Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.. Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho
Trang 1CHUYÊN ĐỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT
A KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1 Dấu hiệu chia hêt cho 2: Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2
2 Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
3 Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4
4 Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho
5 Dấu hiệu chia hết cho 7: Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu lại nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo… cứ như vậy cho đến chữ số cuối cùng Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó
chia hết cho 7.Để nhanh gọn, cứ mỗi lần nhân với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo ta lấy kết quả trừ đi 7 hoặc trừ đi các số là bội số của 7
(14,21…)
6 Dấu hiệu chia hết cho 8: Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8
7 Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
8 Dấu hiệu chia hết cho 11: Từ trái sang phải ta coi các chữ số thứ nhất, thứ ba, thứ năm…là chữ số hàng lẻ, coi các chữ số thứ hai, tứ tư, thứ sáu…là chữ số hàng chẵn Những số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho
11 và chỉ những số đó mới chia hết cho 11
Trang 29 Dấu hiệu chia hết cho 25: Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25
10.Dấu hiệu chia hết cho 125: Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125
11.a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu
a-b cũng chia hết cho m
12.Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0)
13.Nếu A chia hết cho m đồng thời A cũng chia hết cho n (m, n > 0) Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n
B BÀI TẬP MẪU
Bài 1: [Marie Curie 2004] Tìm số tự nhiên bé nhất biết rằng số đó chia cho 3
dư 1, chia 4 dư 2, chia 5 dư 3 và chia 6 dư 4.
Giải: Gọi số phải tìm là A
A chia cho 3,4,5,6 mà số dư lần lượt là 1,2,3,4 nên (A+2) sẽ chia hết cho 3,4,5,6
Vì (A+2) vừa chia hết cho 3 và vừa chia hết 4 nên cũng chia hết cho 2 và cho 6 (4 chia hết cho 2, (A+2) chia hết cho 2 và cho 3 thì chia hết cho 6 nên ta không nhân với 2 và 6 để được số nhỏ nhất)
Vậy (A+2) = 3 x 4 x 5 = 60
Số nhỏ nhất chia cho 3,4,5,6 mà có dư lần lượt là 1,2,3,4 là : 60 - 2= 58
Bài 2: [Đề thi Ams 2014] Chứng minh rằng nếu có n số tự nhiên có tích là n và tổng bằng 2012 thì n chia hết cho 4.
Giải: Xét trường hợp n chẵn và n lẻ
TH1: Nếu n lẻ thì tích của của chúng là n là số lẻ nên tất cả các số đều lẻ và tổng của chúng không thể là số chẵn 2012
TH2: Nếu n chẵn mà tích của n số là n chẵn nên trong n số phải có ít nhất 1 số chẵn
Trang 3- Nếu trong n số chỉ tồn tại duy nhất một số chẵn thì (n-1) số còn lại là số lẻ và tổng của n số này là số lẻ Cộng với số chẵn duy nhất ta được tổng là 1 số lẻ và không thể là 2012 như giả thiết
- Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích của n số tự nhiên này sẽ chia hết cho
4 Suy ra n chia hết cho 4
Chú ý: Ở bài toán này tuy là năm 2014 nhưng tác giả không cho tổng các số là
2014 vì không tồn tại bộ n số thõa mãn yêu cầu bài toán!
Bài 3: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 và 27 biết rằng 2 chữ số giữa của số đó là 97.
Giải: Gọi số cần tìm là n Do n chia hết cho 5 nên phải có tận cùng là 0 hoặc 5 Và
n chia hết cho 27 nên n phải chia hết cho 9
Xét n = ¿975 , n chia hết cho 9 nên * = 6 Thử lại 6975 không chia hết cho ´ 27
Xét n = ¿970 , n chia hết cho 9 nên * = 2 Thử lại 2970 chia hết cho 27 ´ Vậy số cần tìm là 2970
Bài 4: Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
Giải: Số thõa mãn yêu cầu bài toán phải là số có tận cùng là 2, 4, 6, 8 Mỗi chục sẽ
có 4 số
Từ 0 đến 999 có 100 chục nên có : 100 × 4 = 400 (số)
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, chia hết cho 5 và 18, biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia.
Giải: Gọi số cần tìm là abc´ Do abc´ chia hết cho 18 nên nó phải chia hết cho 2 và
9 Vậy a + b + c chia hết cho 9 mà 2b = a + c nên 3b chia hết cho 9, suy ra b chia hết cho 3 Vậy b = 0; 3; 6; 9
Mặt khác abc´ chia hết cho 2 và 5 nên c = 0
Xét số ab 0´ với a = 2b ta chọn được số 630 thõa mãn yêu cầu bài toán
Trang 4Bài 6: [Đề thi Ams 2008] Tìm số có dạng ab 1´ biết nó chia hết cho 7 và a + b = 6.
