LT HÌNH học 10 CHƯƠNG II TÍCH vô HƯỚNG

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1... Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc:  Tính các giá trị lượng giác của góc : đo góc là

CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ

ỨNG DỤNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Các điểm đặc biệt trong tam giác:

M

G

a

A

Trọng tâm G của

tam giác là giao

điểm ba đường trung

3

2

h c

h b

H

h a

a

A

Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao

R O

B A

C

Tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC là giao điểm ba đường trung trực

I r

a

A

Tâm I của đường

ABC là giao điểm ba đường phân giác trong

2 Tam giác vuông ABC vuông tại A:

 Hệ thức lượng:

B 

A

C

sin =

BC

AC cos =

BC AB

tan =

AB

AC cot =

AC AB

 Diện tích: S =

2

M H B

A

C

AC AB

2 1

 Công thức khác:

AB.AC = AH.BC

3 Các công thức đặc biệt:

 Diện tích tam giác đều: S=(cạnh)2

4

2 3

4 Diện tích các hình đặc biệt khác:

 Hình vuông: S = cạnh  cạnh

 Hình thoi: S =

2

1 (chép dài  chéo ngắn)  Hình chữ nhật: S = dài  rộng

 Hình thang: S =

2

 Hình bình hành: S = đáy  chiều cao

5 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

N

P M

B

 ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng

bằng nhau

 Nếu ABC ∽MNPthì

MP

MN

AC AB 

N

B A

C M

BC

MN AC

AN AB

AM





§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT

KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800

1 Định nghĩa:

Nửa đường tròn đơn vị:

Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên

trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa

1

R = 1 O

y

x

Với mỗi góc  (00    1800) ta xác định một

điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM

bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi đó

ta định nghĩa:

 sin của góc  là x0, kí hiệu sin = y0;

 côsin của góc  là x0, kí hiệu cos = x0;

 tang của góc  là

0

0

x

y (x0 ≠ 0), kí hiệu tan =

0

0

x

y ;

 côtang của góc  là

0

0

y

x (y0≠ 0), kí hiệu cot =

0

0

y

x

x 0

y 0

M



1 -1

1

R = 1 O

y

x

Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc 

* Chú ý:

 Nếu  là góc tù thì cos, tancot

 tan chỉ xác định khi  ≠ 900, cot chỉ xác định khi  ≠ 00 và  ≠ 1800

2 Tính chất:

sin(1800 -  = sin

cos(1800 -  = -cos

tan(1800 -  = -tan

cot(1800 -  = -cot

N



-x 0

M

y 0

x 0

y

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

 Giá trị

0 300 450 600 900

2

1

2

2

2

2

3

2

2

2

1

0

3

1

3

1

0

4 Góc giữa hai vectơ:

Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b đều khác

vectơ 0 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a và

b

OB   Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 được

gọi là góc giữa hai vectơ a và b Ta kí hiệu

góc giữa hai vectơ a và b là ( b a,)

Nếu ( b a,)= 900 thì ta nói rằng a và b vuông

góc với nhau, kí hiệu là a b hoặc ba

b

a b

a

O

A B

* Chú ý: Từ định nghĩa ta có ( b a,) = ( a b,)

5 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc:

 Tính các giá trị lượng giác của góc :

đo góc là "độ"

Để tính sin, cos, tan của một góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc 

Ví dụ: Tính sin của góc  = 63052'41'' ta thực hiện:

Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn

=

ta được kết quả  0.897859012

 Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó:

Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan của góc  là bao nhiêu độ ta thực hiện:

Deg Rad Gra

1 2 3

"Độ" "Radian"

O x

y

M

x

y



1 -1

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

 Chọn đơn vị cho máy là "Deg"

ấn sin-1, cos-1 hay tan-1  ấn số a  ấn =

Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện:

ta được kết quả 20029'58''

6 Công thức sin 2  + cos 2 :

Với mọi góc  bất kì ta có: sin2 + cos2

* Chú ý: (sin)2 được kí hiệu sin2



K

H

M

y

1 Định nghĩa

sin = y (tung độ)

x hoành độ

y tung độ

2 Tính chất

0 0 0 0

0 0 0 0

3 Các hệ thức cơ bản

sin

cos cos

sin









2

2 2

2

1

cos 1

sin





Chú ý: 0 sin      1; 1 cos   1

§2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

1 Định nghĩa:

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức sau:

) , cos(

a     

* Chú ý:  Nếu a= 0 hoặc b= 0 ta quy ước a.b= 0

 Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b 0 ab

 Khi a b tích vô hướng a.a= a.a cos 0 0 được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a

a

2 Các tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ a , ,b c bất kì và mọi số k ta có:

a b

b

c a b a c b

a.() .. (tính chất phân phối)

) (

) ( ).

