Tính gián tiếp thể tích khối đa diện

Cho hình chóp tam giác S ABC có.. Tính th tích kh i chóp .S AMN theo a.. TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG.

A S T DUY

Các em xem l i bài gi ng “Bài 5 Ph ng pháp tính nhanh th tích kh i đa di n qua s đ t duy”.

B CÁC VÍ D MINH H A

Ví d 1 Cho hình chóp tam giác S ABC có BCa ABC, 300 và SA a Hình chi u vuông góc c a

S xu ng m t đáy là đi m H thu c đ an AB sao cho BH3AH, góc t o b i SA và m t đáy ABC

b ng 600 G i G là tr ng tâm tam giác SBC và m t ph ng ( ) qua AG song song v i BC, c t SB

và SC l n l t t i M và N Tính th tích kh i chóp .S AMN theo a

Gi i:

Do SH(ABC), suy ra góc t o b i SA và m t

đáy ABC là góc 0

60

0

0

2 3 sin 60

2

a

a



 



sin 2 sin 30

ABC

a

.

G i I là trung đi m c a BC , khi đó 2

3

SG

3

BC

đó:

.

.

S AMN

S AMN S ABC

S ABC

3

3 27

S AMN

a

V 

Ví d 2 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a , SA2a và SAvuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M và N l n l t là hình chi u vuông góc c a Atrên các đ ng th ng

SB và SC Tính th tích c a kh i chóp ABCNM

TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

+) Ta có ABC là tam giác đ u c nh a nên 2 3

4 ABC

a

S  , suy ra :

.

+) Xét tam giác SAB : SM SB SA2

 Xét tam giác SAC : 2

 Khi đó: .

.

S AMN

S AMN S ABC

S ABC

Suy ra:

A BCNM S ABC S AMN S ABC S ABC S ABC

3

50

A BCNM

a

Ví d 3 Cho hình chóp t giác đ u S ABCD, đáy là hình vuông c nh a , c nh bên t o v i đáy góc 0

60 G i M là trung đi m c a SC M t ph ng đi qua AM và song song v i BD, c t SB , SD l n l t t i

E và F Tính th tích kh i chóp S AEMF

Gi i:

G i AC BD H SH (ABCD), suy ra góc t o b i SA và

(ABCD) là SAH 600, suy ra tan 600 2 3 6

Ta có

3

.

G i AM SH  I Do BD/ /(AEMF) I EF / /BD

Tam giác SAC có I là tr ng tâm và EF / /BD nên 2

3

Ta có VS AEMF. VS AMF. VS AME. 2VS AMF. (1) Khi đó :

.

.

S AMF

S AMF S ACD S ABCD

S ACD

T (1) và (2), suy ra

3

6 18

S AEMF

a

F

E I

M

H S

D

C B

A

Ví d 4 Cho t di n ABCD , có ABCBAD900,CAD120 ,0 AB , a AC2a, AD3a Tính

th tích c a kh i chóp ABCD theo a

Gi i:

G i M N, l n l t là các đi m thu c đo n AC AD,

sao cho:AMAN Khi đó: a

2

AC

BM  a BNa Xét tam giác AMN :

2 .cos120

3a

 MNa 3

Do AMAN AB nên hình chi u vuông góc c a A

trên (BCD) là tâm H c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác

BCD M t khác BMN vuông t i B

(vì BM2MN23a2MN2)

MH

Ta có :

2

BMN

a

Suy ra

.

V  AH S   , khi đó ta có: .

.

1

A BMN

A BCD

A BCD A BMN

3

2 2

A BCD

a

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng