Các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like trong các bài toán quy hoạch đa mục tiêu không trơn

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM --- ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TOÁN QUY HOẠC

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM

-

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TOÁN QUY HOẠCH

ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

Mã số: CS – 2013 - 37 Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình tuấn

MÖC LÖC

MÖC LÖC 1

Ch÷ìng mð ¦u 3

1 Lþ do chån · t i 3

2 Möc ti¶u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu 4

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 4

4 K¸t c§u cõa · t i 4

Ch÷ìng 1: Mët sè cæng cö trong gi£i t½ch Lipschitz àa ph÷ìng khæng trìn v  c¡c kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai 5

Ch÷ìng 2: Kh¡i ni»m h m l-ên ành væ h÷îng công nh÷ vectì v  mët sè t½nh ch§t cõa chóng 7

Ch÷ìng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h÷îng a trà c§p hai v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng 11

Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai vîi hi»n t÷ñng envelope-like 15

Ch÷ìng 5: C¡c i·u ki»n tèi ÷u õ c§p hai 25

K¸t luªn v  h÷îng nghi¶n cùu mð rëng · t i 28

T i li»u tham kh£o 29

C¡c b i b¡o khoa håc li¶n quan trüc ti¸p ¸n · t i nghi¶n cùu 31

Ch÷ìng mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

Trong quy ho¤ch to¡n håc, v  têng qu¡t hìn trong tèi ÷u hâa, c¡c i·u ki»n tèi ÷uc§p hai chi¸m mët và tr½ quan trång, v¼ nâ cung c§p thæng tin th¶m quan trong cho c¡c

i·u ki»n tèi ÷u c§p mët º ¡p ùng cho sü ph¥n lo¤i ùng döng thüc t¸, c¡c b i to¡n tèi

÷u ÷ñc xem x²t, v  do â c¡c cæng cö v  kÿ thuªt nghi¶n cùu, ng y c ng trð n¶n phùct¤p hìn Tuy nhi¶n chóng ta câ thº nhªn th§y r¬ng, trong a sè c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùuli¶n quan ¢ câ, nëi dung ch½nh cõa c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u c§p hai câ thº ÷ñckh¯ng ành mët c¡ch t÷ìng tü nh÷ trong k¸t qu£ cê iºn l  ¤o h m c§p hai cõa c¡c

h m möc ti¶u (ho°c c¡c h m Lagrange trong c¡c b i to¡n câ r ng buëc) t¤i c¡c iºmcüc tiºu l  khæng ¥m Kawasaki [17] l  nh  nghi¶n cùu ¦u ti¶n cho th§y r¬ng c¡c ¤o

h m theo h÷îng c§p hai cõa h m Lagrange câ thº ¥m t¤i c¡c iºm cüc tiºu, n¸u ¤o

h m theo h÷îng cõa h m k¸t hñp bði h m möc ti¶u v  c¡c r ng buëc n¬m tr¶n ph¦n

°c bi»t cõa bi¶n cõa nân hñp ¥m trong t½ch c¡c khæng gian £nh Æng §y gåi hi»n t÷ñng

n y l  hi»n t÷ñng envelope-like C¡c k¸t qu£ cõa Kawasaki ¢ ÷ñc nhi·u nh  nghi¶ncùu ph¡t triºn trong [6, 8, 25, 26], luæn luæn xem x²t c¡c b i to¡n quy ho¤ch væ h÷îngthuëc lîp C2, gièng nh÷ trong [17] Trong quy ho¤ch a muc ti¶u, c¡c k¸t qu£ ¦u ti¶nthuëc kiºu n y ÷ñc nghi¶n cùu trong [14, 15] công x²t cho c¡c tr÷íng hñp trìn èivîi quy ho¤ch a möc ti¶u khæng trìn, Guti²rrez-Jim²nez-Novo [13] ¢ dòng c¡c ¤o

h m theo h÷îng c§p hai Dini v  parabolic a trà º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§phai vîi hi»n t÷ñng envelope-like Hå xem x²t c¡c h m kh£ vi Fr²chet m  ¤o h m cõa

