CHUYÊN DẤU HIỆU CHIA HẾT

Tính chất chia hết của một tổng và hiệu: - Nếu cả các số hạng của một tổng hoặc hiệu đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó: a m,b m,M M => +a b mM - Nếu chỉ có một số

CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa:

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0

Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq

2 Các tính chất chung:

- Với ∀ a ≠ 0 ⇒ a  a (Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó)

- Nếu a  b và b  c ⇒ a  c (Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c)

- Với ∀ a ≠ 0 ⇒ 0  a (Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0)

- Với ∀ a ⇒ a  1 (Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1)

3 Tính chất chia hết của một tổng và hiệu:

- Nếu cả các số hạng của một tổng (hoặc hiệu) đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó:

a m,b m,M M => +a b mM

- Nếu chỉ có một số hạng của tổng (hoặc hiệu) không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó

a m,b mM/ M => +(a b) m/M

4 Tính chất chia hết của một tích:

- Nếu a  b và c bất kỳ ⇒ ac  b (Nếu một thừa số của tích chia hết cho b thì tích chia hết cho b)

- Nếu a  b và c  d ⇒ ac  bd (Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn)

- Nếu a  b và n > 0 ⇒ an  bn (Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn)

5 Dấu hiệu chia hết:

Gọi N = n n 1 1 0

a a a a−

a) Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125

+ N  2 ⇔ a0  2 ⇔ a0∈{0; 2; 4; 6; 8}

+ N  5 ⇔ a0  5 ⇔ a0∈{0; 5}

+ N  4 (hoặc 25) ⇔ a a1 0 4 (hoặc 25)

+ N  8 (hoặc 125) ⇔ a a a2 1 0 8 (hoặc 125)

+ N  3 (hoặc 9) ⇔ a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)

• Một số dấu hiệu chia hết khác:

- Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 và đồng thời vừa chia hết cho 3

- Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 2 lần chữ số tận cùng chia hết cho 7 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hêt cho 7)

- Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ

số hàng lẻ chia hết cho 11

- Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4 lần chữ số tận cùng chia hết cho 13 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hêt cho 13)

- Dấu hiệu chia hết cho 14: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 7

- Dấu hiệu chia hết cho 15: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết cho 5

Chú ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0, 2, 6

II BÀI TẬP:

Bài 1 Không tính các tổng, các hiệu, xét xem các tổng, các hiệu sau có chia hết cho 8 không:

a) 88 + 32; b) 88 – 32; c) 48 + 14; d) 48 – 14;

e) 16 + 48 – 32; f) 16 + 48 + 30

LG:

a) vì 88 và 32 M

8 nên 88 + 32 M

8 c) Vì 48M

8 nhưng 14M/

8 nên 48 + 14 M/

8 Bài 2 Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8 Hỏi số a có chia hết cho 4 không? Có chia hết cho 6 không?

LG:

a = 12.b + 8

Do 12 và 8 M

4, nên a M

4

a M/

6 vì 12M

6 nhưng 8 M/

6

Bài 3 Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?

a) 128 + 190;

b) 735 – 340;

c) 1.2.3.4.5.6.7 – 52

d) 1.3.5.7 + 75

LG:

a) Vì 128 và 190 M

2 nên 128 + 190 M

2 Bài 4 Không thực hiện phép chia, hãy tìm số dư khi chia mỗi số sau đây cho 2 và 5

813; 264; 736; 6547

LG:

813 chia 2 dư 1, 813 chia 5 dư 3

Bài 5 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5 thì dư 3

LG:

Gọi số có 2 chữ số là ab ( a khác 0, a, b < 10)

ab chia hết cho 2, vậy b có thể bằng 0, 2, 4, 6, 8

ab chia 5 dư 3, nên b = 8

Vậy số phải tìm là 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98

Bài 6 Tổng hiệu sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không?

a) 1251 + 5316; b) 5436 – 1324;

c) 1.2.3.4.5.6.7 + 27.

Bài 7 Điền vào dấu * để:

a) 5*8 M

3; b) 6*3 M

9; c) 43* chia hết cho 3 và 5; d) *81* M

2, 3, 5, 9

LG:

a) để 5*8 M

3 => 5 + * + 8 M

3 => 13 + * M

3 Vậy * ∈{ }2,5

b) 6*3 M

9 => 9 + * M

9 => ∈{ }0,9 c) 43* M

3, M

5 => * = 5 d) *81* M

2, M

5 => *810

*810 M

3, M

9 => * + 8 + 1 + 0 M

9 => * = 9 Bài 8 Chứng tỏ rằng:

a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 2 b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3 LG:

a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1 (a ∈N)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: a chia 2 dư 0

a = 2k

Suy ra a chia hết cho 2

Vậy trong hai số tn nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 TH2: a chia 2 dư 1

Ta có a = 2k + 1

Vậy a + 1 = 2k + 2

a + 1 = 2(k + 1)

suy ra a + 1 chia hết cho 2

Vậy trong hai số tn nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2

- TH1: a chia 3 dư 0

Ta có: a = 3k, suy ra a chia hết cho 3

Vậy trong 3 số tn nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3

- TH2: a chia 3 dư 1

Ta có a = 3k + 1

Vậy a + 2 = 3k + 3

Suy ra a + 2 chia hết cho 3

Vậy trong 3 số tn nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3

- TH3: a chia 3 dư 2

Ta có a = 3k + 2

Vậy a + 1 = 3k + 3

Suy ra a + 1 chia hết cho 3

Vậy trong 3 số tn nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 Bài 9 Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.

LG:

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2 (a ∈N)

a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 = 3(a + 1) chia hết cho 3

b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, a + 4 (a ∈N)

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 không chia hết cho 4

Bài 10 Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7

LG:

aaaaaa

=111111.a = 7.15873.a chia hết cho 7

(tương tự CM aaa chia hết cho 37)

Bài 11 Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, có bao nhiêu số chia hết cho 5

LG:

Các số chia hết cho 2 là 2, 4, 6, 8, …100 gồm:

(100 – 2):2 + 1 =50 số

Các số chia hết cho 5 gồm 5, 10, 15,…100 gồm:

(100 – 5):5 + 1 = 20 số

Bài 12 Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 LG:

TH1 Nếu n = 2k (k ∈N)

thì n + 6 = 2k + 6M

2

TH2 Nếu n = 2k + 1 (k ∈N)

thì n + 3 = 2k + 4 M

2

Vậy (n + 3)(n + 6) M

2

Bài 12 Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia 5 dư 2

Các số nhỏ hơn 100 chia 5 dư 3 gồm: 3, 8, 13, 18,…98 gồm

(98 – 3):5 + 1 = 20

Bài 13 Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích n(n + 5) chia hết cho 2

LG:

TH1: n = 2k M

2 TH2 n = 2k + 1 thì n + 5 = 2k + 6 M

2 Vậy n(n+5) M

2

Bài 14 Gọi A = n2 + n + 1 (n ∈N)

Chứng tỏ rằng:

a) A k chia hết cho 2

b) A k chia hết ch 5

LG:

a) A = n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1

n(n + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

Vậy n(n + 1) + 1 k chia hết cho 2

b) A = n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1

n(n + 1) là tích 2 số tn liên tiếp nên có tận cùng là 0, 2, 6 suy ra n(n + 1) + 1 có tận cùng là 1, 3, 7 không chia hết cho 5

Bài 15 Tổng hiệu sau chia hết cho 3, cho 9 hay không

a) 1012 - 1 b) 1010 + 2

a) 1012 – 1 =

{

12 ch÷ sè 9

{

9 ch÷ sè 0

III BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 11 Chứng tỏ số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11

LG:

abcabc

= 1001.abc = 11.91.abc chia hết cho 11

Bài 12 Chứng tỏ rằng lấy một số có hai chữ số, cộng với một số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn luôn được một số chia hết cho 11

LG:

Gọi số có 2 chữ số là ab

ab (a 0,ab 10)≠ <

ab ba 11a 11b 11(a b) 11+ = + = + M