BAI GIANG TOAN 11 Trần Đình Cư

Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng: .... Chứng minh một hệ thức trong cấp số nhân .... Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thậ

MỤC LỤC

PHẦN 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 7

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 7

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 9

BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 9

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số 14

Dạng 2 Xét tính chẵn lẻ của hàm số 15

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 16

Dạng 4 Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó {Tham khảo} 16 Dạng 5 Vẽ đồ thị hàm số lượng giác 17

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 20

BÀI 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 23

Dạng 1 Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác 23

Dạng 2 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx 23

Dạng 3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx 25

Dạng 4 Phương trình đối xứng 26

ÔN TẬP CHƯƠNG I 28

CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 33

BÀI 1 QUY TẮC ĐẾM 33

BÀI 2 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 37

Dạng 1 Hoán vị 37

Dạng 2 Chỉnh hợp 39

Dạng 3 Tổ hợp 40

BÀI 3 NHỊ THỨC NEWTON 45

Dạng 1 Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton 45

Dạng 2 Áp dụng khai triển Nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 47

Dạng 3 Toán chia hết 48

BÀI 4&5 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ XÁC SUẤT BIẾN CỐ 49

ÔN TẬP CHƯƠNG II 52

BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 56

Dạng 1 Chứng minh đẳng thức 56

Dạng 2 Chứng minh bất đẳng thức 57

Dạng 3 Chứng minh một tính chất 57

Dạng 4 Một số bài toán khác 58

BÀI 2 DÃY SỐ 59

Dạng 1 Tìm các số hạng của dãy 59

Dạng 2 Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số 59

BÀI 3 CẤP SỐ CỘNG 61

Dạng 1 Xác định cấp số cộng, công sai và số hạng của cấp số cộng 61

Dạng 2 Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 62

Dạng 3 Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng: 62

Dạng 4 Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) 63

BÀI 4 CẤP SỐ NHÂN 64

Dạng 1 Xác định cấp số nhân, số hạng , công bội của cấp số nhân 64

Dạng 2 Chứng minh một hệ thức trong cấp số nhân 65

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 67

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 67

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 68

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 68

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn 69

Dạng 4 Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy 69

Dạng 5 Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 71

Dạng 6 Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa 72

Dạng 7 Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực 72

BÀI 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 74

Dạng 1 Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 77

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức 78

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 78

Dạng 4 Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 79

Dạng 5 Tính giới hạn vô cực 80

Dạng 6 Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 80

Dạng 7 Dạng vô định   82

Dạng 8 Dạng vô định    ;0 84

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 86

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 86

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 87

Dạng 3 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K 89

Dạng 4 Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 90

Dạng 5 Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm 90

ÔN TẬP CHƯƠNG 4 92

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM 95

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 95

Dạng 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa 95

Dạng 2 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm 96

Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để hàm có đạo hàm: 97

BÀI 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 99

Dạng 1 Tính đạo hàm bằng công thức đối với hàm đa thức 99

Dạng 2 Tính Đạo Hàm Bằng Công Thức Đối Với Hàm Phân Thức Hữu Tỉ 100

Dạng 3 Tính đạo hàm bằng công thức đối với hàm y u 100

Dạng 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 101

BÀI 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 103

Dạng 1 Tính đạo hàm bằng công thức đối với hàm số lương giác cơ bản: 103

Dạng 2 Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) không phụ thuộc vào x 104 Dạng 3 Giải phương trình f’(x)=0 104

