skkn sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp

Bản thân tôi nhận thấy việc khai thác các kết quả hình học tổng hợp để sáng tạo bài toán toạ độ phẳng là một nhiệm vụ cần thiết của người giáo viên trong quá trình dạy học.. Đường thẳng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT

Phần I Đặt vấn đề:

Bài toán toạ độ phẳng là chủ đề hay và khó Gần đây chủ đề này được sử dụng nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng Khi gặp bài toán toạ độ phẳng đa số học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc khai thác các kết quả hình học tổng hợp để giải bài toán toạ độ phẳng

Đa số giáo viên chỉ đơn thuần là tìm các bài toán có sẵn trong các tài liệu để thực hiện giảng dạy, suy nghĩ khai thác tự tìm tòi sáng tạo ra bài toán mới là rất hạn chế Vì vậy không rèn dũa nhiều về tư duy sáng tạo, quá trình dạy học phần toạ độ phẳng gặp rất nhiều khó khăn , vì hiện nay các bài toán toạ độ phẳng trong các đề thi yêu cầu học sinh phải suy nghĩ độc lập và sáng tạo mới giải quyết được Chính vì vậy việc khai thác các kết quả hình học tổng hợp để tạo nên bài toán toạ

độ phẳng có ý nghĩa thiết thực cho việc rèn luyện tư duy sáng tạo của giáo viên và gieo cho học sinh một tinh thần tìm tòi khám phá từ đó hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Làm được điều này là người giáo viên đã đáp ứng được một phần của yêu cầu dạy học tích cực

Qua những năm công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi Đại học, Cao đẳng Bản thân tôi nhận thấy việc khai thác các kết quả hình học tổng hợp để sáng tạo bài toán toạ độ phẳng là một nhiệm vụ cần thiết của người giáo viên trong quá trình dạy học Làm được điều đó là tạo ra nhiều bài toán mới gây hứng thú cho học sinh đồng thời góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho giáo viên và cũng là tấm gương sáng tạo cho học sinh

Việc sáng tạo bài toán toạ độ phẳng giúp cho quá trình dạy học trở nên linh hoạt hơn, đó là vấn đề mà nhiều giáo viên quan tâm

Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh ở trường trung học phổ

thông về chủ đề phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Tôi chọn đề tài “Sáng tạo bài toán toạ độ phẳng từ những kết quả hình học tổng hợp”

Đề tài này được hoàn thành tại trường THPT Lê Viết Thuật Trong quá trình thực hiện đề tài tôi đã nhận được nhiều sự góp ý về bố cục, nội dung Nhân đây cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán – Tin trường THPT Lê Viết Thuật

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tôi mong được sự góp ý chân thành của quý thầy cô giáo và các độc giả

để đề tài được bổ sung và ngày càng hoàn thiện hơn

Phần II Nội dung:

1 Khai thác một số kết quả (KQ) về khoảng cách :

+) Xét đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d M là điểm thay đổi trên d

Gọi C là điểm đối xứng của A qua d, K là giao của d và đường thẳng AB

Khi d cắt đoạn AB tại K, ta có : Min MA MB(  )  AB khi M trùng K (4)

Ràng buộc thêm điều kiện d cắt đường thẳng BC tại E , ta có :

 

Min MA MB BC khi M trùng E (6)

Max MA MB  AB khi M trùng K (7)

Từ những nhận xét trên ta cho biết phương trình của đường d, toạ độ các điểm A,

B ta thiết lập được các bài toán sau :

Bài toán 1:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và hai điểm A(4;1), B  ( 2; 2)) Xác định toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho : a) MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

b) MA MB đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn:

Vì (x Ay A 2)(x By B 2)  0 nên A, B nằm khác phía đối với d

a) Từ (4) ta có MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và d Từ

đó tìm được M(2; 0)

b) Gọi C là điểm đối xứng của A qua d Ta tìm được C(1; -2)

Từ (5) ta có MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M là giao điểm của BC và d Từ đó tìm được M(4; - 2)

Bài toán 2:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 2x + y – 4 = 0 và

hai điểm A(4;1), B(1;3) Xác định toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho : a) MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

b) MA MB đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn:

Vì (2x Ay A 4)(2x By B 4)  0 nên A, B nằm cùng phía đối với d

a) Gọi C là điểm đối xứng của A qua d Ta tìm được C(0; -1)

Từ (6) ta có MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BC và d Từ đó tìm được 5 7;

KQ3 Cho đường thẳng  Với hai điểm A, B bất kỳ ta luôn có:

( , ) ( , ).

