Cac dang toan dai so lop 8 rất hay THẦY NAM

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC:PP: - Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến.. - Ta rút gọn biểu thức, sau đó thay các giá trị x vào biểu thức rút g

ÔN TẬP LÍ THUYẾT Các công thức lũy thừa:

a

 

9 √n a m=(n√a) m=a

m n

ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN:

- Đơn thức: là biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích các số và các biến: VD: 3; 3xy; …

- Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến: VD: 3xy 2 z 3 : bậc 6

- Đơn thức đồng dạng: là đơn thức giống nhau phần biến nhưng khác hệ số.

- Đa thức: là tổng các đơn thức, bậc của đa thức là bậc của đơn thức cao nhất.

k n voi a a

n n

2

12,

a a a  a 2a a 2a a  2a a 2a a a a 

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC:

PP:

- Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến.

- Cộng trừ đa thức ta cộng các đơn thức đồng dạng với nhau.

- Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến.

- Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.

- Nhân hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.

- Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực hiện phép chia.

BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC.

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P

M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b)

Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho 3

Bài 7: Số 350+1 có phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp không

Bài 8:Thực hiện phép tính:

Bài 17: Cho x,y nguyên:

a) Cho 5x+y ⋮ 19 Chứng minh rằng A=4x-3y⋮ 19

b) Cho 4x+3y ⋮ 13 Chứng minh rằng: B=7x+2y ⋮ 13

a, a 2 +b 2 = (a 2 +2ab+b 2 )-2ab=(a+b) 2 -2ab=S 2 -2P.

b, a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=S(S 2 -2P-P)=S 3 -3PS ( thay a 2 +b 2 =S 2 -2P).

c, a 4 +b 4 = a 4 +2a 2 b 2 +b 4 -2a 2 b 2 =(a 2 +b 2 ) 2 -2a 2 b 2 =(S 2 -2P) 2 -2S 2

Bài 5:

Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a Ta có:

M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc Vậy M=N=P.

Bài 6:

a chia 3 dư 1 nên a=3m+1, b chia 3 dư 1 nên b=3n+1 Suy ra:

a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho 3 đpcm

Bài 15:

Các em dùng phép chia hoặc phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 5x-y b, x 2 -xy c, 2x 2 +xy-y 2 d, a 2 -3ab+2b 2

Bài 16:

a, 4(x+2y)-(-3x 2 +4x-1)-3x 2 -9=8y-8 b, 5x 2 -2xy+3y 2

Bài 17:

a, Vì 5x+y ⋮ 19 nên 3(5x + y) ⋮ 19 Ta có: 19x ⋮ 19 nên 19x-3(5x+y) ⋮ 19 hay 4x-3y ⋮ 19.

b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x ⋮ 13 mà 2(4x+3y) ⋮ 13 nên 3B ⋮ 13 Mà ƯC(3;13)=1 nên B ⋮ 13.

- Ta rút gọn biểu thức, sau đó thay các giá trị x vào biểu thức rút gọn

- Chú ý các bài toán có quy luật: để tính giá trị của biểu thức tại x=a ta thường phân tích các thừa số

để suất hiện các tích (x-a).

a, Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được: A=x5-32 nên A(3)=35-32=211.

Tương tự:

b, B=x8-1 nên B(2)=255 c, C=x7+1 nên C(2)=129 d, D= x nên D(-5)=-5.

Bài 2: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:

a) A(x3 x y xy2  2 y3)(x y ) với x y

12,

HD: Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được:

a, A=x4-y4 Thay x=2; y=-1/2 ta được A=255/16.

a, Đặt P=x-y suy ra P 2 =(x-y) 2 =x 2 +y 2 -2xy=(x 2 +2xy+y 2 )-4xy=(x+y) 2 -4xy=9 2 -4.14=25 nên P= 5 hoặc P=-5

b, x 2 +y 2 =(x 2 +2xy+y 2 )-2xy=(x+y) 2 -2xy=9 2 -2.14=53.

c, x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 -xy+y 2 )=9(53-14)= 351

Bài 6: Cho x>y>0; x-y=7; x.y=60 Không tính x,y hãy tính giá trị biểu thức sau:

A=x2-y2 B=x4-y4

HD:

Ta có: (x+y) 2 =(x-y) 2 +4xy=7 2 +4.60=289

nên x+y=17 hoặc x+y=-17.

A=(x-y)(x+y) Với x-y=7 và x+y=17 thì A=119.

Với x-y=7 và x+y=-17 thì A=-119.

DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC:

PP:

- Dùng các phân tích, đặt nhân tử chung đưa về các bài toán tìm x cơ bản

- Chú ý các bài trị tuyệt đối, căn, dạng tích, dạng tổng bình phương, các dạng phương trình bậc

2, bậc 3 có thể nhẩm nghiệm rồi dùng phương pháp tách

- Nghiệm nguyên của đa thức luôn là ước của số hạng tự do

Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+ 6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử.Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ 1; 2; 3; 6

Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12  0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này

f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này

f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này

f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này

f(2)=32+56-8-26+6=60  0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này

f(3)=162+189-18-39+6=300  0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này

Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là

mẫu số của nghiệm này Nên

2 là nghiệm của đa thức này.

Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3;

Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3.

Chú ý: Số dư của f(x) cho x-x 0 là giá trị tại f(x 0 ).

Bài 1:Tìm thương và số dư trong phép chia f(X) cho x-a

DẠNG 5: TOÁN TÌM THAM SỐ a, b, c TRONG PHÉP CHIA.

Tìm điều kiện để f(x) chia hết g(x):

Cách 1: Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) rồi cho số dư bằng không.

Cách 2: Tìm nghiệm g(x) là x 1 ; x 2 ….Để f(x) chia hết cho g(x) thì f(x 1 )=0 và f(x 2 )=0… từ đó tìm được hệ số a,b,c…

a)Cách 1:Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được thương là x 2 -8x+15 và số dư là

(a-1)x+b+30: Để f(x) chia hết cho g(x) thì: (a-1)x+b+30=0 với mọi x suy ra: a-1=0 và b+30=0 hay a=1; b=-30.

Cách 2: g(x)=x 2 -x-2=(x+1)(x-2) Vì g(x) có nghiệm là x=-1; 2 nên để f(x) chia hết cho g(x) thì

f(-1)=0 và f(2)=0 => {f (−1)=b−a+31=0 f (2)=b+2 a+28=0=¿ a1,b30

Cách 3:

a Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

b Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5

b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân

Bài 8 :Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho

x – 2,652 Tìm hệ số của x2 trong đ a thức thương của phép chia trên

Bài 9 :Khi chia đa thức P(x)= 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) cóbậc là 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)

Bài 10 : Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3

Bài 11 : Tìm n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n chia hết cho x – 2 Với n tìm được ở trên hãy phân tíchQ(x) ra tích của các thừa số bậc nhất

Bài 12 : Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n

a Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2

b Với giá trị của m và n tìm được,chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

Bài 13 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết : f (13) = 1087 ; f (−1

(x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)

a) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

Bài tập 21:Cho đa thức P(x) = a x 3 + bx2+cx -2008 Tìm a ,b c biết P(x)chia cho (x-25) thì dư 29542

và khi chia cho (x2-12x+ 25) dư 431 x – 2933

Bài tập 22:Cho đa thức P(x) =x4 - 2 x 3+ 5x2 + (m-3) x + 2 m - 5 Tìm m=? biết P(-2,5) =0,49

Bài tập 23:Cho đa thức P(x) = x 3 + bx2+cx +d Biết P(1)= P(2) =-15; P(3)= 9

a Xác định các hệ số b;c ;d

b Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x-4 )

c Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (2x+ 3 )

Bài tập 24:Cho đa thức P(x) = x 3 +bx2+cx +d Biết P(1)= -25; P(2) = -21 ; P(-3)= -41

a)Xác định các hệ số b;c ;d

b)Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x +4 )

c)Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )

d) Tìm số dư R 3 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )(x+4)

Bài tập 25:Cho đa thức P(x) = a x 3+ bx2+cx -2007.Tìm a ,b c biết P(x) chia cho (x-3) thì dư

−27381

16 ; khi chia cho(x-7) thì dư

−16111

16 và khi chia cho(x-7) thì dư 29938

Bài tập 26:Cho đa thức P(x) =x5 + ax4 + b x 3 + cx2 +d x +2043 Biết P(1) = 5; P(2) =7; P(3) = 9;

P(4) = 11 Hãy tính P (10)→ P(13)

Bài tập 27:Cho đa thức P(x) =x5 + 2x4 -3 x 3 + 4x2 - 5 x +m

a Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003

b Tìm m để P(x) chia hết cho x -2,5

c P(x) có nghiệm là x=2 Khi đó hãy tìm m?