nâ l  li¶n töc ho°c ên ành t¤i iºm nghi¶n cùu Tuy nhi¶n, v¨n cán nhi·u t¡c gi£ ch÷anhªn ra hi»n t÷ñng envelope-like khi nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai i·u n y

câ thº d¨n ¸n mët sè sai l¦m khæng bi¸t Hìn núa, trong c¡c b i b¡o nâi tr¶n, æi khikhæng x¡c ành ÷ñc khi n o th¼ hi»n t÷ñng envelop-like x£y ra v  khi n o th¼ khæng.C¡c quan s¡t tr¶n ¥y l  nguçn c£m hùng cho möc ½ch nghi¶n cùu ¦u ti¶n cõa chóngtæi trong · t i nghi¶n cùu n y l  l m rã hi»n t÷ñng envelope-like trong c¡c i·u ki»ntèi ÷u c§p hai

M°t kh¡c, mët c¡ch ti¸p cªn ch½nh cho tèi ÷u khæng trìn l  · xu§t v  ¡p döng c¡c

¤o h m suy rëng th½ch hñp º thay th¸ ¤o h m G¥teaux v  Fr²chet cê iºn khæng tçnt¤i khi thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u Nhi·u lo¤i ¤o h m ¢ ÷ñc dòng, méi lo¤i ·u

câ thuªn lñi ri¶ng trong mët sè t½nh huèng cö thº nh÷ng khæng thuªn lñi cho t§t c£ c¡ctr÷íng hñp G¦n ¥y, c¡c ¤o h m a trà cho h m vectì ìn trà ¢ ÷ñc sû döng hi»uqu£ º cung c§p c¡c quy t­c nh¥n tû trong c¡c quy ho¤ch khæng trìn, xem [5, 10, 11,

13, 19, 23] (nh÷ng trong [5, 10, 11, 19, 23], hi»n t÷ñng envelope-like khæng x£y ra) C¡cquan s¡t n y l  nguçn c£m hùng ti¸p theo cho möc ½ch nghi¶n cùu thù hai cõa chóngtæi trong · t i nghi¶n cùu n y l  ¡p döng ¤o h m theo h÷îng c§p hai Hadamard (¢

÷ñc · xu§t trong [19]) còng vîi t½nh ch§t l-ên ành (¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong [2, 3,

4, 12]) º ¤t ÷ñc c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai mîi c£i thi»n v  mð rëng c¡c k¸t qu£nghi¶n cùu g¦n ¥y V¼ gi¡ trà cõa ¤o h m theo h÷îng c§p hai Hadamard t¤i mët iºmth¼ lîn hìn gi¡ trà cõa c¡c ¤o h m theo h÷îng c§p hai Dini v  parabolic, c¡c i·u ki»nc¦n cõa chóng tæi m¤nh hìn c¡c i·u ki»n c¦n trong [13] Hìn núa, chóng tæi nîi läng

c¡c gi£ thi¸t ch½nh °t ra trong [13]: thay th¸ l¦n l÷ñt t½nh kh£ vi li¶n töc v  ên ànhbði t½nh kh£ vi ch°t v  l-ên ành.

2 Möc ti¶u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu

Chóng tæi xem x²t b i to¡n quy ho¤ch a möc ti¶u sau ¥y Cho c¡c h m f : Rn→ Rm,

g : Rn → Rp v  h : Rn→ Rr Cho C l  nân lçi âng trong Rm v  K l  tªp lçi trong Rp

B i to¡n d÷îi sü xem x²t cõa chóng tæi l 

(P) min f(x), sao cho g(x) ∈ −K, h(x) = 0

N¸u K = Rn

+, th¼ r ng buëc g(x) ∈ −K trð th nh r ng buëc b§t ¯ng thùc thængth÷íng

Chóng tæi dòng c¡c ¤o h m theo h÷îng a trà Hadamard v  Dini d÷îi gi£ thi¸t kh£

vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n) hay l-ên ành (trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u õ) ºthi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai mîi vîi t½nh ch§t envelope-like ÷ñc l m rã hìncho b i to¡n quy ho¤ch a möc ti¶u khæng trìn (P) Cö thº, · t i thüc hi»n c¡c möcti¶u nghi¶n cùu sau ¥y