ABd A  d B 

KQ4 Nếu A và B không nằm cùng phía đối với đường thẳng  thì

ABd A( , )  d B( , ) 

KQ5 Trong mặt phẳng cho n điểm A A1, 2, ,A n cựng nằm trong một nửa mặt phẳng

bờ là đường thẳng ( kể cả bờ) Gọi G là trọng tõm của hệ n điểm A A1 , 2 , ,A n

Khi đú ta luụn cú

1

( , ) ( , )

n i i

KQ6 Cho tam giỏc ABC cú BCa, m a là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A Nếu

 là đường thẳng thay đổi đi qua A thỡ d B( , )  d C( , )  Max2m ; a a.

Chứng minh :

- Nếu  cắt đoạn BC thỡ d B( , )  d C( , )  BC

- Nếu  khụng cắt đoạn BC thỡ d B( , )  d C( , )   2 ( , )d I   2AI(Với I là trung

điểm của đoạn BC )

Suy ra điều phải chứng minh

*) Nhận xột: Từ KQ2, KQ3, KQ4, KQ5, KQ6 ta cho toạ độ cỏc đỉnh của tam giỏc

ABC sẽ dễ dàng thiết lập được cỏc bài toỏn về tổng khoảng cỏch đạt giỏ trị lớn

nhất

Bài toỏn 3:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú A(1; -1), B(5; 2),

C(-2; 3)  là đường thẳng thay đổi đi qua A Viết phương trỡnh đường thẳng 

sao cho d B( , )  d C( , )  đạt giỏ trị lớn nhất

nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A

Từ KQ6 ta có d B( , )  d C( , )  đạt giá trị lớn nhất khi hoặc   BC hoặc  AI Do

KQ7 Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Nếu G là một điểm nằm trong

(C), đường thẳng IG cắt đường tròn (C) tại H và K (GH GK) ,  là tiếp tuyến của (C) thì RIGd G( , )  R 

Chứng minh:

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến  với (C), E là hình chiếu vuông góc của G trên

, N là giao của  và đoạn GE

Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 3),

B(-3; 2), C(4; -5) Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Viết phương trình tiếp tuyến  của (T) sao cho d A( , )  d B( , )  d C( , ) 

a) Đạt giá trị nhỏ nhất

b) Đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn:

Gọi M là tiếp điểm của  với (T), G là trọng tâm tam giác ABC

Gọi I là tâm đường tròn (T)

*)Nhận xét: Cho tam giác ABC và điểm I Nếu đường thẳng  thay đổi qua I thì

hoặc A, B, C nằm cùng phía hoặc A, B nằm cùng phía hoặc B, C nằm cùng phía hoặc C, A nằm cùng phía đối với  Gọi A B C1, 1, 1 thứ tự là điểm đối xứng của A, B,

C qua I Ta xét các trường hợp :

TH1: Cả ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với 

Ta có d A( , )  d B( , )  d C( , )   3 ( , )d G   3GI (Với G là trọng tâm tam giác ABC)

TH2: Cả ba điểm A, B,C không nằm cùng phía đối với

A, B nằm cùng phía đối với  Khi đó A, B, C1 nằm cùng phía đối với 

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-3; -1),

C(2;-2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua O sao cho:

( , ) ( , ) ( , )

d A  d B  d C  đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn: Dễ dàng chứng minh được O nằm trong tam giác ABC nên không thể

xảy ra trường hợp A, B, C cùng phía đối với 

Gọi A ,1 B C1, 1 thứ tự là các điểm đối xứng với A, B, C qua O

2 Khai thác một số kết quả (KQ) về tam giác và tứ giác đặc biệt :

KQ9 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Chứng minh rằng điều kiện cần

và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2+c2 =5a2

Chứng minh:

Gọi I là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC

Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau

Khi hai đường trung tuyến kẻ từ B, C vuông góc với nhau ta có trọng tâm tam giác

G của tam giác ABC nằm trên đường tròn đường kính BC và IA  3IG

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 7:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho B(0;3), C(2;-1) Gọi I là trung điểm của đoạn BC, M là điểm thay đổi trên đường tròn đường kính BC và A là điểm sao cho IA  3IM

Xác định toạ độ điểm M sao cho (AB+AC) đạt giá trị lớn nhất

Từ KQ9 ta có 2 2

ABAC AB AC BC  Suy ra (AB+AC) lớn nhất bằng 10 2 khi M là điểm chính giữa của cung BC Từ đó ta suy ra

1 (3; 2), 2 ( 1; 0)

M M  là các điểm cần tìm

KQ10 Cho tam giác ABC cân tại A Nếu D là trung điểm của cạnh AC và các

điểm K, E thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ABD thì KE BD

*) Nhận xét: Từ KQ10 nếu cho biết toạ độ các điểm E, K và một điểm P trên

đường thẳng BD thì ta viết được đường thẳng BD Ràng buộc thêm một điều kiện đường thẳng AC đi qua điểm Q thì ta tìm được toạ độ điểm D (vì tam giác DKQ vuông tại D) Từ đó ta thiết lập được bài toán sau

Đường thẳng AC đi qua D và P nên x 2y 11 0 

Đường thẳng AK đi qua K và vuông góc với DE nên KA x  : 1 0.

Suy ra A(1; 5), kết hợp với D là trung điểm của AC suy ra C(4; 3)

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AK nên BC y  : 3 0.

*) Nhận xét: Nếu cho toạ độ điểm B và phương trình đường phân giác trong của

góc A thì ta xác định được toạ độ điểm B1 đối xứng với B qua đường phân giác trong của góc A Cho đường cao kẻ từ B thì ta xác định được phương trình đường thẳng AC Từ đó xác định được toạ độ điểm A Ràng buộc thêm điều kiện biết toạ

độ một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta xác định được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra toạ độ điểm C Từ đó ta thiết lập được bài toán sau

Bài toán 9:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(-3; -5), d: 2x  y 6 0là phân giác trong của góc A Biết đường cao kẻ từ B đi qua M(4;-6), đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua E(-4; -4) Xác định toạ độ điểm C

Đường thẳng AC đi qua B1 và vuông góc với BM nên AC: 7xy 16  0.

Từ đó suy ra A(4; -2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua ba điểm A, B,

E nên có phương trình x2  y2  2y 24  0. Điểm C khác A và có toạ độ thoả mãn

KQ12 Nếu tam giác nhọn ABC có các đường cao AQ, BR, CS đồng quy tại H

thì H là tâm đường tròn nội tiếp QRS

*) Nhận xét: Từ KQ này ta cho toạ độ các điểm Q, R, S thì ta xác định được toạ

độ các đỉnh và phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

Từ đó ta dễ dàng thiết lập được bài toán sau

5 5

QR QS e

KQ12 Nếu H, K thứ tự là chân đường cao kẻ từ A , C và M là trung điểm của AC

thì MAMCMH MK.

*)Nhận xét: Nếu phương trình các đường thẳng HK, BC thì ta xác định được toạ

độ điểm H Ràng buộc thêm điều kiện biết toạ độ điểm M thì ta xác định được toạ

độ các đỉnh A, B, C Từ đó ta thiết lập được bài toán sau

Bài toán 11:

A B M

I

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC không vuông Gọi H, K thứ tự là chân

đường cao kẻ từ A, C Biết 9;3

2

M 

  là trung điểm của AC, đường thẳng HK có phương trình 4xy  4 0, đường thẳng BC có phương trình 2xy  4 0. Xác định toạ độ điểm B

Hướng dẫn:

(0; 4).

