Bài toán quỹ tích cung chứa góc 1, Bài toán.. Tìm quỹ tích tập hợp các điểm M thoả mãn AMB =... Chứng minh: Trước hết, ta hãy xét một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB.. a, Phần t
Trang 1Cung chứa góc
1 Bài toán quỹ tích cung chứa góc
1, Bài toán Cho đoạn thẳng AB và góc Tìm quỹ tích
(tập hợp ) các điểm M thoả mãn AMB = ( Ta cũng nói quỹ tích các diểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc )
) 180 0
( 0 < α < 0
α
α
α
?1.Cho doạn thẳng CD
a, Vẽ ba điểm N1, N2, N3 sao cho CN1D = CN2D = CN3D = 900
b, Chứng minh rằng các điểm N1, N2, N3 nằm trên đường tròn đư
ờng kính CD
N1
N3
N2
Trang 2?2 Vẽ một góc trên bìa cứng ( chẳng hạn góc 750 ) Cắt ra Đóng hai chiếc đinh A, B cách nhau 3 cm trên một tấm gỗ phẳng
Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A, B Đánh dấu các vị trí của các điểm M1, M2,
M3, ……., M10
Hãy dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M
Điểm M chuyển động trên hai cung tròn có hai dầu mút là Avà B.
M2
M8
M10
Trang 3Chứng minh:
Trước hết, ta hãy xét một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB
a, Phần thuận:
Giả sử M là là điểm thoả mãn AMB = và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét Xét cung AmB đi qua ba điểm A, M, B.α
Ta sẽ chứng minh tâm O của đường tròn chứa cung đó là một
điểm cố định( không phụ thuộc vào M)
Thực vậy, trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa M, kẻ tia tiếp tuyến A x của dường tròn di qua ba điểm A, M, B thì góc tạo bởi
A x và AB bằng , do đó tia A x cố định Tâm 0 phải nằm trên
đường thẳng A y vuông góc với A x tại A Mặt khác, 0 phải nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB Từ đó giao điểm 0
của d và Ay là môt điểm cố định, không phụ thuộc vào M Vậy M
α
0
M
x
y
dα α
m
x
M α α
m 0
Trang 4b, Phần đảo Lấy M’ là một điểm thuộc cung AmB , ta
phải chứng minh AM’B = α
Thật vậy , vì góc AM’B là góc nội tiếp , góc A xB là góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây cung, hai góc này cùng chắn cung AnB nên
AM’B = xAB = α
n
0
α
Tương tự , trên nửa mặt phẳng đối với mặt phẳng đang xét, ta còn
có cung Am’ B đối xứng với cung AmB qua AB cũng có t/c như
cung AmB
α
Mỗi cung trên gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB , tức là
0
0’
m
m’
M’
M
α
α α
Trang 5c, Kết luận : Với đoạn thẳng AB và góc cho trước thì
quỹ tích các điểm M thoả mãn AMB = là hai cung chứa góc trên đoạn AB
) 180 ( 0 < α < 0
α o
0
90
=
α
α
•Chú ý:
•Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB
•Hai điểmm A,B được coi là thuộc quỹ tích
ờng kính AB Như vậy ta có : Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
•Cung AmB là là cung chứa góc thì cung AnB là cung chứa
α
Trang 62 C¸ch vÏ cung chøa gãc α
-VÏ ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB
-VÏ tia A x t¹o víi gãc AB gãc
-VÏ ®êng th¼ng Ay vu«ng gãc víi A x Giao ®iÓm cña
Ay víi d lµ 0
-VÏ cung AmB , t©m 0 , b¸n kÝnh OA sao cho cung nµy n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa tia A x
-Ta cã cung AmB lµ cung chøa gãc
α
α
Trang 72 Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất
T là một hình H nào đó , ta phải chứng minh hai phần
•Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
•Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
•Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp ) các điểm M có tính chất T
thuộc hình H