BÀI 4 VI PHÂN 106

Dạng 1 Tìm vi phân của hàm số y=f(x) 106

Dạng 2 Tính gần đúng giá trị của một biểu thức 106

BÀI 5 ĐẠO HÀM CẤP CAO 107

Dạng 1 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y=f(x) 107

Dạng 2 Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x) 107

Dạng 3 Chứng minh hệ thức có đạo hàm: 108

ÔN TẬP CHƯƠNG V 109

PHẦN 2 HÌNH HỌC 113

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 113

BÀI 1 PHÉP BIẾN HÌNH 113

BÀI 2 PHÉP TỊNH TIẾN 115

Dạng 1 Tìm ảnh, phương trình của ảnh qua phép tịnh tiến 115

Dạng 2 Tìm tập hợp điểm 118

Dạng 3 Chứng minh các tính chất hình học Tìm các yếu tố của một hình 120

Dạng 4 Dựng hình 121

BÀI 3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 123

Dạng 1 Tìm ảnh của một điểm, một đường qua phép đối xứng trục 124

Dạng 2 Chứng minh các tính chất hình học Tìm các yếu tố của hình học 128

BÀI 3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 131

Dạng 1 tìm ảnh của 1 điểm, một đường qua phép đối xứng tâm 131

Dạng 2 Xác định các yếu tố hình học Chứng minh các tính chất hình học 132

BÀI 5 PHÉP QUAY 136

Dạng 1 Tìm ảnh của một điểm, một đường qua phép quay cho trước 136

Dạng 2 Xác định các yếu tổ của hình Chứng minh các tính chất hình học 140

Dạng 3 Tập hợp điểm 145

BÀI 6 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BAÈNG NHAU 146

Dạng 1 Xét xem một phép biến hình có phải là phép dời hình hay không 147

Dạng 2 Tìm ảnh của hình qua phép dời hình 149

BÀI 7 PHÉP VỊ TỰ 153

BÀI 8 PHÉP ĐỒNG DẠNG 160

ÔN TẬP CHƯƠNG I 163

CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG 167

BÀI 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 167

Dạng 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 167

Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 168

Dạng 3 Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng 169

Dạng 4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui 171

BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 173

Dạng 1 Chứng minh hai đường thẳng song song 173

Dạng 2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 174

Dạng 3 Xác định thiết diện chứa một điểm và song song với một đường thẳng cho trước 175

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 177

Dạng 1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 177

Dạng 2 Thiết diện chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 178

BÀI 4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 180

Dạng 1 Chứng minh hai mặt phẳng song song 181

Dạng 2 Thiết diện song song với mặt phẳng cho trước 182

CHƯƠNG 3 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUANG HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 184

BÀI 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 184

Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức vectơ 184

Dạng 2 Phân tích một vectơ theo ba véc tơ không đồng phẳng 185

Dạng 3 Chứng minh ba véctơ a b c , , đồng phẳng 186

BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 188

Dạng 1 Tính góc giữa hai mặt phẳng 189

Dạng 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian 190

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 192

Dạng 1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 193

Dạng 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 195

Dạng 3 Tìm thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước 197

BÀI 4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 199

Dạng 1 Xác định góc giữa hai mặt phẳng 201

Dạng 2 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 202

Dạng 3 Tìm thiết diện chứa một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước 203

BÀI 5 KHOẢNG CÁCH 205

Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 205

Dạng 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 205

Dạng 3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 206

Dạng 4 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 206

3 2

2

2 2

1 2

2

2 2

1 2

2 GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ( CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

sin( ) cos 2

tan( ) cot 2

cot( ) tan 2

sin(a b) sin a.cos b cosa.sin b

sin(a b) sin a.cos b cos a.sin b

cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b

cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b

tana tanb tan(a b) =

2

cos 2a cos a sin a

2 cos a 1

1 2sin a sin 2a 2sin a cos a

2 tan a tan 2a

2

1 cos 2a tan a

Cơng thức tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích

1 sin a.cos b sin(a b) sin(a b)

2 1 cos a.cos b cos(a b) cos(a b)

2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b)

aa

a b cos x với tan

bbb) asin x bcosx a b sin x với tan

aa

a b cos x với tan

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 L| h|m số tuần ho|n với chu kì 2  , sinx k 2 sinx;

 Do h|m số y  sin x l| h|m tuần ho|n với chu kỳ 2  nên ta chỉ cần khảo s{t h|m số đó trên đoạn có độ d|i 2  , chẳng hạn trên đoạn  ; 

Khi vẽ đồ thị của h|m số y sinx trên đoạn   ;  ta nên để ý rằng : H|m số y  sin x l| h|m số

lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O l|m t}m đối xứng Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị h|m số

sin

y  x trên đoạn 0;

Bảng biến thiên:

Đồ thị h|m số y  sin xtrên đoạn 0;

Lấy đối xứng phần đồ thị n|y qua gốc tọa độ lập th|nh đồ thị h|m số y sinx trên đoạn   ; 

Tịnh tiến phần đồ thị sang tr{i, sang phải những

đoạn có độ d|i 2 ,4 ,6 ,    thì ta được to|n bộ

đồ thị h|m số y  sin x Đồ thị đó được gọi l|

2 4 6

Từ đó do tính tuần ho|n với chu kì 2  , h|m số y  sin x đồng biến trên khoảng

 L| h|m số tuần ho|n với chu kì 2  ;

 Do h|m số y c x  os l| h|m tuần ho|n với chu kỳ 2  nên ta chỉ cần khảo s{t h|m số đó trên đoạn có độ d|i 2 , chẳng hạn trên đoạn   ; 

Khi vẽ đồ thị của h|m số y c x  os trên đoạn  ;  ta nên để ý rằng : H|m số y c x  os l| h|m

số chẵn, do đó đồ thị của nó nhận trục Oy l|m trục đối xứng Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị h|m số os

Bảng biến thiên:

Đồ thị h|m số y c x  os trên đoạn 0;