(k a bk ab a k b

0 0

,









Từ các tính chất của tích vô hướng, ta có:

(ab) 2 a2  2a.bb2 (ab) 2 a2  2a.bb2 (ab)(ab) a2 b2

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Trên mặt phẳng tọa độ (O,i,j), cho hai vectơ a  (a1;a2), b  (b1;b2) Khi đó:

2 2 1 1

.b a b a b

a 

* Nhận xét: Cho hai vectơ a  (a1;a2), b  (b1;b2) đều khác vectơ 0 Ta có:

0 



b a b

4 Ứng dụng:

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a  ( a a1; 2) được tính theo công thức:

2 2

2

a

b) Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a  (a1;a2), b  (b1;b2) đều khác 0 thì ta có:

2 2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1

.

) ,

cos(

b b a a

b a b a b

a

b a b a









  









c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A x A;y A ; B x B;y B

được tính:

2

)

AB

O A

B

a b

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1 Góc giữa hai vectơ

Cho a b,  0 Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b , 

Khi đó  a b, AOB với 00  AOB  1800

Chú ý:

+    a b,  b a,

2 Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩa: a b a b  cos , a b

 Tính chất: Với a b c, , bất kì và kR, ta có:

+ a b b a  ;  a b c a b a c  ;

 ka b k a b.   . a kb. ; a2  0;a2    0 a 0

2

2

a2 b2 a b a b   

+ a b. < 0   a b, tuø

a b. = 0   a b, vuoâng

3 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a b a b a b  1 1 2 2

a b

1 1 2 2

cos( , )

.





  ; a b a b a b1 1 2 2 0

 Cho A x y( ; ), ( ; )A A B x y B B Khi đó: AB (x Bx A)2 (y By A)2

§3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ

GIẢI TAM GIÁC

1 Định lí côsin:

a) Định lí: Trong tam giác ABC bất kì với

BC = a, CA = b, AB = c ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bccosA

b2 = a2 + c2 - 2accosB

c2 = a2 + b2 - 2abcosC

a

B

A

C

b) Hệ quả:



bc

a c b A

2

ac

b c a B

2

ab

c b a C

2

c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C Ta có:

4 2

2 2 2

4 2

2 2 2

4 2

2 2 2

m a

a M

B

A

C

2 Định lí sin:

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,

CA = b, AB = c và R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp ABC, ta có:

R C

c B

b A

a

2 sin sin

a

R O

C B

A

3 Công thức tính diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC Gọi p =

2

c b

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

2

1 2

1 2

1





2

1 sin 2

1 sin

2

1





S =

R

abc

4

S = pr

S = p(pa)(pb)(pc) (công thức Hê-rông)

h a

r

a R

O

C B

A

4 Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc:

a) Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yêu tố khác

b) Ứng dụng vào việc đo đạc:

 Vấn đề 1: Để đo chiều cao của một cây trong sân (không leo lên cây) ta làm như thế nào?

 Vấn đề 2: Muốn biết con sông rộng bao nhiêu ta làm sao? (không có phương tiện qua sông)

Cho ABC cĩ:

– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

1 Định lí cơsin

a2 b2c2 2 cosbc A; b2 c2a2 2 cosca B; c2 a2b2 2 cosab C

2 Định lí sin

3 Độ dài trung tuyến

4

4

4



nửa tích số hai cạnh nhân sin góc xen giữa

một phần hai cạnh đáy nhân chiều cao

O M

C

D

T

R

4 Diện tích tam giác

R

4

= p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho

trước

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao

 BC2 AB2AC2 (định lí Pi–ta–go)

 AB2 BC BH. , AC2 BC CH.

 AH2 BH CH. ,

AH2 AB2 AC2

 AH BC AB AC 

 b a sinB a cosC c tanB c cotC; c a sinC a cosB b tanC b cotC

6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

PM/(O) = MA MB MC MD MO   2R2

 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT

PM/(O) = MT2MO2R2