LT HÌNH học 10 CHƯƠNG III tọa độ PHẲNG

Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương..  Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.. Vectơ pháp tuyến của đường thẳn

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Đường thẳng y = ax + b:

Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng gọi là đường thẳng y = ax + b

2 Hệ số góc của đường thẳng:

y

d



 Tang của góc  tạo bởi đường thẳng d với trục Ox được gọi là hệ số góc của đường thẳng d

k = tan

 Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a

3 Đường tròn:

 Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R Đường tròn tâm O, bán kính R thường được kí hiệu C(O; R)

C(O; R) = {M  OM = R}

 Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng

tiếp xúc với đường tròn tại một điểm

 Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với

bán kính tại tiếp điểm

 Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O;

R) khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến  bằng

bán kính R

Tiếp điểm

Tiếp tuyến của đường tròn R

O M

4 Quan hệ giữa hai vectơ:

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau  u cùng phương v k  R\{0} : u=kv

 u v  u.v= 0

§1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng  nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng

với 

Nhận xét:

 Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường

thẳng  thì k u (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương

của  Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ

phương

 Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu

biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường

thẳng đó

y

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

u v

2 Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ u  (u1;u2) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:















t u y y

t u x x

2 0

1

0 , trong đó tR là tham số

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

Nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  (u1;u2) với u1 ≠ 0 thì  có hệ số góc

1

2

u

u

k 

3 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của

đường thẳng  nếu n 0 và n vuông góc với

vectơ chỉ phương của 

Nhận xét:

 Nếu n là một vectơ pháp tuyến của

đường thẳng  thì k nk  0 cũng là một vectơ

pháp tuyến của  Do đó một đường thẳng có vô

số vectơ pháp tuyến

 Một đường thẳng hoàn toàn được xác

định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến

của nó

O

x

y

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

n

u

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận n a;b

làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0 hay ax + by + c = 0 với c = ax0 + by0

Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 thì  có

một vectơ pháp tuyến là n= (a; b) và có một vectơ chỉ phương là u= (-b; a)

b) Các trường hợp đặc biệt:

Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)

 Nếu a = 0 thì (1) trở thành bx + c = 0 hay

b

c

y  Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Oy tại điểm (0;

b

c

y

x O

- c b

 Nếu b = 0 thì (1) trở thành ax + c = 0 hay x =

a

c

Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Ox tại điểm

( ; 0

a

c

y

x O

- c a

 Nếu c = 0 thì (1) trở thành ac + by = 0

Khi đó đường thẳng  đi qua gốc tọa độ O

y

x O

 Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa (1) về dạng 1

0 0





b

y a x

với

b

c b a

c

a0   , 0   Đây là phương trình đường thẳng theo

đoạn chắn của 

Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; O) và

N(0; b0)

- c b

- c a

y

x O

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là:

a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

(I) 0

0

2 2 2

1 1 1



















c y b x

a

c y b x

a

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0)  cắt 2 tại điểm M0x0; y0

b) Hệ (I) có vô số nghiệm  1 trùng 2

c) Hệ (I) vô nghiệm  1 song song 2

6 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng 1: a1x+b1y+c1 = 0,

2: a2x+b2y+c2=0

Góc giữa hai đường thẳng 1, 2 được kí hiệu là (1, 2)

Đặt  = (1, 2), khi đó ta có: cos

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

b a b a

b b a a











n2

n 1





2 1

* Chú ý:

 1  2  n 1 n2  a1a2 + b1b2 = 0

 Nếu 1 và 2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì 1  2

 k1.k2 = -1

7 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm

M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính bởi công thức:

2 2 0 0

0 ,

b a

c by ax M

d









VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng

 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần xác định một điểm M x y0( ; )0 0  và một VTCP u ( ; )u u1 2 của 

y y00 tu12

  

  

u1 0 u2 0

 (u1  0, u 2  0)

 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định một điểm

M x y0( ; )0 0  và một VTPT n ( ; )a b của 

 Một số bài toán thường gặp:

+  đi qua hai điểm A x y( ; ) , ( ; )A A B x y B B (với x A x y B, A y B ):



a b  1 +  đi qua điểm M x y0( ; )0 0 và có hệ số góc k: PT của : y y 0 k x x(  0)

Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng

sau:

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d

Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM Khi đó:

I d





có thể thực hiện như sau:

VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác

Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó

Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác

Sau đây là một số dạng:

Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường

cao BB, CC

Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường

cao BB, CC

Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường

trung tuyến BM, CN

Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và

trung điểm M của cạnh BC

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 : a x b y c1  1  1 0 và 2 : a x b y c2  2  2  0

a x b y c12 12 12

0 0

a12  b12 (nếu a b c2 2 2, , 0)

a12 b12 c12 (nếu a b c2 2 2, , 0)

a12 b12 c12 (nếu a b c2 2 2, , 0)

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   và điểm M x y0( ; )0 0

d M

0 0



2 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N)

3 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 : a x b y c1  1  1 0 và 2 : a x b y c2  2  2  0cắt nhau

 

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1:

đường phân giác của góc trong tam giác)

AC.

