Cách tính trực tiếp thể tích khối da diện

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của AC và góc tạo bởi SB và đáy bằng 0 60.. Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC.. Giải: Do SHABC nên HB là hình chiế

A SƠ ĐỒ TƯ DUY

Các em xem lại bài giảng ở “Bài 5 Phương pháp tính nhanh thể tích khối đa diện qua sơ đồ tư duy”

B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC2a, ACB300 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của AC và góc tạo bởi SB và đáy bằng 0

60 Tính theo a thể tích

của khối chóp S ABC

Giải:

Do SH(ABC) nên HB là hình chiếu

của SB trên mặt phẳng đáy

Vậy góc tạo bởi SB và đáy là góc SBH 600

ABC

 vuông tại B, suy ra:

2

AC

.tan tan 60 3

Xét tam giác vuông ABC ta có: BCAC.cosACB2 cos 30a 0 a 3

Suy ra :

2 0

.sin 2 3.sin 30

ABC

a

Thể tích của khối chóp S ABC. là:

.

Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABC A B C có ' ' ' ACB1350, ' 10

4

a

CC  ; ACa 2 và BCa Hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ' (ABC) trùng với trung điểm M của đoạn AB Tính theo a thể tích

của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Giải:

Ta có

2 0

sin 2 sin135

ABC

a

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:

AB2  AC2BC22AC BC cosACB

TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

2a2a22.a 2 .cos135a 0 5a2

Khi đó

2

Suy ra ' ' 2 2 6

4

a

C M  C C CM 

Suy ra thể tích

2 3 ' ' '

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D, ADDCa; AB3a

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và AD Tam giác SNC là tam giác cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc tạo bởi mặt phẳng (SDC) và đáy bằng 0

60 Tính theo a thể

tích của khối chóp S MNCB

Giải:

Gọi H là trung điểm của NC SHNC

Khi đó ta có:







 



Gọi I là trung điểm của DC 2 4 4

/ /

HI



 



Suy ra góc tạo bởi mặt phẳng (SDC) và đáy là SIH 600

Xét tam giác vuông SHI : 0 3

.tan tan 60

AN DN   Khi đó

2

AMN

a

CDN

a

Diện tích hình thang ABCD : ( ). (3 ). 2 2

ABCD

Suy ra :

Vậy

.

Ví dụ 4 Cho hình chóp đều S ABCD có ABa Gọi M là trung điểm của AD và góc tạo bởi mặt

phẳng (SCM) và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD

Giải:

Gọi AC BD O Do S ABCD là hình chóp đều Nên SO(ABCD)

C'

B'

A'

M

C

B

A

Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên CM , khi đó góc tạo bởi mặt phẳng (SCM) và mặt đáy là

0

60

SIO Do ABCD là hình vuông cạnh a nên 2

ABCD

Ta có:

DM   Xét tam giác CDM ta có:

2

CM  CD DM  a   

 

 

Mặt khác:

2

ABCD

suy ra:

2

:

COM

OI

CM

0

tan tan 60

Vậy

3 2

Ví dụ 5 Cho lăng trụ đứngABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại ' ' ' A Góc giữa AA' và BC bằng ' 300 Góc giữa hai mặt bên qua AA' bằng 600 Biết khoảng cách giữa AA' và BC bằng ' a Tính thể tích của khối

lăng trụ

Giải:

+) Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC nên AIBC

Có CC'(ABC)CC'AI AI (BCC B' ')

Mặt khác AA'//(BCC B' ')

( ', ') ( ', ( ' '))

Vì ABC A B C là lăng trụ đứng nên góc tạo bởi ' ' ' (AA B B' ' )

và (AA C C' ' ) là 0

60

CAB Suy ra ABC đều

0

2 2 3 sin sin 60 3 3

B

2

ABC

+) Vì AA'//CC' góc tạo bởi AA' và BC bằng góc tạo bởi ' CC và ' BC và bằng ' 0

' 30

CC B Xét tam giác vuông CC B ta có: ' 2 3 0

' cot ' cot 30 2

3

a

Suy ra

' ' '

' 2

Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng Nguồn : Hocmai.vn