Bài tập 28:Cho đa thức P(x) =

2

3 x4 - √ 2 x 3 + 5 x +7a)Tìm thương Q(x) trong phép chia P(x) cho x-5

b)Tìm số dư R trong phép chia P(x) cho x-5( Kết quả lấy chính xác 3 cstp)

Bài tập 29:Cho đa thức P(x) = 22x3 + 2x -2008

a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

34 36,15 5677P(x)

Bài 31: Tìm a để đa thức x4−x3+6 x2−x+a chia hết cho đa thức x2−x +5

Bài 32: Tìm a, b để đa thức x4+2 x3−3 x2+ax +b chia hết cho đa thức x2+3 x−1

Bài 33: Tìm đa thức bậc ba f(x) biết f(x) chia hết cho 2x – 1 và khi chia cho các đa thức x – 1, x + 1, x

– 2 đều có số dư là 7

Bài 34: Tìm giá trị của m để đa thức P(x)= x3− ( 3 m+1 ) x2+ mx−2 chia hết cho Q(x)= 2x−1 .

Bài 35:

a) Tìm n để đa thức x4−x3+6 x2−x+n chia hết cho đa thức x2−x +5

b) Tìm n để đa thức 3 x3+10 x2−5+n chia hết cho đa thức 3 x+1 .

c) Tìm tất cả các số nguyên n để 2 n2+n−7 chia hết cho n−2 .

Bài 36: Chứng minh B= x3+6 x2−19 x−24 chia hết cho 6 với mọi x là số tự nhiên.

DẠNG 6: TÌM MSC, QUY ĐỒNG VÀ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN PHÂN THỨC

- Tìm điều kiện xác định phân thức

- Phân tích từng mẫu số để tìm được MSC

- Nhân vào các phân thức thừa số phụ, đưa về mẫu số chung rồi thực hiện phép tính

1

x +1

.

( x−3)( x +2) ( x−2)( x+ 2)=

x−3 x−2.

1(x−2 y)+

4

( x +2 y )( x−2 y)=

2 (x−2 y )+x +2 y+4 ( x−2 y )( x+2 y ) =

3 x−2 y +4 ( x−2 y )( x +2 y)

(x − y )( x2+xy + y2

)−

3 xy ( x− y )( x2+xy + y2

)+

(x− y)2( x− y )( x2+xy + y2

4 2

2

1 1

2 2

2.3

c)

2

3 2

15 2.7

111

121

DẠNG 7: TÌM X NGUYÊN ĐỂ BIỂU THỨC F(x)/G(x) NGUYÊN.

Cách 1: Phân tích tử số theo mẫu số:

Cách 2: Thực hiện phép chia F(x) cho G(x) rồi viết biểu thức dưới dạng:

F(x )

G(x)=H ( x)+

a G(x) Để

F(x ) G(x) là số nguyên thì a ⋮ G(x) từ đó tìm được x.

Bài 9. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:

a, Cách 1: Để

x x x

PP: Đồng nhất hệ số của phần biến ở hai vế của đẳng thức.

Bài 1. Cho biết đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ) Tìm đa thức thương:

a) f x( )x3 5x211x10, g x( ) x 2 HD: q x( )x2 3x5

b) f x( ) 3 x3 7x24x 4, g x( ) x 2 HD: q x( ) 3 x2 x2

Bài 2. Phân tích đa thức P x( )x4 x3 2x 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:

Bài 11: Xác định a,b để x4-2x3+3x2+ax+b là bình phương của một đa thức.

DẠNG 8: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC PP:

- Ta biến đổi về trái thành về phải hoặc ngược lại bằng các khai triển hoặc sử dụng hằng đẳng thức Sauk hi biến đổi thấy 2 vế bằng nhau suy ra đpcm.

- Với các bài toán chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: sau khi biến đổi ta sẽ được một hằng

số Suy ra biểu thức không phụ thuộc vào x

a cho a2+b2+c2=ab+bc+ca, chứng minh a=b=c

b Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 chứng minh a và b đối nhau

HD:

a, 2(a 2 +b 2 +c 2 )=2(ab+bc+ca)  (a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 -2ac+c 2 )+(b 2 -2bc+c 2 )=0

 (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 =0  a=b=c.

b, 2a 2 +2b 2 =a 2 -2ab+b 2  a 2 +2ab+b 2 =0  (a+b) 2 =0  a= - b.

Bài 7:Chứng minh không tồn tại x,y thỏa mãn đẳng thức sau:

a 3x2+y2+10x-2xy+26=0 b 4x2+3y2-4x+30y+78=0

a cho a+b+c+d=0 CMR: a4+b4+c4+d4=2(ab+bc+ca)2

b cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1, chứng minh a4+b4+c4+d4=1/2

Bài 9: Chứng minh:

a) A=x2+x+1 luôn dương

b) B=x2-xy+y2 luôn dương với x,y dương

Bài 13: Cho x+y+z=0 Chứng minh x3+y3+z3=3xyz

Bài 14: Rút gọn: A=(x-y-1)3-(x-y+1)3+6(x+y)2

Bai 15: Cho (x+2y)(x2-2xy+4y2)=0 và (x-2y)(x2+2xy+4y2)=16 Tìm x, y?

Bài 16: Chứng minh: A=7423-6923 ⋮ 200 B=6853+3153 ⋮ 25000.

Bài 17: Cho a+b+c+d=0 CMR: a3+b3+c3+d3=3(b+c)(ad-bc)

Bài 18: Cho a+b+c=0 CMR:

a) (ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ac)2

PP: Chú ý đến lũy thừa của các biến rồi dựa vào 7 hằng đẳng thức

Bài tập: Điền vào chỗ trống cho thích hợp:

b, (263+37) 2 =300 2 =90000.

c, (136-46) 2 =90 2 =8100.

d, (50 2 -49 2 )+(48 2 -47 2 )… +(2 2 -1 2 )=99+95+….3=…

Bài 4:

a) Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 Chứng minh a và b là hai số đối nhau

b) Cho 2(a2+b2)=(a+b)2 Chứng minh a = b

HD:

2a 2 +2b 2 =a 2 -2ab+b 2  a 2 +2ab+b 2 =0  (a+b) 2 =0  a=-b

Bài 5: Cho a2+b2+c2=ab+bc+ac Chứng minh a=b=c

HD:

a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ac  2a 2 +2b 2 +2c 2 =2ab+2bc+2ac

 (a 2 -2ab+b 2 )+(b 2 -2bc+c 2 )+(c 2 -2ac+c 2 )=0  (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0  a=b=c.

Bài 6: Cho a,b,x,y là các số khác 0 Cho (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2.Tìm hệ thức giữa a,b,x,y

HD:

(a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 )=(ax+by) 2  (ax) 2 +(ay) 2 +(bx) 2 +(by) 2 =(ax) 2 +2axby+(by) 2

 (ay) 2 -2ay.bx+(bx) 2 =0  (ay-bx) 2 =0  ay=bx.

Dạng 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, phân tích một biểu thức về tổng các bình phương:(xem chuyên đề riêng)

Nếu biểu thức là tổng các lũy thừa:

- Tính tổng rồi xét chữ số tận cùng.

- Nhóm 2 hoặc 3 thừa số liền kề, cách quãng rồi đặt nhân tử chung để xuất hiện số chia.

Nếu biểu thức yêu cầu chứng minh f(x) choa hết cho g(x) ta dùng một trong các cách sau:

- Kẻ cột và thực hiện phép chia, chỉ ra số dư bằng 0.

- Tìm nghiệm của g(x) là a,b….và chỉ ra f(a)=0; f(b)=0…

- Dùng tính chất chia hết:

an -bn chia hết (a-b)

an +bn chia hết (a+b)

Tích của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6, tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

Nếu bài cho ax+by ⋮ m Chứng minh cx+dy ⋮ m ta sử dụng tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu.

5/ Phương pháp đổi biến

6/ Phương pháp xét giá trị riêng

7/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử

Dạng 1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài 13.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x 2 -4x-3

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x

Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu cóphải là ước của hệ số tự do

Ví dụ : Phân tích đa thức : x 3 - x 2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lầnlượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x –

2 vậy ta tách đa thức trên thành :

x 3 - x 2 -4 = x 3 -2 x 2 + x 2 -4 = x 2 (x-2) +(x-2)(x+2) =

Chú ý: Đôi khi việc nhẩm a.c rồi tách thành 2 số có tổng bẳng b rất khó khăn Các em biến đổi dựa vào hằng đẳng thức số 1 và số 2 để đưa về dạng f 2 (x)+d Nếu d>0 thì đa thức trên không phân tích thành nhân tử được nữa Nếu d<0 thì các em dùng hằng đẳng thức số 3 để phân tích tiếp:

Ví dụ : Phân tích đa thức x 3 - 5x 2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x –

1 vậy ta tách như sau: x 3 - x 2 - 4 x 2 +8x -4 = x 2 (x-1) – 4(x-1) 2

3/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức

do đó đa thức chứa nhân tử x +1.

Ví dụ: Phân tích đa thức x 3 - 5x 2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó

đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :

x 3 - 5x 2 +3x +9 = x 3 + x 2 - 6x 2 +3x +9 = x 3 + x 2 - 6x 2 -6+3x +3

=x 2 (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) =

Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng

minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng

p

q trong đó p là

ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất Ví dụ : Phân tích đa thức 3x 3 - 7x 2

+17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ±

Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử.

b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức x 5 +x -1 ta thêm bớt x 4 ,x 3 ,x 2 như sau:

x 5 +x -1 = x 5 +x 4 +x 3 +x 2 -x 4 -x 3 -x 2 +x -1

= (x 5 -x 4 +x 3 )+(x 4 -x 3 +x 2 ) –(x 2 -x +1 ) =

Chú ý : Các đa thức có dạng x 3m+1 + x 3 n+2 +1 đều chứa nhân tử x 2 + x +1

Các đa thức có dạng x 3m+1 - x 3 n+2 +1 đều chứa nhân tử x 2 - x +1

Dạng 7: Phương pháp đổi biến

Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn

Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x 2 +10x)(x 2 +10x + 24 )

đặt x 2 +10x + 12 =y ⇒ (y-12)(y+12) +128 = y 2 -16 = (y-4)(y+4) =

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1, x(x+4)(x+6)(x+10)+128 2, (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

Dạng 8: Phương pháp giá trị riêng.

Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể đểxác định nhân tử

Ví dụ: Phân tích đa thức P = x 2 (y-z)+ y 2 (z-x) + z 2 (x-y)

Ta thay x =y thì P= y 2 (y-z)+ y 2 (z-x) = 0

Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z

và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)

Vì bậc của 2 vế bằng nhau nên k là hằng số

P = x 2 (y-z)+ y 2 (z-x) + z 2 (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán cho x,y,zcác giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được

Bài 1:

a/ x 2 -2x -4y 2 -4y b/ a(a 2 +c 2 + bc ) + b(c 2 +a 2 + ac ) + c(a 2 +b 2 +

ab )

c/ 6x 2 -11x +3 d/ 2x 2 +3x -27 e/x 3 +5x 2 +8x +4 f/ x 3 -7x +6g/2x 3 -x 2 +5x +3 h/ x 3 -7x 2 -3

Bài 2:

a/ (x 2 +x )2- 2(x 2 +x ) -15 b/ x 2 +2xy+y 2 -x-y -12

c/ (x 2 +x +1)(x 2 +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24

e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a 4 f/ (x 2 + y 2 + z 2 )(x+y+z) 2 +(xy+yz+xz) 2

Bài 3:Dùng phương pháp xét giá trị riêng

a) A=a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-a)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

b) B=a(m-a)2+b(m-b)2+c(m-c)2-abc Với 2m=a+b+c

c) C= (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc

d) D=a(a+2b)3-b(2a+b)3

e) ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c)

Dạng 9: Phương pháp giảm dần số mũ

Phương pháp này chỉ sử dụng được cho một số đa thức đặc biêt, khi dùng phương pháp này cần đưa

về các biểu thức có dạng a6± 1; a3± 1 , các đa thức này có nhân tử chung là a2± a+1

Nếu đa thức có dạng x 3m+1 + x 3n+ 2 + 1 thì đa thứ luôn có nhân tử x 2 ± x + 1

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) a a2( 1) 2 ( a a1)chia hết cho 6 với a Z

b) a a(2  3) 2 ( a a1) chia hết cho 5 với a Z

a) a22a b 2 1 0 với mọi giá trị của a và b.

b) x2y22xy 4 0 với mọi giá trị của x và y.

c) (x 3)(x 5) 2 0  với mọi giá trị của x.

ĐÁP SỐ

Phương pháp đặt nhân tử chung:

Bài 1:

a, 2x(2x-3) b, 3x 2 y 3 (3x 2 +y 2 ) c, x(x 2 -2x+5)

a, (a-2)(x-a) b, (x+1)(x-a) c, (x+2a)(2x+1)

d, (x+2y)(x-a) e, (x+a)(x 2 +1) f, (x 2 +y)(y 2 +z)

a, 2(a-b) 2 b, (xy-3)(5y 2 -2z) c, (2x-y)(4x+1) d, abc 2 (b+c)(b-a)

e, x 2 y-x 2 z+y 2 z-y 2 x+z 2 (x-y)=xy(x-y)-z(x 2 -y 2 )+z 2 (x-y)=(x-y)(xy-zx-zy+z 2 )=(x-y)(y-z)(x-z)

c, 3x 2 y 3 (x+1)+3y 2 (x+1)=3y 2 (x+1)(x 3 +1)=3y 2 (x+1) 2 (x 2 -x+1).

d, 4[(x 2 -2x+1)-(a 2 -2ay+y 2 )]=4[(x-1) 2 -(a-y) 2 ]=4(x-1-a+y)(x-1+a-y).

e, (x+y-1)[(x+y) 2 +x+y+1]-3xy(x+y-1)=(x+y-1)(x 2 +y 2 -xy+x+y+1).