AC.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Cách 2:

– Viết phương trình các đường phân giác d 1 , d 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 : a x b y c1  1  1 0 (có VTPT n1 ( ; )a b1 1 )

và 2 : a x b y c2  2  2 0 (có VTPT n2 ( ; )a b2 2 )

n n khi n n

0

( , )



n n

1 2 1 1 2 2

cos( , ) cos( , )

1 2

0    ,  90  1 2 a a1 2b b1 2 0

 Cho 1 : y k x m 1  1, 2 : y k x m 2  2 thì:

AB AC

.

.

§2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

* Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa

độ O và có bán kính R là: x2 + y2 = R2

R b

a

M(x; y)

I(a; b)

y

2 Nhận xét:

Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0 Khi đó (C) có bán kình là R = a2 b2 c

3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R

Tiếp tuyến  tại điểm M(x0; y0) nằm trên đường tròn

(C) có phương trình:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

M 0

I M

VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường trịn

thì (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kính R

thì – Biến đổi đưa về dạng (x a )2  (y b)2R2

Chú ý: Phương trình x2y2 2ax 2by c  0 là phương trình đường trịn nếu thoả

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán

kính R của (C) Khi đó phương trình đường tròn (C) là: (x a )2  (y b)2 R2

Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A

Dạng 3: (C) có đường kính AB



1

( , ) ( , ) (1)





Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d

( , )  ( , ) 

 

Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam

giác)

IA IC

 

 

– Bán kính R = IA = IB = IC

Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC

giác

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

1 Tập hợp các tâm đường tròn

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau:

a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I

y g m( )( )

 

 

c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0

d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y

e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x;y)=0 cùng với phần giới hạn ở d)

2 Tập hợp điểm là đường tròn

Thực hiện tương tự như trên

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0   và đường tròn (C):

x2y2 2ax 2by c  0, ta có thể thực hiện như sau:

+ d I d( , ) R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

+ d I d( , ) R  d tiếp xúc với (C)

+ d I d( , ) R  d và (C) không có điểm chung

0

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 )

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1 ): x2y2 2a x1  2b y c1  1 0, (C 2 ):

x2y2 2a x2  2b y c2  2 0 ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I 1 I 2 với các bán kính R 1 , R 2

trình:

2 2

2 2





VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến của đường tròn (C)

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0( ; )0 0  (C)

–  đi qua M x y0( ; )0 0 và có VTPT IM0

– Dựa vào điều kiện: d I( , )  R , ta tìm được t Từ đó suy ra phương trình của 

của 

§3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP

1 Định nghĩa đường elip:

 Cho hai điểm cố định F F1 , 2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F F1 2 Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F M1 F M2  2 a

 Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip Độ dài F F1 2  2c gọi là tiêu cự của elip

2 Phương trình chính tắc của elip:

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 Chọn hệ

trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi đó

phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:

1

2

2 2

2





b

y a

x với b2 = a2 - c2

M(x; y)

x O

B2

B1

A2 A1

F2 F1

3 Hình dạng của elip:

 (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối

xứng là gốc O

 (E) cắt trục Ox tại hai điểm A1(-a;0), A2(a;0) và cắt

 (E) cắt trục Oy tại hai điểm B1(0;-b), B2(0;b)

 Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

 Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2

gọi là trục nhỏ của elip

 Tỉ số

a

c= e được gọi là tâm sai của elip

B2

A2 a F2(c; 0)

F 1 (-c; 0)

A 1 -a

B 1 -b

b

4 Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:

a) Từ hệ thức 2 2 2

b a c ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần

bằng trục lớn Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương

trình 2 2 2

x  y a Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta

xét điểm M'(x'; y') sao cho













y a

b y

x x

'

'

(với 0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình '22  '22  1

b

y a

một elip (E) Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip

(E)

M'(x'; y') H

M(x; y)

x y

O

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1 Định nghĩa

Cho F1, F2 cố định với F F1 2  2c (c > 0)

M ( )E MF MF1 2 2a (a > c)

F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2  2c : tiêu cự

2 Phương trình chính tắc của elip

2 2

2  2  1 (a b  0,b2a2c2)  Toạ độ các tiêu điểm: F c1( ;0),  F c2( ;0)

 Với M(x; y)  (E), MF MF1, 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M

1   , 2  

3 Hình dạng của elip

 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ các đỉnh: A a1( ;0),  A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b

 Độ dài các trục: trục lớn: A A1 2  2a, trục nhỏ: B B1 2 2b

 Tâm sai của (E): e c

a

 (0 < e < 1)  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y,  b (ngoại tiếp elip)

4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)

 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: a

x

 

 Với M  (E) ta có: MF MF

e

d M( , )11 d M( , )22  (e < 1)

VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (E)

Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc: x y

2 2

2  2  1 Xác định a, b, c

Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b

a

 

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (E)

Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E) Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):

a

+ Các đỉnh: A a1( ;0),  A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước

1   , 2  

VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm

Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các

dạng:

Dạng 1: MF MF1 2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục lớn 2a

Dạng 2: x y

2 2