Giải: Ta có ab 1´ = 100a + 10b +1 = 98a + 7b + 2a + 3b +1 = 7×(14a + b) + (2a + 3b +1) Do ab 1´ và 7×(14a + b) cùng chia hết cho 7 nên suy ra (2a + 3b +1) chia hết cho 7
Lại có: 2a + 3b +1 = 2×(a +b) + b +1 =13 +b (Vì a + b =6) Vậy 13 + b chia hết cho 7 Mà b ¿ 6 nên b = 1 và suy ra a = 5
Vậy số cần tìm là 511
Bài 7: [Đề thi Ams 2005] Biết a ¿1 và ab´ × cd´ = bbb´ Tìm cd´
Giải: Ta có: ab´ × cd´ = bbb´ = b × 111 = b × 3 × 37
Vậy ab´ × cd´ phải chia hết cho 37 Suy ra hoặc ab´ hoặc cd´ phải chia hết cho 37( vì
37 chỉ chia hết cho 1 và 37)
Nếu ab´ chia hết cho 37 thì ab´ = 37 hoặc 74 Với ab´ = 37 thì cd´ = 21, với ab´ = 74 thì
´
cd = 6 (loại)
Nếu cd´ chi hết cho 37 thì cd´ = 37 hoặc 74
Với cd´ = 37 thì ab´ × 37 = b × 111 → ab´ = 3b → 10a + b = 3b → 5a = b → a =
1, b = 5 Không thõa mãn do a ¿1
Với cd´ = 74 thì ab´ × 74 = b × 111 → 2 × ab´ = 3b → 2×(10a + b) = 3b → 20a
= b (không tồn tại a, b)
Vậy cd´ = 21.
Bài 8: [Đề thi Ams 2007] Tìm các chữ số a, b khác 0 thõa mãn: a×b× ab´ = bbb´
Giải: Ta có a×b× ab´ = bbb´ = 111 × b = b ×3 × 37 →a × ab´ = 3 × 37 Lý luận tương
tự bài 7 ta dễ dàng suy ra a = 3, b = 7
Bài 9: [Đề thi Ams 2009] Tìm số abc´ biết abc´ × 5 = dab´
Giải: Do dab´ ≤ 999 nên ¿ 200 → a = 1
Dễ thấy dab´ chia hết cho 5 suy ra b = 0 hoặc 5
Trang 5Nếu b = 0 Ta có: 10 c × 5 = ´ d 10´ → c =2 → abc´ là 102
Nếu b = 5 Ta có: 15 c × 5 = ´ d 15´ → c = 1 hoặc 5 vì tân cùng của d 15´ là 5 Thử lại không thõa mãn
Vậy abc´ là 102.
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà tổng các chữ số của nó là 38.
Giải: Số tự nhiên nhỏ nhất thõa mãn yêu cầu bài toán phải là số có số chữ số nhỏ nhất và chữ số ở hàng cao phải nhỏ hơn chữ số ở hàng thấp hơn
Ta có 9 + 9 +9 +9 ¿ 38 ¿ 9 + 9 + 9 + 9+9 Vậy số cần tìm phải có 5 chữ số
Để chữ số hàng vạn bé nhất ta chọn các chữ số khác đều bằng 9.Suy ra số phải tìm
là 29999
C MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÀ BÀI TẬP CHỌN LOC.
Bài 1: (Lý Thái Tổ 2012) Viết số tự nhiên nhỏ nhất bao gồm các chữ số khác nhau
có tổng các chữ số bằng 26 và số đó chia hết cho 2 và 5
Bài 2:(Nguyễn Tất Thành 2007) Tìm hai số biêt hiệu của chúng là 1554 và tổng
chủa chúng có dạng 2 x 3 y chia hết cho 2, 5 và 9.´
Bài 3:(Nguyễn Tất Thành 2009) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có dạng 20 ab sao cho ´
nó đồng thời chia hết cho 2, 3 và 5
Bài 4:(Marie Curie) Khi số tự nhiên a chia cho 24 dư 1 Hỏi a có chia hết cho 2
không, a có chia hết cho 4 không? vì sao
Bài 5:(Lương Thế Vinh 2006) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi
chia số đó cho 3, 4 hoặc 5 thì đều dư 1
Bài 6:( Lương Thế Vinh 2006) Hãy tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi cộng số
đó với 2006 thì được một số chioa hết cho 13
Bài 7: (Thi AMS 1999)
Viết số tự nhiên nhỏ nhất gồm các chữ số khác nhau có tích các chữ số là 720
Bài 8: (Thi AMS 2000)
Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tổng các chữ số là 42
Bài 9: (Thi AMS 2001)
Trang 6Hãy viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số mà tổng các chữ số bằng 23.
Bài 10: (Thi AMS 2003)
Một số được viết bởi 2003 số 7, hỏi phải thêm vào số đó ít nhất là bao nhiêu để được 1 số chia hết cho 35
Bài 11(Thi AMS 2005)
Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó chia 5 dư 4, chia 8 dư 4 và hiệu của các
thương là 426
Bài 12: (Thi AMS 2006)
Một số được viết bằng 2006 số 7 Hỏi phải cộng thêm vào số đó ít nhất bao nhiêu đơn vị để được 1 số chia hết cho 63
Bài 11: (Thi AMS 2009)
Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là 1 số có ba chữ số giống nhau Tìm n
Bài 14: Tìm d biết ab´ × cd´ = ddd´
Bài 15: Tìm a, b biết ab´ × b = 1 ab´
Bài 16: Mình lấy một số tự nhiên A rồi đem trừ đi tổng các chữ số của nó và được
số B Mình đem B nhân với một số tự nhiên C và được số D Mình lấy đi 1 chữ số bất kỳ của số D và được số 156590 Hỏi mình đã lấy đi chữ số nào của số D
Bài 17: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết xen vào giữa hai chữ số
của nó chính số đó thì số đó tăng 99 lần
Bài 18: Tìm tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia cho 4 dư 1 còn chia 25 dư
3