H KHBCH

Từ KQ12 ta có MCMH MK. Mà K khác H và K thuộc HK; C khác H và C thuộc BC nên từ đó tìm được K(1;0), (1; 6)C

M là trung điểm của AC nên A(8;0). Suy ra AB y : 0.Từ BABBCB( 2;0) 

KQ13 Cho hình bình hành ABCD có tâm I Nếu điểm M thuộc đường thẳng AB

và N là điểm đối xứng của M qua I thì N thuộc đường thẳng CD

Chứng minh:

Nếu M trùng B thì N trùng D

Nếu M khác B thì tứ giác BMDN là hình bình hành

Do đó DN//AB; DC//AB Vậy N thuộc DC

Từ KQ9 ràng buộc thêm điều kiện IA = IB ta tạo được bài toán về hình chữ nhật:

Bài toán 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm là điểm I 1;2 ,  

AB Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và D, biết các điểm 6 M2;4, N 2;0 lần  lượt thuộc các đường thẳng AB, CD

Từ đó tìm được tọa độ A(-2; 4), B(4; 4) hoặc A(4; 4), B(-2; 4)

*) Nhận xét: Nếu cho toạ độ tâm I của hình chữ nhật ABCD, cho toạ độ điểm M

trên đường thẳng AB thì ta tìm được toạ độ điểm N đối xứng với M qua I Ba điểm I, N và trung điểm P của cạnh CD tạo nên tam giác vuông Nếu ràng buộc P thuộc đường thẳng biết phương trình thì ta xác định được toạ độ điểm P Từ đó xác định được toạ độ điểm K đối xứng với P qua I và viết được phương trình đường thẳng AB Vì vậy ta thiết lập được bài toán sau

Bài toán 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm là điểm I2;6 Điểm M(-5;1) thuộc đường thẳng AB và trung điểm P của cạnh CD thuộc đường thẳng d x:   y 5 0. Viết phương trình đường thẳng AB, biết P có tung độ lớn hơn

1

Hướng dẫn:

Gọi N là điểm đối xứng của M qua I Suy ra N(1; 11)

P thuộc d nên P t t ( ; 5).Suy ra NP  (t 2;t 1),IP  (t 1;t 6).

Gọi K là điểm đối xứng của P qua I Suy ra K(-6; 5)

Đường thẳng AB đi qua K, M nên AB: 4xy 19  0.

KQ14 Cho hình vuông ABCD Nếu M, N lầnlượt là các điểm trên các cạnh BC và

Đặt BM CN k

BC CD Ta có  AM BN ABk BC  BCkCD0

Vậy AMBN

+) Ta thường gặp trường hợp M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD

*)Nhận xét: Nếu cho toạ độ đỉnh B, toạ độ giao điểm của AM và BN đồng thời

ràng buộc thêm điều kiện đỉnh A thuộc một đường thẳng d đã biết phương trình thì

ta tìm được các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD Từ đó ta thiết lập được bài toán sau

Bài toán 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B(3;3) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD Tìm tọa độ các đỉnh A, C và D, biết A thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và H 11 7;

Ta có AMBN, từ đó viết được phương trình đường thẳng AM x:  2y  5 0.

và tìm được tọa độ đỉnh A(-1; 3) Viết phương trình đường thẳng : 2 9 0

BC x  y (đi qua B và vuông góc với AB) Từ đó tìm được toạ độ điểm (3;1)

M (M  ABAH) suy ra C(3; -1) Kết hợp với CD  BA

tìm được toạ độ điểm D(-1; -1)

*)Nhận xét: Từ KQ10 ta nhận thấy giao điểm H của BN và AM là hình chiếu

vuông góc của N trên AM Tứ giác ABND là hình thang vuông Từ đó ta thiết lập được bài toán về hình thang vuông

Đặt ABa Gọi E là điểm đối xứng của A qua B

6 5

5

t EH

Với t 6 suy ra E(6; 6) suy ra A(0;6)

Viết phương trình đường thăng BH và EC từ đó suy ra C(6;0)

ADB AED ADBAED

Suy ra DAHADH DAHAED 90oAM BD(điều phải chứng minh)

*) Nhận xét: Nếu cho toạ độ các điểm D và H thì tính được độ dài đoạn AH và

viết được phương trình của AH Từ đó tìm được toạ độ điểm A suy ra toạ độ các điểm B, D Từ nhận xét này ta thiết lập được bài toán sau

AH  A  Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AD nên AB: y – 6 = 0 BABDH B(0;6) Do DC 3 AB

nên ta tìm được C(6;0)

KQ16: Cho hình vuông ABCD Nếu M là điểm thuộc đoạn BD sao cho 4BM BD,

N là trung điểm cạnh CD thì AMN là tam giác vuông cân tại M

Chứng minh:

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, DC thứ tự tại H, K

Dễ dàng chứng minh được hai tam giác vuông AHM và MKN bằng nhau Từ đó suy ra điều phải chứng minh

*)Nhận xét: Từ KQ16 nếu cho toạ độ trong tâm tam giác AMN và trung điểm của

AN thì ta tìm được toạ độ các điểm A và N từ đó ta thiết lập được bài toán sau

Bài toán 17:

Cho hình vuông ABCD , với M là điểm thuộc đoạn BD sao cho 4BM BD, N là trung điểm cạnh CD, trung điểm đoạn AN là I(1; 1)  Tìm toạ độ điểm C, biết trọng tâm tam giác AMN là 2; 0

Từ KQ16 ta có AMN là tam giác vuông cân tại M Từ đó viết được đường thẳng

AN Kết hợp với N có hoành độ âm và IN = IM suy ra N(-2; -2) suy ra A(4; 0)

Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AM và DC

Suy ra 4  4;0 

5

EC ENC 

 

*)Nhận xét: Tứ giác AHKD là hình chử nhật có 4AH = 3HK Do đó ta cũng dễ

dàng thiết lập được bài toán sau

Gọi E là giao điểm của AM và DC dễ dàng chứng minh được 8 , 6

KQ17: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH vuông góc với BD tại H Nếu M, N thứ

tự là trung điểm của BH, CD thì tam giác AMN vuông tại M

Suy ra tam giác AMN vuông tại M(điều phải chứng minh )

*)Nhận xét: Nếu biết toạ độ ba điểm A, M, N thì ta tính được

tanADB tanANM AM

Cho hình chữ nhật ABCD có H là hình chiếu vuông góc của A trên BD Biết

M(6; 3), N(5; 0) thứ tự là trung điểm của BH , CD Điểm A thuộc đường thẳng d: 4x- y +5 =0 và điểm B có tung độ dương Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D

Hướng dẫn:

Từ KQ17 ta có AM MN

Suy ra AM x:  3y 15  0, kết hợp với A thuộc d suy ra A(0;5)

Ta có AB tanADB tanANM AM 2

AD    AN  , kết hợp với AD2 AN2 AN2

2

2

50 4

KQ18 Nếu đường thẳng a cắt đường tròn (I; R) tại hai điểm phân biệt A và B, H

là chân đường vuông góc kẻ từ I đến đường thẳng a thì H là trung điểm của đoạn thẳng AB và HAHB R2 IH2(IH là khoảng cách từ I đến đường thẳng a)

*)Nhận xét: Nếu cho phương trình một đường tròn , một đường thẳng có phương

trình chứa tham số thì sẽ tìm được tham số để đường thẳng cắt đường tròn tại hai

điểm A, B sao cho AIB Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 20:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng a : 4x + 3y + m = 0 và đường tròn (C) : x2 y22x4y 1 0  Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AIB 1200, với I là tâm của (C)

KQ19 Cho đường tròn (I; R) và điểm M cố định Nếu đường thẳng đi qua M cắt

đường tròn đó tại hai điểm A và B thì MA.MB MI2 R2