+ Kh¡i ni»m h m l-ên ành væ h÷îng công nh÷ vectì v  mët sè t½nh ch§t cõa chóng.+ Kh¡i ni»m ¤o h m theo h÷îng a trà c§p hai v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng

+ C¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p hai vîi hi»n t÷ñng envelope-like cho c¡c nghi»m y¸u

•Ch÷ìng mð ¦u: Lþ do thüc hi»n · t i, möc ti¶u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa · t i

• Ch÷ìng 1: Mët sè cæng cö trong gi£i t½ch Lipschitz àa ph÷ìng khæng trìn v  c¡ckh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai

• Ch÷ìng 2: Kh¡i ni»m h m l-ên ành væ h÷îng công nh÷ vectì v  mët sè t½nh ch§tcõa chóng

•Ch÷ìng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h÷îng a trà c§p hai v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng

• Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p hai vîi hi»n t÷ñng envelope-like

• Ch÷ìng 5: C¡c i·u ki»n tèi ÷u õ c§p hai

Ch÷ìng 1: Mët sè cæng cö trong gi£i t½ch Lipschitz

àa ph÷ìng khæng trìn v  c¡c kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai

N v  R l¦n l÷ñt l  c¡c tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n v  sè thüc Vîi khæng gian ành chu©n

X, X∗ l  èi ng¨u topo cõa of X; h., i l  t½ch èi ng¨u k.k l  chu©n trong khæng gian

ành chu©n b§t ký v  d(y, S) l  kho£ng c¡ch tø iºm y ¸n tªp S Bn(x, r) = {y ∈ Rn:

kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn: kyk = 1}; S∗

n= {y ∈ (Rn)∗ : kyk = 1}; L(X, Y ) l  kþ hi»ukhæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n tø X v o Y , trong â X v  Y l  c¡c khænggian ành chu©n Vîi nân C ⊂ Rn, kþ hi»u C∗ = {c∗ ∈ (Rn)∗ : hc∗, ci ≥ 0, ∀c ∈ C} l nân èi cüc cõa C Vîi A ⊂ Rn, c¡c kþ hi»u riA, intA, clA, bdA, convA, coneA v  LinAl¦n l÷ñt l  ph¦n trong t÷ìng èi, ph¦n trong, bao âng, bi¶n, bao lçi, bao nân cõa A

v  khæng gian tuy¸n t½nh sinh bði A Vîi t > 0 v  r ∈ N, o(tr)l  kþ hi»u cõa mët iºmphö thuëc v o t sao cho o(tr)/tr → 0 khi t → 0+

Chóng ta h¢y nhî l¤i mët sè ành ngh¾a sau ¥y nh x¤ f : Rn → X, trong â X

l  khæng gian gian ành chu©n, ÷ñc gåi l  kh£ vi ch°t t¤i x ∈ Rn n¸u nâ câ ¤o h mFr²chet f0

÷ñc ành ngh¾a bði

∂f (x) = conv{limf0(xk) : xk ∈ Ω, xk → x},trong â f kh£ vi trong Ω, vîi Ω l  tªp trò mªt bði ành lþ Rademacher Mët v i t½nhch§t cì b£n cõa Jacobian suy rëng Clarke ÷ñc li»t k¶ trong m»nh · sau ¥y

M»nh · 1.1 ([7]) Cho f : Rn→ Rm l  h m Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x Khi â,(i) ∂f(x) l  tªp comp«c lçi kh¡c réng trong L(Rn

, Rm);

(ii) ∂f(x) l  tªp mët iºm n¸u v  ch¿ n¸u f l  kh£ vi ch°t t¤i x: ∂f(x) = {f0(x)};(iii) ∂f(x) = {limk→∞vk: vk∈ ∂f (xk), xk → x}, nâi c¡ch kh¡c (v¼ ∂f(x) l  comp«c),

¡nh x¤ ∂f(.) l  núa li¶n töc tr¶n t¤i x;

(iv) (ành lþ gi¡ trà trung b¼nh Lebourg) n¸u f l  Lipschitz àa ph÷ìng trong mët l¥ncªn lçi U cõa x v  a, b ∈ U, th¼

f (b) − f (a) ∈ conv(∂f ([a, b])(b − a))

v  khi m = 1, tçn t¤i mët iºm c ∈ (a, b) sao cho

T00(M, x0, u) = {w ∈ Rn: ∃(tk, rk) → (0+, 0+) : tk/rk → 0, ∃wk→ w,

∀k ∈ N, x0+ tku +12tkrkwk∈ M }.(e) Tªp k· c§p hai cõa M t¤i (x0, u) l 

A2(M, x0, u) = {w ∈ Rn : ∀tk→ 0+, ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0+ tku +12t2

kwk∈ M }.(f) Tªp ti¸p xóc trong c§p hai cõa M t¤i (x0, u) l 

IT2(M, x0, u) = {w ∈ Rn: ∀tk → 0+, ∀wk→ w, ∀k õ lîn,

x0+ tku +12t2kwk∈ M }.M»nh · sau ¥y tâm t­t mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa c¡c tªp ti¸p xóc c§p hai tr¶n.M»nh · 1.3 Cho M ⊂ Rn, x0 ∈ Rn v  u ∈ Rn Khi â,

(i) IT2(M, x0, u) ⊂ A2(M, x0, u) ⊂ T2(M, x0, u) ⊂ clcone[cone(M − x0) − u];

(ii) n¸u u 6∈ T (M, x0), th¼ T2(M, x0, u) = ∅

N¸u, th¶m núa, M l  lçi, intM 6= ∅ v  u ∈ T (M, x0), th¼ (xem [15, 24, 28])

(iii) intcone(M − x0) = IT (intM, x0);

Ch÷ìng 2: Kh¡i ni»m h m l-ên ành væ h÷îng công nh÷ vectì v  mët sè t½nh ch§t cõa chóng

H m h : Rn → Rm ÷ñc gåi l  ên ành t¤i x ∈ Rn n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x

v  ϑ > 0 sao cho, vîi måi y ∈ U,

→ R ÷ñc tâm t­t trong m»nh · sau.M»nh · 2.2

(i) ([2, 4]) H m l-ên ành l  Lipschitz àa ph÷ìng v  kh£ vi ch°t

(ii) ([12]) ϕ l  l-ên ành t¤i x n¸u v  ch¿ n¸u ϕ l  kh£ vi (Fr²chet) t¤i x v  tçn t¤imët l¥n cªn U cõa x sao cho ϕ l  Lipschitz tr¶n U, v  tçn t¤i ϑ > 0 sao cho

kϕ0(y) − ϕ0(x)k ≤ ϑky − xk h¦u h¸t trong U (theo ngh¾a ë o Lebesgue)

(iii) ([12]) C¡c kh¡i ni»m l-ên ành v  u-ên ành l  t÷ìng ÷ìng; hìn núa l¥n cªn U

v  h¬ng sè ϑ ÷ñc ¡p döng gièng nhau trong c¡c b§t ¯ng thùc (2.1) ho°c (2.2)

Bði M»nh · 2.2 (iii), trong ph¦n sau ta ch¿ sû döng ¤o h m theo h÷îng d÷îi v 

l-ên ành, cán ¤o h m theo h÷îng tr¶n v  u-ên ành ÷ñc nh­c ¸n khi c¦n thi¸t.Kh¡i ni»m l-ên ành ÷ñc mð rëng cho c¡c h m vectì nh÷ sau

ành ngh¾a 2.3 ([3]) ¤o h m theo h÷îng d÷îi (t÷ìng ùng, tr¶n) cõa h m Φ : Rn→ Rmt¤i x theo h÷îng u èi vîi ξ∗

∈ (Rm)∗ ÷ñc ành ngh¾a bði

Φlξ∗(x, u) = lim inft→0+

1

thξ∗, Φ(x + tu) − Φ(x)i(t÷ìng ùng, Φu

ξ ∗(x, u) = lim supt→0+

1

thξ∗, Φ(x + tu) − Φ(x)i)

T½nh ch§t gi¡ trà trung b¼nh sau ¥y cho c¡c h m vectì li¶n töc s³ c¦n ¸n

M»nh · 2.4 ([3]) Cho h m Φ : Rn→ Rm li¶n töc tr¶n mët tªp mð U ⊂ Rn chùa o¤n[a, b] v  ξ∗

∈ (Rm)∗ Khi â, tçn t¤i c¡c iºm γ1, γ2 ∈ (a, b) sao cho

Φlξ∗(γ1, b − a) ≤ hξ∗, Φ(b) − Φ(a)i ≤ Φlξ∗(γ2, b − a).