Lấy đối xứng phần đồ thị n|y qua trục Oy lập th|nh đồ thị h|m số y c x  os trên đoạn  ; 

Tịnh tiến phần đồ thị sang tr{i, sang phải những đoạn có độ d|i 2 ,4 ,6 , thì ta được to|n bộ đồ   thị h|m số y c x  os Đồ thị đó được gọi l| một đường hình sin

6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6

7π 2 3π 5π 2 2π 3π 2

π π 2

π 2

π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2

H|m số y cosx đồng biến trên khoảng  ;0 v| nghịch biến trên khoảng  0; Từ đó do tính tuần ho|n với chu kì 2  , h|m số y  sin x đồng biến trên khoảng  k2 ; k2 v| nghịch biến  

 H|m số tuần ho|n với chu kỳ , tanx k  tanx;

Do h|m số y tanx l| h|m tuần ho|n với chu kỳ   nên ta chỉ cần khảo s{t h|m số đó trên đoạn

có độ d|i , chẳng hạn trên đoạn ;

+∞

1

0

π 2

π 4 0

y=tanx x

Lấy đối xứng phần đồ thị n|y qua gốc tọa độ lập th|nh đồ thị h|m số y tanx trên đoạn  ;

2 4 6 8

4π 7π

2 3π 5π 2 2π 3π 2

π π 2

π 2

π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2

H|m số y  tan x đồng biến trên khoảng ;

Từ đó do tính tuần ho|n với chu kỳ  nên

h|m số y  tan x đồng biến trên khoảng     

4 Hàm số y cot x

 Có tập x{c định l| D \ k | k   ;

 Có tập gi{ trị l| ;

 L| h|m số lẻ;

 H|m số tuần ho|n với chu kỳ , cotx k  cotx;

Do h|m số y  cot x l| h|m tuần ho|n với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo s{t h|m số đó trên đoạn

có độ d|i , chẳng hạn trên đoạn 0;

2 0

y=cotx x

Đồ thị h|m số y cot x trên  0;

Tịnh tiến phần đồ thị sang tr{i, sang phải những đoạn có độ d|i   ,2 ,3 , thì ta được to|n bộ đồ thị h|m số y  cot x

8 6 4 2

2 4 6 8

5π 2 2π 3π 2

2

π 2

2 2π 5π 2

g x( ) = 1

tan x( )

H|m số y cot x nghịch biến trên khoảng   0; Từ đó do tính tuần ho|n với chu kỳ  nên h|m

số y cot x đồng biến trên khoảng  k ; k 

Đồ thị h|m số y  cot x nhận mỗi đường thẳng x k   l|m một đường tiệm cận (đứng)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp: Để tìm tập x{c định của h|m số ta cần lưu ý c{c điểm sau

 y u x  có nghĩa khi v| chỉ khi u x x{c định v| u(x) 0  

Như vậy, y sin u x , y cos u x        x{c định khi v| chỉ khi u x x{c định  

 y tan u x   có nghĩa khi v| chỉ khi u x x{c định v|   u x  k ,k

Ví dụ 4 Tìm m để h|m số sau đ}y x{c định trên :y 2m 3cosx.

II Bài tập rèn luyện

BT 1 Tìm tập x{c định của c{c h|m số sau:

a) y 1 cos x 2 ; b)  



2 sin xy

Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của h|m số y f(x) 

 Bước 1: Tìm tập x{c định D của h|m số; kiểm chứng D l| tập đối xứng qua số 0 tức l|

- Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) l| h|m không chẵn v| không lẻ trên D;

- Nếu điều kiện (2) v| (3) không nghiệm đúng, thì f(x) l| h|m không chẵn v| cũng không

Ví dụ 5 X{c định tham số m để h|m số sau: y f x  3msin4x cos2x l| h|m số chẵn

II Bài tập rèn luyện

BT 4 Tìm tham số a,b để h|m số: y f x  3a 1 sinx bcosx, khix 0  

asin x 3 2b cosx, khi x 0

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp: Cho h|m số y f(x) x{c định trên tập D

Ví dụ 2 Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ nhất của h|m số:

a) y sinx cosx ;   b) y 3sin2x cos2x

Ví dụ 3 Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ nhất của h|m số:

a) y cos x 2sinx 2 2   ; b) y sin x 2cos x 1 4  2 

II Bài tập rèn luyện

c)y 2sin x 3sin2x 4cos x; c)y 4sinx 3cosx 4 4sinx 3cosx 1

Vậy h|m số y f(x) tuần ho|n

Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T 0

Tiếp tục, ta đi chứng minh T l| chu kỳ của h|m số tức chứng minh 0 T l| số dương nhỏ nhất thỏa 0(1) v| (2) Giả sử có T sao cho 0 T T  0 thỏa mãn tính chất (2)  m}u thuẫn với giả thiết

