Quy hoạch đa mục tiêu

Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học và các thầy cô khoa toán – tin đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện lu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI PHÚC KIểN

QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Phúc Kiển

QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Ts Trịnh công Diệu

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học và các thầy cô khoa toán – tin đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn

Cám ơn ba mẹ tôi và các thành viên trong gia đình những người đã động viên tôi vượt qua những lúc khó khăn Họ là nguồn động lực giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn đến các bạn của tôi, những giúp đỡ về vật chất cũng như về tinh thần của các bạn đã cho tôi sự yên tâm để tôi có thể hoàn thành khóa học

Tp Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 9 năm 2012

Bùi Phúc Kiển

Lời nói đầu

Quy hoạch toán học là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế Quy hoạch tuyến tính, một bộ phận của quy hoạch toán học, bài toán với một hàm mục tiêu trong đó hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm tuyến tính, đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình đại học Tuy nhiên, do nhu cầu thực tế, phát

sinh nhiều bài toán đòi hỏi phải tối ưu cùng một lúc nhiều hàm mục tiêu với các hàm mục tiêu và các ràng buộc thường là những hàm phi tuyến

Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) ra đời đã đáp ứng những đòi hỏi nêu trên

Từ những nền tảng đầu tiên được đặt ra bởi Pareto (1848 – 1923 ), đến nay QHĐMT đã thu hút được nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau từ kinh tế, tài chính, tin học, nông nghiệp,…

Luận văn này trình bày những kiến thức cơ bản về QHĐMT và được chia làm ba chương:

Chương 1 nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi như: tập lồi, tập affine, hàm lồi, các định lý tách tập lồi,…

Chương 2 trình bày các kiến thức cơ bản về QHĐMT như các quan niệm về tối ưu, các khái niệm tối ưu, những khó khăn đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu,…

Chương 3 nêu ra một số phương pháp giải bài toán QHĐMT Các phương pháp được trình bày chủ yếu là các phương pháp vô hướng, nghĩa là chuyển bài toán QHĐMT về bài toán quy hoạch đơn mục tiêu hoặc một họ các bài toán đơn mục tiêu để giải

5

MỤC LỤC

1.2 Hàm lồi và các định lý tách tập lồi 7

Chương 2 Quy hoạch đa mục tiêu: những kiến thức cơ bản 10

2.3 Những khó khăn đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu 13

2.5 Tối ưu đơn mục tiêu và đa mục tiêu: những khác biệt 19

Chương 3 Quy hoạch đa mục tiêu: các phương pháp giải 21 3.1 Phương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method ) 21 3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( theε- constraint method ) 26 3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) 30 3.4 Phương pháp co giãn ràng buộc ( The elastic constraint method ) 31 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) 34 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) 37 3.7 Tối ưu theo thứ tự Max ( Max-Ordering optimality ) 39

6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian tuyến tính Tập A X⊂ được gọi là lồi nếu

[ ] ( )

x x A λ λx λ x A

Theo định nghĩa,∅ và X được xem là tập lồi

Mệnh đề 1.1.2 Giao của tất cả các tập lồi là một tập lồi

Chứng minh: lấy A i ⊂ X với i I∈ là một họ các tập lồi Đặt i

i I

A A

∈

= Khi đó ,

x y A

∀ ∈ , ta có ,x y∈ A i với mọi i I ∈ Do i I∀ ∈ , A i lồi nên

(1 ) i

λ + −λ ∈ với mọi λ∈[ ]0,1 Suy ra λx+ −(1 λ)y∈A với mọi λ∈[ ]0,1 Vậy A là tập lồi 

Mệnh đề 1.1.3 ( Định lý Helly ) Cho p n> và C C1, 2, ,C p ⊂  là các tập lồi n Khi đó

1

p i i

C

=

≠ ∅



khi và chỉ khi với mọi tập con gồm n+ phần tử 1 {C C i1, i2, ,C i n+1}⊂{C C1, 2, ,C p}

ta đều có

1

1

k

n i k C

+

=

≠ ∅



7

Hoặc có phát biểu tương đương như sau,

1

p i i

C

=

= ∅

 khi và chỉ khi có một tập con gồm n+ 1phần tử { 1, 2, , 1} { 1, 2, , }

n

C C C + ⊂ C C C thỏa 1

1

k

n i k C

+

=

= ∅

Chứng minh của mệnh đề 1.1.3 có thể tham khảo Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000, trang 180-183)