ành ngh¾a 2.5 Cho h m Φ : Rn

→ Rm v  Γ = C∗∩ S∗

m.(i) ([3]) Gi£ sû C ⊂ Rm l  nân lçi, âng v  nhån vîi intC 6= ∅ Φ ÷ñc gåi l  l-ên

ành t¤i x theo ngh¾a cõa Bednar½k-Pastor n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x v  ϑ > 0sao cho, vîi måi y ∈ U, u ∈ Sn, v  ξ∗ ∈ Γ,

|Φl

ξ ∗(y, u) − Φlξ∗(x, u)| ≤ ϑky − xk.(ii) ([12]) Φ ÷ñc gåi l  l-ên ành t¤i x theo ngh¾a cõa Ginchev n¸u, vîi måi ξ∗ ∈(Rm)∗, h m væ h÷îng Φξ ∗(.) := hξ∗, Φ(.)i l  l-ên ành t¤i x

Hiºn nhi¶n, n¸u h m væ h÷îng hay vectì f câ ¤o h m Fr²chet f0 l  ên ành, th¼ f

kΦ0(y) − Φ0(x)k ≤ ϑky − xk.(iii) ([3, 12]) N¸u h m Φ : Rn→ Rm l  l-ên ành t¤i x theo ngh¾a cõa Bednar½k-Pastorho°c Ginchev, th¼ Φ l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x v  kh£ vi ch°t t¤i x

Sau ¥y, ta chùng minh r¬ng hai ành ngh¾a tr¶n v· l-ên ành cho c¡c h m vectì l t÷ìng ÷ìng nhau

M»nh · 2.7 N¸u Φ : Rn

→ Rm l  l-ên ành t¤i x theo ngh¾a cõa Ginchev, th¼ b§t

¯ng thùc trong ành ngh¾a v· l-ên ành cõa Bednar½k-Pastor thäa m¢n N¸u C l  nhån

v  intC 6= ∅, th¼ hai ành ngh¾a tr¶n l  t÷ìng ÷ìng nhau

Chùng minh Tø M»nh · 2.6 (i), ta suy ra r¬ng Φ l  l-ên ành t¤i x theo ngh¾acõa Ginchev n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x v  ϑ > 0 sao cho, vîi måi

V¼ th¸, b§t ¯ng thùc n y thäa m¢n cho ξ∗ ∈ Γ ⊂ S∗

m nh÷ y¶u c¦u trong ành ngh¾acõa Bednar½k-Pastor

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû C l  nhån, intC 6= ∅ v  b§t ¯ng thùc tr¶n thäa m¢n cho ξ∗ ∈ Γ.V¼ LinΓ = (Rm)∗, vîi måi i ∈ {1, 2, , m}, tçn t¤i ξ∗

i,1, ,ξ∗ i,r i ∈ Γ v  αi,1, , αi,ri ∈ Rwith ri = 1, , m sao cho e∗

Bði m»nh · tr¶n, tø ¥y v· sau ta ch¿ quan t¥m ¸n kh¡i ni»m l-ên ành theo ngh¾acõa Ginchev.

Ch÷ìng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h÷îng a trà c§p hai v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng

Ta h¢y nhî l¤i giîi h¤n tr¶n theo ngh¾a cõa Painlev²-Kuratowski cõa ¡nh x¤ a trà

Φ : Rn⇒ Rm

Limsupu→uΦ(u) = {y ∈ Rm : ∃uk → u, ∃yk ∈ Φ(uk) sao cho yk → y}

Sau ¥y, ta quan t¥m ¸n ba lo¤i ¤o h m a trà cõa h m vectì ìn trà

ành ngh¾a 3.1 Cho h m h : Rn→ Rm l  kh£ vi Fr²chet t¤i x0 ∈ Rn v  u, w ∈ Rn.(i) ([19]) ¤o h m theo h÷îng c§p hai Hadamard cõa h t¤i x0 theo h÷îng u l 

D2h(x0, u) =Limsupv→u,t→0 +

h(x0+ tv) − h(x0) − th0(x0)u

t2/2 (ii) ([19]) ¤o h m theo h÷îng c§p hai Dini cõa h t¤i x0 theo h÷îng u l 

d2h(x0, u) =Limsupt→0 +

h(x0+ tu) − h(x0) − th0(x0)u

t2/2 (iii) ([13]) ¤o h m theo h÷îng c§p hai parabolic cõa h t¤i x0 theo h÷îng (u, w) l 

º câ mët sè mèi li¶n h» giúa c¡c ¤o h m tr¶n ta c¦n bê · sau ¥y

Bê · 3.2 Cho h m h : Rn → Rm l  l-ên ành t¤i x0 ∈ Rn Khi â, tçn t¤i ϑ > 0 saocho, vîi måi a, b g¦n x0, tçn t¤i γ ∈ (a, b) thäa m¢n

kh(b) − h(a) − h0(x0)(b − a)k ≤ ϑkb − akkγ − x0k.Chùng minh Bði ành lþ Hahn-Banach, tçn t¤i ξ∗ ∈ S∗

m sao chokh(b) − h(a) − h0(x0)(b − a)k = hξ∗, h(b) − h(a) − h0(x0)(b − a)i

M»nh · 2.4 d¨n ¸n tçn t¤i γ ∈ (a, b) thäa m¢n

kh(b) − h(a) − h0(x0)(b − a)k ≤ ϑkb − akkγ − x0k M»nh · sau ¥y c£i thi»n M»nh · 2.2 cõa [19]

M»nh · 3.3 N¸u h : Rn → Rm l  l-ên ành t¤i x0 ∈ Rn vîi h0

(x0) = 0, th¼, vîi måi

M»nh · 3.4 Cho h m h : Rn→ Rm l  l-ên ành t¤i x0 ∈ Rn v  u, w ∈ Rn.

(i) N¸u wk:= (xk− x0− tku)/12t2

k → w vîi tk → 0+, th¼ tçn t¤i y ∈ Dp

2h(x0, u, w)saocho (vîi mët d¢y con)

k→ w khi tk → 0+ p döng Bê ·3.2 cho a = x0 v  b = xk, ta th§y r¬ng, vîi måi k ∈ N õ lîn, tçn t¤i γk ∈ (x0, xk) saocho

2h(x0, u, w).(ii) Ph¦n (i) chùng tä r¬ng Dp

2h(x0, u, w) 6= ∅ V¼ Dp

2h(x0, u, w) l  âng, ta ch¿ c¦nchùng minh Dp

2h(x0, u, w) bà ch°n Cho y ∈ Dp

2h(x0, u, w) Khi â, yk, ÷ñc ành ngh¾a

bði (3.1) vîi (tk, wk) → (0+, w), hëi tö ¸n y B¬ng lªp luªn nh÷ trong ph¦n (i), ta câ(3.3) v , chuyºn nâ qua giîi h¤n, ta ÷ñc ky − h0(x0)wk ≤ 2ϑkuk2, tùc l , Dp

2h(x0, u, w)

bà ch°n

(iii) Gi£ sû wk := (xk− x0− tku)/12tkrk → w khi (tk, rk) → (0+, 0+) vîi tk/rk → 0.Theo ph¦n (i), vîi måi k ∈ N õ lîn, ta câ (3.2) vîi γk∈ (x0, xk) Do â, yk → h0(x0)wv¼

Bê · 3 cõa [13] M»nh · sau ¥y c£i thi»n M»nh · 3 (ii) cõa [13]

M»nh · 3.5 N¸u h m h : Rn→ Rm l  kh£ vi ch°t t¤i x0 ∈ Rn, th¼, vîi måi u, w ∈ Rn,

D2ph(x0, u, w) = h0(x0)w + d2h(x0, u).Chùng minh Vîi (tk, wk) → (0+, w), °t

£o l¤i, n¸u ta câ ˆy ∈ d2h(x0, u), th¼ tk → 0+ tçn t¤i sao cho ˆyk → ˆy, trong â ˆyk

÷ñc ành ngh¾a ð ph¦n ¦u cõa ph²p chùng minh Vîi wk ≡ w v  ˆhk ÷ñc ành ngh¾a

(x0) = 0, th¼, vîi w ∈ Rn,

d2h(x0, u) = Dp2h(x0, u, w).(ii) N¸u h l  l-ên ành t¤i x0 v  h0

(x0) = 0, th¼, vîi w ∈ Rn,

D2h(x0, u) = d2h(x0, u) = Dp2h(x0, u, w).V½ dö sau ¥y cho th§y r¬ng i·u ki»n h0(x0) = 0 trong M»nh · 3.3 l  thi¸t y¸u,nh÷ng t½nh kh£ vi ch°t v  l-ên ành ch¿ l  c¡c i·u ki»n õ trong c¡c M»nh · 3.3, 3.5

v  H» qu£ 3.6

V½ dö 3.1 (a) Cho h m h : R2

→ R x¡c ành bði h(x1, x2) = 12x21+ x2, x0 = (0, 0), u =(1, 0), v  w = (w1, w2) ∈ R2 Khi â, h l  l-ên ành (v  do â kh£ vi ch°t) t¤i x0,

h0(x0) 6= 0 C¡c ph²p t½nh trüc ti¸p cho th§y

d2h(x0, u) = {1} 6= D2h(x0, u) = R, Dp2h(x0, u, w) = {1 + w2} = h0(x0)w + d2h(x0, u).(b) Cho u = 1, x0 = 0, w ∈ R, v  h(x) = x2sin1

x n¸u x 6= 0, h(0) = 0 Khi â,

h0(x0) = 0, nh÷ng h khæng kh£ vi ch°t (v  do â, khæng l-ên ành) t¤i x0 Tuy nhi¶n,

d2h(x0, u) = D2h(x0, u) = D2ph(x0, u, w) = [−2, 2]

Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai vîi hi»n t÷ñng envelope-like

Vîi b i to¡n (P), ta kþ hi»u G = g−1(−K) v  H = h−1(0) Khi â, tªp ch§p nhªn

i·u ki»n c¦n cho nghi»m y¸u công l  i·u ki»n c¦n cho c¡c nghi»m cán l¤i, v  i·u ki»n

õ cho nghi»m ch°t công l  i·u ki»n õ cho c¡c nghi»m cán l¤i

°t K(g(x0)) = cone(K + g(x0)) Khi â, [K(g(x0))]∗ = N (−K, g(x0)), nân ph¡ptuy¸n cõa −K t¤i g(x0) L÷u þ r¬ng, n¸u K l  nân lçi, th¼

[K(g(x0))]∗ = {k∗ ∈ K∗ : hk∗, g(x0)i = 0}

º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai, ta dòng kh¡i ni»m d÷îi ch½nh quy metricsau ¥y

ành ngh¾a 4.1 ([26]) Cho x0, u ∈ Rn, u 6= 0, S ⊂ Rp v  h : Rn→ Rp Ta nâi r¬ng h

l  d÷îi ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i (x0, u) èi vîi S n¸u tçn t¤i µ > 0, ρ > 0 saocho, vîi måi t ∈ (0, ρ) v  v ∈ Bn(u, ρ), ta câ

¦u ti¶n ta thi¸t lªp i·u ki»n c¦n c§p hai cho (P) trong c¡c khæng gian gèc

ành lþ 4.2 Gi£ sû c¡c ph¦n trong cõa C v  K l  kh¡c réng v  x0 l  nghi»m y¸u àaph÷ìng cõa (P) Khi, vîi måi u ∈ Rn, c¡c kh¯ng ành sau thäa

(i) Cho f, g v  h l  kh£ vi Fr²chet t¤i x0 Khi â, (f, g, h)0

(x0)u 6∈ −int[C×K(g(x0))]×{0}, mi¹n l  i·u ki»n (DMSRu) cõa h èi vîi S = {0} vîi u 6= 0 thäa