Các dạng toán đại số lớp 8

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC: PP: - Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến.. - Nhânchia hai đơn thức ta nhân chia phần hệ số cho hệ số, biến cho

Trang 1

ÔN TẬP LÍ THUYẾT Các công thức lũy thừa:

ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN:

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học

k n voi a a

n n

2

12,

a + + + + +a a a 2a a +2a a 2a a+ + +2a a a a+ −

Trang 2

- Đơn thức: là biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích các số và các biến: VD: 3; 3xy; …

- Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến: VD: 3xy 2 z 3 : bậc 6

- Đơn thức đồng dạng: là đơn thức giống nhau phần biến nhưng khác hệ số.

- Đa thức: là tổng các đơn thức, bậc của đa thức là bậc của đơn thức cao nhất.

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC:

PP:

- Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến.

- Cộng trừ đa thức ta cộng các đơn thức đồng dạng với nhau.

- Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến.

- Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.

- Nhân hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.

- Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực hiện phép chia.

BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC.

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

Trang 3

Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P

M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b)

Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho 3

Bài 7: Số 350+1 có phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp không

Trang 4

Bài 17: Cho x,y nguyên:

Trang 5

a) Cho 5x+y 19 Chứng minh rằng A=4x-3y 19.

b) Cho 4x+3y 13 Chứng minh rằng: B=7x+2y 13

a, a 2 +b 2 = (a 2 +2ab+b 2 )-2ab=(a+b) 2 -2ab=S 2 -2P.

b, a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=S(S 2 -2P-P)=S 3 -3PS ( thay a 2 +b 2 =S 2 -2P).

c, a 4 +b 4 = a 4 +2a 2 b 2 +b 4 -2a 2 b 2 =(a 2 +b 2 ) 2 -2a 2 b 2 =(S 2 -2P) 2 -2S 2

Bài 5:

Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a Ta có:

M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc Vậy M=N=P.

Bài 6:

a chia 3 dư 1 nên a=3m+1, b chia 3 dư 1 nên b=3n+1 Suy ra:

a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho 3 đpcm

Bài 7:

số trên chia 3 dư 1 nên không là tích 2 số liên tiếp

Trang 6

Các em dùng phép chia hoặc phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 5x-y b, x 2 -xy c, 2x 2 +xy-y 2 d, a 2 -3ab+2b 2

Bài 16:

a, 4(x+2y)-(-3x 2 +4x-1)-3x 2 -9=8y-8 b, 5x 2 -2xy+3y 2

Bài 17:

a, Vì 5x+y 19 nên 3(5x + y) 19 Ta có: 19x 19 nên 19x-3(5x+y) 19 hay 4x-3y 19.

b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x 13 mà 2(4x+3y) 13 nên 3B 13 Mà ƯC(3;13)=1 nên B 13.

Trang 7

DẠNG 2 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

PP:

- Ta rút gọn biểu thức, sau đó thay các giá trị x vào biểu thức rút gọn

- Chú ý các bài toán có quy luật: để tính giá trị của biểu thức tại x=a ta thường phân tích các thừa số để suất hiện các tích (x-a).

B= +(x 1)(x7−x6+x5−x4+x3−x2+ −x 1)

với x 2=

.c)

C = +(x 1)(x6−x5+x4−x3+x2− +x 1)

với x 2=

.d)

b, B=x8-1 nên B(2)=255 c, C=x7+1 nên C(2)=129 d, D= x nên D(-5)=-5.

Bài 2: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:

HD: Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được:

Trang 8

a, A=x4-y4 Thay x=2; y=-1/2 ta được A=255/16.

Trang 9

Ta có: (x+y) 2 =(x-y) 2 +4xy=7 2 +4.60=289

nên x+y=17 hoặc x+y=-17.

A=(x-y)(x+y) Với x-y=7 và x+y=17 thì A=119.

Với x-y=7 và x+y=-17 thì A=-119.

D=2(x-y)(x 2 +xy+y 2 )-3(x 2 +2xy+y 2 )=4(x 2 +xy+y 2 )-3(x 2 +2xy+y 2 )= x 2 -2xy+y 2 =(x-y) 2 =4

DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC:

PP:

bậc 2, bậc 3 có thể nhẩm nghiệm rồi dùng phương pháp tách

Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+ 6 rồi phân tích đa thức thànhnhân tử

Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6

Trang 10

Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 ≠ 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này.

f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này

f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này

f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này

Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ

là mẫu số của nghiệm này Nên

là nghiệm của đa thức này

Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3;

=>f(x)=

2(x-1)(x+2)(x+3)(x-1 2

Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3

Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3

Trang 11

Chú ý: Số dư của f(x) cho x-x 0 là giá trị tại f(x 0 ).

Bài 1:Tìm thương và số dư trong phép chia f (X) cho x-a

Trang 12

DẠNG 5: TOÁN TÌM THAM SỐ a, b, c TRONG PHÉP CHIA.

Tìm điều kiện để f(x) chia hết g(x):

Cách 1: Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) rồi cho số dư bằng không.

Cách 2: Tìm nghiệm g(x) là x 1 ; x 2 ….Để f(x) chia hết cho g(x) thì f(x 1 )=0 và f(x 2 )=0… từ đó tìm được hệ số a,b,c…

a)Cách 1:Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được thương là x 2 -8x+15 và số dư là

(a-1)x+b+30: Để f(x) chia hết cho g(x) thì: (a-1)x+b+30=0 với mọi x suy ra: a-1=0 và b+30=0 hay a=1; b=-30.

Trang 13

Cách 2: g(x)=x 2 -x-2=(x+1)(x-2) Vì g(x) có nghiệm là x=-1; 2 nên để f(x) chia hết cho g(x) thì f(-1)=0 và f(2)=0 =>

b. Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5

b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân

Bài 8 :Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho

x – 2,652 Tìm hệ số của x2 trong đ a thức thương của phép chia trên

Bài 9 :Khi chia đa thức P(x)= 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thứcQ(x) có bậc là 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)

Bài 10 : Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3

Bài 11 : Tìm n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n chia hết cho x – 2 Với n tìm được ở trên hãyphân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất

Bài 12 : Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n

a. Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2

nhất

Trang 14

Bài 13 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết : f

Bài 14 : Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x)chia cho (x – 12) có số dư là 1, chia cho (x – 13) có số dư là là 2, và chia cho

(x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)

a) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

) 6 ( )

Bài tập 21:Cho đa thức P(x) = a x 3 + bx2+cx -2008 Tìm a ,b c biết P(x)chia cho (x-25) thì dư

29542 và khi chia cho (x2-12x+ 25) dư 431 x – 2933

Bài tập 22:Cho đa thức P(x) =x4 - 2 x 3+ 5x2 + (m-3) x + 2 m - 5 Tìm m=? biết P(-2,5) =0,49

Bài tập 23:Cho đa thức P(x) = x 3 + bx2+cx +d Biết P(1)= P(2) =-15; P(3)= 9

a. Xác định các hệ số b;c ;d

b. Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x-4 )

c. Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (2x+ 3 )

Bài tập 24:Cho đa thức P(x) = x 3 +bx2+cx +d Biết P(1)= -25; P(2) = -21 ; P(-3)= -41

a)Xác định các hệ số b;c ;d

Trang 15

b)Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x +4 )

c)Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )

d) Tìm số dư R 3 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )(x+4)

Bài tập 25:Cho đa thức P(x) = a x 3+ bx2+cx -2007.Tìm a ,b c biết P(x) chia cho (x-3) thì dư

và khi chia cho(x-7) thì dư 29938

Bài tập 26:Cho đa thức P(x) =x5 + ax4 + b x 3 + cx2 +d x +2043 Biết P(1) = 5; P(2) =7; P(3) =

9; P(4) = 11 Hãy tính P (10)→ P(13)

Bài tập 27:Cho đa thức P(x) =x5 + 2x4 -3 x 3 + 4x2 - 5 x +m

Bài tập 28:Cho đa thức P(x) =3

2

x4 - 2x 3 + 5 x +7a)Tìm thương Q(x) trong phép chia P(x) cho x-5

b)Tìm số dư R trong phép chia P(x) cho x-5( Kết quả lấy chính xác 3 cstp)

Bài tập 29:Cho đa thức P(x) = 22x3 + 2x -2008

a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Trang 16

chia hết cho 6 với mọi x là số tự nhiên.