Định nghĩa 1.1.4 Vectơ x X∈ được gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ

1 2

, , , n

x x x ∈ X nếu tồn tại các λi ≥0,i =1, 2, ,n,

1

1

n i i

λ

=

=

∑ sao cho

1

n i i i

x λx

=

=∑

Định lý 1.1.5 Giả sử A X⊂ là tập lồi; 1 2

, , , n

x x x ∈A Khi đó, A chứa tất cả các

tổ hợp lồi của 1 2

, , , n

x x x

Chứng minh: tham khảo Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000, trang 5-6)

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A X⊂ Giao của tất cả các tập lồi trong trong X chứa A được gọi là bao lồi ( convex hull ) của A ký hiệu coA

Định nghĩa 1.1.7 Tập n

A ⊂  được gọi là tập affine nếu ,∀x y∈ ∀ ∈ A, λ ta có

(1−λ)x+λy∈ A

Định nghĩa 1.1.8 Giao của tất cả các tập affine chứa n

A ⊂  được gọi là bao

affine ( affine hull ) của A ký hiệu affA

Định nghĩa 1.1.9 Phần trong tương đối của tập n

A ⊂  là phần trong của A trong

affA và ký hiệu bởi riA Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của

A

1.2 Hàm lồi và các định lý tách tập lồi

8

Giả sử X là không gian lồi địa phương, D X⊂ , f D: → ∪ ±∞ { }

Định nghĩa 1.2.1 Trên đồ thị ( epigraph ) của hàm f , ký hiệu epif , được định

nghĩa như sau

epif = x r ∈ ×D  f x ≤r

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epif là tập lồi trong

X ×  Hàm f được gọi là hàm lõm trên D nếu f− là hàm lồi trên D

Định lý 1.2.3 Lấy , n

X Y ⊂  là các tập lồi khác rỗng Khi đó, tồn tại * n

y ∈  thỏa

y y x y

≥

y y x y

>

nếu và chỉ nếu iXr ∩riY = ∅

Định lý 1.2.4 Lấy n

Y ⊂  là một tập lồi, đóng, khác rỗng và 0

\

n

y ∈  Y Thì tồn tại y*∈ n \ 0{ } và α∈  thỏa

0

y y < <α y y với mọi y Y∈

Chứng minh của định lý 1.2.3 và định lý 1.2.4 có thể tham khảo Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000, trang 71-73)

Định lý 1.2.5 Cho n

X ⊂  là tập lồi và :f k n →,k =1, 2, ,p là các hàm lồi Nếu hệ f k( )x <0,k =1, 2, ,p không có lời giải thì tồn tại các số

1

p

k

=

≥ ∑ = thỏa

9

( )

1

0

p

k k k

f x

λ

=

≥

∑ với mọi x X∈ Chứng minh của định lý 1.2.5 có thể tìm trong Mangasarian ( 1994, trang 63-65 )

10

C hương 2 Quy hoạch đa mục tiêu: những kiến thức cơ bản

2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu

Ta xét bài toán ra quyết định như sau:

Một chủ trang trại có 10 hecta đất và quyết định đầu tư trồng ba loại cây công nghiệp gồm cao su, cà phê và điều Các thông số về giá cây giống, mật độ trồng, phân bón, giá bán sản phẩm, năng suất trung bình và nhân công chăm sóc được cho trong bảng sau:

Loại cây Cao su Cà phê Điều Giá cây giống ( 1000đ/cây) 5 3,5 2,5 Mật độ (cây/ha ) 450 2000 200 Phân bón (tấn/ha) 0,215 0,5 0,3 Năng suất trung bình (tấn/ha) 2,3 2,526 2 Giá bán sản phẩm (triệu đ/ tấn) 8,8 43,1 18 Nhân công ( người/ha) 10 5 4 Người chủ trang trại đặt ra các mục tiêu như sau:

• Vốn đầu tư, số lượng nhân công, khối lượng phân bón là tối thiểu

• Giá bán sản phẩm là cao nhất có thể Nếu ta gọi số cây phải trồng của cao su, cà phê, điều lần lượt là x x1, 2, và x 3 thì vấn

đề của người chủ trang trại được xem xét dưới dạng mô hình của bài toán tối ưu như sau:

• Vốn đầu tư: f x1( )=5x1+3x2+2,5x3 →min