Thì h|m số y f (x) f (x) 1  2 có chu kỳ T0 l| bội chung nhỏ nhất của T1 v| T2

Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn

H|m số y f(x) không tuần ho|n khi một trong c{c điều kiện sau vi phạm 

 Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

 Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x a hoặc x a

 Phương trình f(x) k có vô số nghiệm hữu hạn

 Phương trình f(x) k có vô số nghiệm sắp thứ tự x mxm 1  mà xmxm 1 0 hay 

g/ y2sinx cos3x h/ y cos 4x 2 i/ y = tan(3x + 1)

BT 2 Xét tính tuần ho|n v| tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của c{c h|m số sau

- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ d|i bằng chu kỳ

- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k.T i về bên tr{i v|  0phải song song với trục ho|nh Ox (với i l| véc tơ đơn vị trên trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị h|m số y = f(x), suy ra đồ thị h|m số y = f(x) + a bằng c{ch tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục ho|nh a đơn vị nếu a > 0 v| tịnh tiến xuống phía dưới trục ho|nh a đơn

vị nếu a < 0

b) Từ đồ thị h|m số y = f(x), suy ra đồ thị h|m số y f(x a) bằng c{ch tịnh tiến đồ thị y =  f(x) sang phải trục ho|nh a đơn vị nếu a > 0 v| tịnh tiến sang tr{i trục ho|nh a đơn vị nếu

Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số

Tịnh tiến theo vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy

y cosx lên trục ho|nh 1 đơn vị

– Bảng biến thiên trên đoạn

c) Nhận gi{ trị dương; d) Nhận gi{ trị }m

Ví dụ 2 Dựa v|o đồ thị y sinx , hãy vẽ đồ thị h|m số y sinx

Ví dụ 3 Chứng minh rằng sin2 x k    sin2x với mọi số nguyên k Từ đó vẽ đồ thị h|m số

y sin2x

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị h|m số y cosx , tìm c{c gi{ trị của x để cosx 1.

2



Ví dụ 5 Dựa v|o đồ thị h|m số y sinx , tìm c{c khoảng gi{ trị của x để h|m số nhận gi{ trị }m

Ví dụ 6 Dựa v|o đồ thị h|m số y cosx , tìm c{c khoảng gi{ trị của x để h|m số nhận gi{ trị dương

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

 sin u sinv  sin u sin( v) 

 sin u cosv sin u sin v

 cos u cosv cosu cos(  v)

 cosu sinv cosu cos v

 tan u tan v tan u tan( v) 

 tan u cot v tan u tan v

2

 

 

a/ Khi giải phương trình có chứa c{c h|m số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì

nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình x{c định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x   k (k Z).

2

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k Z)

* Phương trình chứa cả tanx v| cotx thì điều kiện x k  (k Z)

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong c{c c{ch sau để kiểm

tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng c{ch thay gi{ trị của x v|o biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng gi{c

3 Giải c{c phương trình vô định

II Bài tập rèn luyện

BT 1 Giải phương trình: 2cosx 1 2sinx cosx   sin2x sinx 

BT 2 Giải phương trình: cos x cos2x cos3x cos4x 0   

BT 3 Giải phương trình: sin x sin 3x sin 2x sin 4x2  2  2  2

BTTT Giải phương trình sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2  2  2  2

BT 4 Giải phương trình: sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x     

BT 5 Giải phương trình sinx cosx 1 sin2x cos2x 0     

BT 6 Giải phương trình 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4     4cos x 32 

BT 7 Giải phương trình sin x cos x 2 sin x cos x6  6   8  8 

BT 8 Giải phương trình tan x cot x cot 2x2  2  2 11

BÀI 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1 Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai đối với phương trình lương gi{c l| phương trình có một trong 4 dạng sau:

1 asin x bsinx c 02    C{ch giải: t sin x, 1 t 1   

2 acos x bcosx c 02    C{ch giải: t cosx, 1 t 1    

3 atan x btanx c 02    C{ch giải: 

Ví dụ 1 Giải c{c phương trình sau

a) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0; b) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 ; c) tan x 12   3 tanx  3 0 d) 4sin x 2 3 1 sinx2      3 0 ; e) tan2x + cot2x = 2 ; f) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

Ví dụ 2 Giải c{c phương trình sau

1) 4sin23x + 2 3 1 cos3x    3 = 4; 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0;

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13; 4) 12 3 3 tanx 3 3 0

cos x + 3cot

2x = 5; 9) cos2x – 3cosx = 4cos2x

2; 10) 2cos2x + tanx =

45

II Bài tập rèn luyện

BT 1 Giải phương trình 5sinx 2 3 1 sinx tan x      2

BT 8 Giải phương trình sin2x cot x tan2x  4cos x 2

Dạng 2 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Phương pháp

Cách 1

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

1/ C{ch 2 thường dùng để giải v| biện luận

2/ Cho dù c{ch 1 hay c{ch 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c 2

Ví dụ 1 Giải c{c phương trình sau

1) cosx 3sinx 2; 2) sinx cosx 6

2

  ; 3) 3 cos3x sin3x  24) sin x cosx  2 sin5x ; 5)  3 1 sinx   3 1 cosx   3 1 0  ;

1) 2sin x2  3sin2x 3 ; 2) sin8x cos6x  3 sin6x cos8x  

Ví dụ 3 Giải c{c phương trình sau

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

  thỏa phương trình cos7x 3sin7x  2

BT 2 Giải phương trình tanx sin2x cos2x 2 2cosx 1 0

cosx

BT 3 Giải phương trình 9sin x 6 cosx 3sin2x cos2x 8   

BT 4 Giải phương trình 2sin 2x cos2x 7sin x 2 cosx 4   

BT 5 Giải phương trình sin 2x cos2x 3sin x cosx 2   

BT 7 Giải phương trình 4 sin x cos x 4  4  3sin4x 2

BT 8 Giải phương trình 1 sin 2x cos 2x3 3 1sin4x

BT 10 Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

BT 11 Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm

BT 12 Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm

Dạng 3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

asin x bsin x cosx ccos x d  

Phương pháp

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý: cosx = 0 x k sin x 12 sinx 1

a.tan x b.tanx c d(1 tan x)   

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2

(a d)t b.t c d 0  

Ví dụ 1 Giải c{c phương trình sau:

1) 2sin x 12   3 sinx.cosx 1   3 cos x 1 2  ; 2) 3sin x 8sinx.cosx 8 3 9 cos x 02     2 3) 4sin x 3 3sinx.cosx 2cos x 42   2  ; 4) sin x sin2x 2cos x2 2 1

2

5) 2sin x 32   3 sinx.cosx  3 1 cos x  2  1; 6) 5sin x 2 3sinx.cosx 3cos x 22   2 

7) 3sin x 8sin x.cosx 4cos x 02   2  ; 8)  2 1 sin x sin2x  2   2 1 cos x  2  29)  3 1 sin x 2 3sinx.cosx  2   3 1 cos x 0  2  ; 10) 3cos x 4sin x cos x sin x 04  2 2  4 

11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0; 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

Ví dụ 2 Giải c{c phương trình sau:

1) sin3x + 2sinx.cos2x – 3cos3x = 0 2) 

 2  2 13sinx.cosx sin x

2

II Bài tập rèn luyện

BT 1 Giải phương trình 4 cosx 2 cos2x cos4x 1  

BT 2 Giải phương trình cos x 4sin x 3cosxsin x sin x 03  3  2  

BT 3 Giải phương trình 3cos x 4sin x cos x sin x 04  2 2  4 

BT 4 Giải phương trình sin2x 2 tan x 3 

BT 5 Giải phương trình 6sinx 2cos x3 5sin4xcosx

2cos2x

BT 6 Giải phương trình sin x 4sin x cosx 0 3  

Bài 7 Giải phương trình tanx.sin x 2sin x 3 cos2x sinxcosx2  2    

BT 7 Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm

BT 8 Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô nghiệm

Dạng 4 Phương trình đối xứng

Phương pháp

Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt: t cosx sinx 2.cos x ; t 2

 cosx sinx 2 cos x 2 sin x

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt: t cosx sinx 2 cos x ; Ñk : 0 t 2

1) 2sin2x 3 3 sinx cosx    8 0; 2) 2 sin x cosx  3sin2x 2

3) 3 sinx cosx  2sin2x 3; 4) 1 2 1 sinx cosx    sin2x

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0; 6) 1 2 sinx cosx sin2x 1      2

Ví dụ 2 Giải c{c phương trình:

1) sin2x 4 cosx sin x   4 ; 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) 1 2 1 sinx cosx    sin2x; 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

1) sin3x + cos3x = 1 +  2 2 sinx.cosx; 2) 2sin2x – 3 6 sin x cosx  8 0

II Bài tập rèn luyện

BT 1 Giải phương trình sin x sin x cos x 0 2  3 

BT 2 Giải phương trình 1 sin x cos x3 3 3sin2x

BT 5 Giải phương trình 2sin x sin x 2cos x cosx cos2x3   3  

BT 6 Giải phương trình sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x 2  3  4   2  3  4

BT 7 Giải phương trình tan x 1 sin x2   3 cos x 1 03  

BT 8 Giải phương trình 2cos x 2cos x 1 sin x 0 3  2   

BT 9 Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0

BT 10 Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0

ÔN TẬP CHƯƠNG I Bài 1 Tìm tập x{c định của h|m số sau:

1) 3sin 1; 2) 2 1 cos2 5; 3) 4 5cos

34) 2 4 2 cos5 ; 5) ; 6) 4 1 2sin

2 4 sin 17) 7 2 cos ; 8) 4sin cos2 ; 9) sin cos

10) sin 3 cos ; 11) 3sin 4 cos 1

max min max min

   10) ymax  2; ymin   2; 11) ymax  6; ymin   4

Bài 3 Giải phương trình lượng gi{c:

47)3sin 3 sin cos 2 cos 2 ÑS: ; ,

Bài 4 Giải phương trình lượng gi{c cĩ dùng một số phép biến đổi:

4)1 cos cos2 cos3 0

Hướng dẫn : pt 1+ cos2 cos cos3

5)cos cos2 cos3 cos4 0

Hướng dẫn : pt cos cos4 cos2 cos3 0

Hướng dẫn: Sử dụng công thức hạ bậc cho sin và cos 2

3sin 5sin cos 4 cos 1

2sin 3sin cos 5cos 4

Bài 9 Giải phương trình: 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0

Bài 10 Giải phương trình: 1 3cosx cos2x 2 cos3x 4sin x.sin2x   

Bài 11 Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Bài 12 Giải phương trình: 2cos2 2x 3 cos4x 4cos x 12

Bài 14 Giải phương trình: 2 cos5x.cos3x sin x cos8x   , (x  R)

Bài 15 Giải phương trình: cos2x 2 2 sin x 2009 4cos xsinx 4sin xcosx2 2

Bài 19 Giải phương trình: sin sinx-cos sin x 1 2cos (x x 2 2 x)

Bài 21 Giải phương trình: 2sin3x – 3 cos3x = sinx – 3 sin2x.cosx

Bài 22 Giải phương trình : 2sin x sin2x sin x cosx 1 02     

Bài 23 Tìm m để phương trình 2 sin x cos x 4  4 cos4x 2sin2x m 0   có nghiệm trên 0;

2

 

 

 

Bài 24 Giải phương trình: 2cosx 1cos (2 x) 8 sin2x 3cos(x ) 1sin x2



Bài 25 Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Bài 26 Giải phương trình : 2 2 cos 5 x sinx 1



Bài 29 Giải phương trình: tan4x +1 =

2 4

(2 sin 2x)sin3xcos x

MỤC LỤC

CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 33 BÀI 1 QUY TẮC ĐẾM 33 BÀI 2 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 37 Dạng 1 Hoán vị 37 Dạng 2 Chỉnh hợp 39 Dạng 3 Tổ hợp 40 BÀI 3 NHỊ THỨC NEWTON 45 Dạng 1 Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton 45 Dạng 2 Áp dụng khai triển Nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 47 Dạng 3 Toán chia hết 48 BÀI 4&5 XÁC SUẤT BIẾN CỐ 49

ÔN TẬP CHƯƠNG II 52

CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

BÀI 1 QUY TẮC ĐẾM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Qui tắc cộng

Một công việc n|o đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương {n A hoặc B Nếu

phương {n A có m c{ch thực hiện, phương {n B có n c{ch thực hiện v| không trùng với bất kì c{ch n|o trong phương {n A thì công việc đó có m + n c{ch thực hiện

Ví dụ 1 Từ th|nh phố A đến th|nh phố B có 3 đường bộ v| 2 đường thuỷ Cần chọn một đường

để đi từ A đến B Hỏi có mấy c{ch chọn ?

Giải

Chọn đường bộ thì có 3 c{ch; chọn đường thủy có 2 c{ch

Vậy có : 3 + 2 = 5 c{ch chọn

Ví dụ 2 Một nh| h|ng có 3 loại rượu, 4 loại bia v| 6 loại nước ngọt Thực kh{ch cần chọn đúng 1

loại thức uống Hỏi có mấy c{ch chọn ?

B thì công việc đó có m.n c{ch thực hiện

Ví dụ 1 Giữa th|nh phố Hồ Chí Minh v| H| Nội có 3 loại phương tiện giao thông: đường bộ,

đường sắt v| đường h|ng không Hỏi có mấy c{ch chọn phương tiện giao thông để đi từ th|nh phố Hồ Chí Minh đến H| Nội rồi quay về?

Giải

Đi từ Hồ Chí Minh đến H| Nội có 3 c{ch chọn phương tiện

Khi đi về từ H| Nội đến HCM có 3 c{ch

Vậy có : 3×3 = 9 c{ch chọn

Ví dụ 2 Một hội đồng nh}n d}n có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ viên thư ký

v| không được bầu 1 người v|o 2 hay 3 chức vụ Hỏi có mấy c{ch bầu?

 Chia hết cho 3: tổng c{c chữ số chia hết cho 3 (ví dụ: 276)

 Chia hết cho 4: số tận cùng l| 00 hay hai chữ số cuối hợp th|nh số chia hết cho 4 (ví dụ :

1300, 2512, 708)

 Chia hết cho 5: số tận cùng l| 0, 5

 Chia hết cho 8: số tận cùng l| 000 hay ba chữ số cuối hợp th|nh số chia hết cho 8 (ví dụ :

15000, 2016, 13824)

 Chia hết cho 9: tổng c{c chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835)

 Chia hết cho 25: số tận cùng l| 00, 25, 50, 75

 Chia hết cho 10: số tận cùng l| 0

Ví dụ Từ c{c chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số

đôi một kh{c nhau không chia hết cho 9

Chú ý: Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số c{ch chọn thỏa tính chất p n|o đó qu{ nhiều, ta có thể l|m

như sau : Số c{ch chọn thỏa p bằng số c{ch chọn tuỳ ý trừ số c{ch chọn không thỏa p Người ta

Ví dụ 2 Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ v| 7 bông hồng v|ng Hỏi có mấy

c{ch chọn lấy 1 bông hoa?

Ví dụ 3 Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa v| 6 b|i h{t Tại hội diễn, mỗi đội

chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa v| 1 b|i h{t Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu c{ch chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng c{c vở kịch, điệu múa, c{c b|i h{t l| như nhau?

Ví dụ 4 Một người có 7 c{i {o trong đó có 3 {o trắng v| 5 c{i c| vạt trong đó có 2 c| vạt m|u v|ng

Hỏi người đó có bao nhiêu c{ch chọn {o – c| vạt nếu:

a) Chọn {o n|o cũng được v| c| vạt n|o cũng được?

b) Đã chọn {o trắng thì không chọn c| vạt m|u v|ng?

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Có 4 tuyến xe buýt giữa A v| B Có 3 tuyến xe buýt giữa B v| C Hỏi :

a) Có mấy c{ch đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

b) Có mấy c{ch đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

c) Có mấy c{ch đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe

buýt không đi qu{ một lần ?

Bài 2 Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật b{o mỗi ng|y Có 4 loại nhật b{o

Hỏi có mấy c{ch chọn mua b{o cho một tuần gồm 6 ng|y l|m việc ?

Bài 3 Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình Hỏi

Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu :

a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ?

b) Không đến thăm 1 bạn qu{ 1 lần ?

Bài 4 Một tuyến đường xe lửa có 10 nh| ga Hỏi có bao nhiêu c{ch chọn một cuộc h|nh trình bắt

đầu ở 1 nh| ga v| chấm dứt ở 1 nh| ga kh{c, biết rằng từ nh| ga n|o cũng có thể đi tới bất kì nh|

ga kh{c?

Bài 5 Có 3 nam v| 3 nữ cần xếp ngồi v|o một h|ng ghế Hỏi có mấy c{ch xếp sao cho :

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ v| có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau?

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ v| có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau?

Bài 6 Một b|n d|i có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi

cho 6 học sinh trường A v| 6 học sinh trường B v|o b|n nói trên Hỏi có bao nhiêu c{ch xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau :

a) Bất kì 2 học sinh n|o ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì kh{c trường nhau

b) Bất kì 2 học sinh n|o ngồi đối diện nhau thì kh{c trường nhau

Bài 7 Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 Hỏi từ c{c chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một kh{c nhau v| :

a) gồm 3 chữ số ?

b) gồm 3 chữ số v| nhỏ hơn 400 ?

c) gồm 3 chữ số v| chẵn ?

d) gồm 3 chữ số v| chia hết cho 5 ?

Bài 8 Có 100000 vé được đ{nh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm 5 chữ số kh{c nhau

Bài 9 Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, <., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số 3 l| số

chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, c{c chữ số 4, 5, 6 đôi một kh{c nhau Hỏi có bao nhiêu c{ch chọn

Bài 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, <, 7, 8, 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số kh{c nhau nhỏ hơn 600000

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo th|nh

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo th|nh

Đại học Huế 1999

Đại học Y Hà Nội 1999 Bài 14 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng c{c chữ số của mỗi số l| một số lẻ Bài 15 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số kh{c nhau v| chia hết cho 5

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số kh{c nhau đôi một

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số kh{c nhau chia hết cho 5

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số kh{c nhau chia hết cho 9

Đại học Huế 2000

BÀI 2 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP Dạng 1 Hoán vị

Cho k phần tử khác nhau: a 1 , a 2 , <, a k Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n 1 phần tử a 1 , n 2 phần

tử a 2 , <, n k phần tử a k (n 1 +n 2 + <+ n k = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n 1 , n 2 , <, n k ) của k phần tử

Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n 1 , n 2 , <, n k ) của k phần tử là:

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một

hoán vị vòng quanh của n phần tử

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q n = (n – 1)!

I Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có 2 s{ch to{n kh{c nhau, 3 s{ch lý kh{c nhau v| 4 s{ch hóa kh{c nhau Cần sắp xếp c{c

s{ch th|nh một h|ng sao cho c{c s{ch cùng môn đứng kế nhau Hỏi có bao nhiêu c{ch sắp ?

Ví dụ 3 Giải bất phương trình : 4

15.n  

Ví dụ 6 Một tạp chí thể thao định cho ra 22 kì b{o chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kì

một đội Hỏi có bao nhiêu c{ch sao cho :

a) Kì b{o đầu tiên nói về đội bóng A ?

b) Hai kì b{o liên tiếp nói về hai đội bóng A v| B ?

Ví dụ 7 Tên 12 th{ng trong năm được liệt kê theo thứ tự tuỳ ý sao cho th{ng 5 v| th{ng 6 không

đứng kế nhau Hỏi có mấy c{ch ?

Ví dụ 8 Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 c}u hỏi, chia th|nh 5 chủ đề, mỗi chủ đề

gồm 10 c}u Cần sắp thứ tự 50 c}u hỏi sao cho c{c c}u cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu v| chủ đề 2, 3 không đứng kế nhau Hỏi có bao nhiêu c{ch sắp ?

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Một công ty cần thực hiện một cuộc điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng về sản phẩm

của mình Công ty đưa ra 10 tính chất của sản phẩm v| yêu cầu kh{ch h|ng sắp thứ tự theo mức

độ quan trọng giảm dần Giả sử tính chất 1 v| tính chất 10 đã được xếp hạng Hỏi có mấy c{ch xếp

?

Bài 2 Có 5 bi đỏ v| 5 bi trắng có kích thước kh{c nhau đôi một bao nhiêu c{ch sắp c{c bi n|y

th|nh 1 h|ng d|i sao cho hai bi cùng m|u không được nằm kề nhau

Bài 3 Có bao nhiêu c{ch xếp 5 học sinh A, B, C, D, E v|o 1 ghế d|i sao cho :

a) C ngồi chính giữa b) A, E ngồi hai đầu ghế

Bài 4 Trong một phòng có 2 b|n d|i, mỗi b|n có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học

sinh gồm 5 nam v| 5 nữ Hỏi có bao nhiêu c{ch xếp chỗ ngồi nếu

a) C{c học sinh ngồi tùy ý

b) C{c học sinh nam ngồi 1 b|n, học sinh nữ ngồi 1 b|n

Bài 5 Một học sinh có 12 cuốn s{ch đôi một kh{c nhau trong đó có 4 s{ch Văn, 2 s{ch To{n, 6 s{ch

Anh văn Hỏi có bao nhiêu c{ch sắp c{c cuốn s{ch lên 1 kệ d|i nếu c{c cuốn cùng môn sắp kề nhau

Bài 6 Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập c{c số có 6 chữ số kh{c nhau Hỏi trong c{c số lập được có bao

nhiêu số m| hai chữ số 1 v| 6 không đứng cạnh nhau

Bài 7 Xét c{c số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 v| 4 chữ số còn lại l| 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số

m|

a) Năm chữ số 1 sắp kề nhau b) C{c chữ số được xếp tùy ý

Bài 8 Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một kh{c nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao

cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau

Bài 9 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 v| đôi một kh{c nhau

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự nào

đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

!( 1)( 2) ( 1)

143 04

Ví dụ 4 Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ c{i kh{c nhau lấy từ 26 chữ

c{i A, B, C, <, Z v| tiếp theo l| 5 chữ số kh{c nhau không có số 0

Ví dụ 5 Một đội bóng đ{ có 18 cầu thủ Cần chọn ra 11 cầu thủ ph}n v|o 11 vị trí trên s}n để thi

đấu chính thức Hỏi có mấy c{ch chọn nếu :

a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí n|o ?

b) Chỉ có cầu thủ A l|m thủ môn được, c{c cầu thủ kh{c chơi ở vị trí n|o cũng được ?

c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể l|m thủ môn được, c{c cầu thủ kh{c chơi ở vị trí n|ocũng được ?

Ví dụ 6 Có 10 cuốn s{ch kh{c nhau v| 7 c}y bút m{y kh{c nhau Cần chọn ra 3 cuốn s{ch v| 3 c}y

bút m{y để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn s{ch v| một c}y bút m{y Hỏi có mấy c{ch ?