DẠNG 6: TÌM MSC, QUY ĐỒNG VÀ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN PHÂN THỨC

Trang 17

2

22

2

1

x x x

x x

x

−

+

−+

Trang 18

23

2 2

−

+

x x

x

4 2

2

1 1

1

+ + −

Trang 19

155

2

++

−+

−

x x

x

64:

77

486

x x

x

36:

−+

−

x x

x

49:

55

213

2

++

−+

+

x x

x

m)

1

66:)1(

3

−+

−

x

x x x

106

:13

231

3

x x

x

x x

3

19

9

2

x x x

x x

11

−

−+

111

−

−+

121

DẠNG 7: TÌM X NGUYÊN ĐỂ BIỂU THỨC F(x)/G(x) NGUYÊN.

Cách 1: Phân tích tử số theo mẫu số:

Trang 20

Cách 2: Thực hiện phép chia F(x) cho G(x) rồi viết biểu thức dưới dạng:

Trang 21

PP: Đồng nhất hệ số của phần biến ở hai vế của đẳng thức.

Bài 1. Cho biết đa thức

Bài 3. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3+ax2+2x b+

chia hết cho đa thức x2+ +x 1

Trang 22

Bài 5. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức

f x( )

chia hết cho đa thức

g x( )

:a)

- Ta biến đổi về trái thành về phải hoặc ngược lại bằng các khai triển hoặc sử dụng hằng đẳng thức Sauk hi biến đổi thấy 2 vế bằng nhau suy ra đpcm.

Trang 23

- Với các bài toán chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: sau khi biến đổi ta sẽ được một hằng số Suy ra biểu thức không phụ thuộc vào x

Trang 24

a cho a2+b2+c2=ab+bc+ca, chứng minh a=b=c

b Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 chứng minh a và b đối nhau

HD:

a, 2(a 2 +b 2 +c 2 )=2(ab+bc+ca)  (a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 -2ac+c 2 )+(b 2 -2bc+c 2 )=0

 (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 =0  a=b=c.

b, 2a 2 +2b 2 =a 2 -2ab+b 2  a 2 +2ab+b 2 =0  (a+b) 2 =0  a= - b.

Bài 7:Chứng minh không tồn tại x,y thỏa mãn đẳng thức sau:

a 3x2+y2+10x-2xy+26=0 b 4x2+3y2-4x+30y+78=0

c 3x2+6y2-12x-20y+40=0

HD:

a, 2(x+ ) 2 +(x-y) 2 + b, (2x-1) 2 +3(y+5) 2 +2 c, 3(x-2) 2 +6(y- ) 2 +

Bài 8:

a cho a+b+c+d=0 CMR: a4+b4+c4+d4=2(ab+bc+ca)2

b cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1, chứng minh a4+b4+c4+d4=1/2

Bài 9: Chứng minh:

b) B=x2-xy+y2 luôn dương với x,y dương

Bài 10: Chứng minh rằng:

Bài 11: Cho m>n>0 và a=m2+n2; b=m2-n2; c=2mn Chứng minh rằng a,b,c là ba cạnh của tam giác vuông

Bài 12: Tìm x và n biết: x2+2x+4n-2n+1+2=0

Bài 13: Cho x+y+z=0 Chứng minh x3+y3+z3=3xyz

Bài 14: Rút gọn: A=(x-y-1)3-(x-y+1)3+6(x+y)2

Bai 15: Cho (x+2y)(x2-2xy+4y2)=0 và (x-2y)(x2+2xy+4y2)=16 Tìm x, y?

Trang 25

Bài 16: Chứng minh: A=7423-6923 200 B=6853+3153 25000.

Bài 17: Cho a+b+c+d=0 CMR: a3+b3+c3+d3=3(b+c)(ad-bc)

Bài 18: Cho a+b+c=0 CMR:

a) (ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ac)2

b) a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

Bài 19: Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1 Chứng minh : a4+b4+c4 =

Bài 20: Tìm tổng các hệ số của các hạng tử trong khai triển:

A= (5x-3)6 B= (3x-4y)10

DẠNG 9: ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG

PP: Chú ý đến lũy thừa của các biến rồi dựa vào 7 hằng đẳng thức

Bài tập: Điền vào chỗ trống cho thích hợp:

p) x3+27=

DẠNG 10 : SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ SO SÁNH, TÍNH NHANH Bài 1: So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:

HD:

a, A=(2000-1)(2000+1)=2000 2 -1<2000 2

Trang 26

a) Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 Chứng minh a và b là hai số đối nhau.

b) Cho 2(a2+b2)=(a+b)2 Chứng minh a = b

HD:

2a 2 +2b 2 =a 2 -2ab+b 2  a 2 +2ab+b 2 =0  (a+b) 2 =0  a=-b

Bài 5: Cho a2+b2+c2=ab+bc+ac Chứng minh a=b=c

HD:

a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ac  2a 2 +2b 2 +2c 2 =2ab+2bc+2ac

 (a 2 -2ab+b 2 )+(b 2 -2bc+c 2 )+(c 2 -2ac+c 2 )=0  (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0  a=b=c.

Bài 6: Cho a,b,x,y là các số khác 0 Cho (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2.Tìm hệ thức giữa a,b,x,y

HD:

(a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 )=(ax+by) 2  (ax) 2 +(ay) 2 +(bx) 2 +(by) 2 =(ax) 2 +2axby+(by) 2

Trang 27

 (ay) 2 -2ay.bx+(bx) 2 =0  (ay-bx) 2 =0  ay=bx.

Dạng 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức luôn dương, luôn

âm, phân tích một biểu thức về tổng các bình phương:(xem chuyên đề riêng)

Trang 28

Nếu biểu thức là tổng các lũy thừa:

Nếu biểu thức yêu cầu chứng minh f(x) choa hết cho g(x) ta dùng một trong các cách sau:

an -bn chia hết (a-b)

Trang 29

an +bn chia hết (a+b)

Tích của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6, tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

Nếu bài cho ax+by m Chứng minh cx+dy m ta sử dụng tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu.

5/ Phương pháp đổi biến

6/ Phương pháp xét giá trị riêng

7/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử

Dạng 1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 33

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu

có phải là ước của hệ số tự do

3/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1.

Ví dụ: Phân tích đa thức x

3

- 5x

2

+ 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó

đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :

Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta

chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng

q p

trong

đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất Ví dụ : Phân tích đa thức 3x

Trang 35

Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử.

b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức x

` 5

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 37

Bài 2: Dùng phương pháp hê sô bất định:

a) 4x4 +4x3+5x2 +2x +1 b) x4 -7x3+14x2 -7x +1 c) (x+1)4 +(x2 +x +1) d) x4- x3-x +63

Dạng 7: Phương pháp đổi biến

Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn

Trang 38

Dạng 8: Phương pháp giá trị riêng.

Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể

Vì bậc của 2 vế bằng nhau nên k là hằng số

Bài 3:Dùng phương pháp xét giá trị riêng

a) A=a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-a)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

b) B=a(m-a)2+b(m-b)2+c(m-c)2-abc Với 2m=a+b+c

c) C= (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc

Trang 39

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Trang 40

Bài 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Định dạng
Số trang	112
Dung lượng	2,66 MB