k được là cận trên của S

nếu có một số m sao cho m s với mọi s S Số m được là cận dưới của S

và bị chặn dưới Do đó một tập những số thực được gọi giới nội nếu nó được chứa trong một khoảng hữu hạn

1.5.1.2 Định nghĩa

Một không gian tôpô X được gọi là không gian giả-compăc nếu với

mọi ánh xạ liên tục :f X  thì f X giới nội  

1.5.1.3 Các kết quả

 Nếu ta kí hiệu F X   , , , K X KC X  PS X lần lượt là các  

tập hợp: tất cả những tập con hữu hạn, tất cả những tập con compăc, tất cả

những tập con compăc đếm được, tất cả những tập con giả-compăc của X thì

ta có F X K X  KC X PS X 

 Nếu A PS X   thì f A  f A  với :f X  là ánh xạ liên tục

chuẩn tắc X thì các phát biểu sau là tương đương

 i A là tập compăc đếm được;

 ii A là tập giả-compăc

Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ

2.1 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở

2.1.1 Nhắc lại định nghĩa không gian giả compăc

giới nội của với mỗi f C X 

2.1.2 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở

Bởi vì bao đóng của một tập con giả compăc là tập giả compăc nên

ta luôn có thể lấy A là tập con đóng giả compăc trong X

 Nếu A K X   thì A V cũng là tập mở trong tôpô compăc-mở, , 

với K X là tập hợp tất cả những tập con compăc của   X

Khi đó tập hợp A A PS X :   , 0 là một cơ sở của một cái đều

nào đó trên C X  Thật vậy,

là C ps u,  X Tôpô này được gọi là tôpô hội tụ đều trên PS X .

Với mỗi A PS X   và   ta định nghĩa nửa chuẩn 0 p trên A C X  

theo công thức p A f sup f x :x A 

Cũng với mỗi A PS X   và 0  , ta đặt

V A, f C X :p A f   và VV A, :A PS X  , 0 

Ta kiểm tra được rằng với mỗi f C X , f  V f V V : V tạo 

thành một cơ sở lân cận tại f Để làm điều này ta chỉ cần chứng minh V là một cơ sở lân cận của gốc, tức là kiểm tra nó phải thỏa mãn các điều kiện sau:

- Mỗi V A, V đều cân đối

Với mọi g V A, ta có p g A  hay  supg x  :x A  

Khi   ta có 1 sup g x :x A  hay  p A  g  .Suy ra g V A,

 ii Mỗi V A, V thì V A, V với mọi 0. 

,

A

g V 

  sẽ  f V A, sao cho g  f

Bởi vì tôpô này được sinh bởi tập hợp nửa chuẩn nên nó là tôpô lồi địa phương

2.1.3 Nhận xét

 Một tập con đóng của một tập giả compăc có thể không là giả compăc

 Một miền con đóng của một tập giả compăc là giả compăc (Một

một miền đóng.)

2.1.4 Định lí

Với bất kì không gian , X tôpô giả compăc-mở trên C X  trùng với

tôpô hội tụ đều trên những tập con giả compăc của X, tức là

Gọi A V,  là một tập mở thuộc tiền cơ sở trong C ps X và f A V, 

Vì f A  là tập compăc nên tồn tại z z1, , ,2 z n f A  sao cho

Vậy f V A,  f A, , 

2

g f A  đặt h x g x  f x với x A Suy ra h x   g x  f x   2

Do đó C ps X C ps u,  X là không gian lồi địa phương

Nếu f và g là hai hàm phân biệt trong C X  thì tồn tại x X sao

Vì C ps X C ps u,  X nên C ps X là không gian Tychonoff