Bài giảng đại số tuyến tính

Bài giảng đại số tuyến tính của thầy Lê Xuân Trường gồm đầy đủ các slide và cách hướng dẫn làm bài bải tập ,các cách giải chi tiết giúp sinh viên dễ hiểu dễ tiếp thu từ đó có thể làm bài toán đại số tuyến tính tốt và có chuẩn bị kiến thức tốt khi kiểm tra kết thúc môn

KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn

Ts Lê Xuân Trường

Khoa Toán Thống Kê

Rn

Không gian Rn

Không gian Rn: Rn =

(x1, x2, , xn): xi ∈R, i =1, n

Mỗi phần tử x= (x 1 , x2, , xn)củaRn được gọi là một véctơ.

Cộng và trừ hai véctơ:

(x 1 , x 2 , , x n) ± (y 1 , y 2 , , y n) = (x 1±y 1 , x 2±y 2 , , x n±y n)

Ví dụ: (2, 3,−4, 5) + (−1, 0, 5, 7) = (1, 3, 1, 12)

Nhân véctơ với một số

k.(x 1 , x 2 , , x n) = (kx 1 , kx 2 , , kx n)

Ví dụ: 2.(3,−5, 1) = (6,−10, 2)

Tính chất

Với x , y ∈Rn và α, β∈R, ta có

x+y =y+x (giao hoán)

(x+y) +z =x+ (y+z (kết hợp)

x+θ =x , trong đó θ = (0, 0, , 0) ∈Rn

x+ (−x) =θ, với−x= (−x1,−x2, ,−xn) ∈Rn

α(x+y) =αx+αy

(α+β)x =αx+βy

(αβ)x =α(βx)

1.x =x

Rn

Tích vô hướng

u = (x1, x2, , xn), v = (y1, y2, , yn) ∈Rn

Tích vô hướng của u và v được cho bởi

u.v =x 1 y 1+x 2 y 2+ · · ·x n y n

Ví dụ: u= (−2, 3, 1)v = (3, 5, 4)

u.v = (−2).(3) +3.5+1.4=13

Góc và khoảng cách

Cho u = (x1, x2, , xn)và v = (y1, y2, , yn)

Góc α giữa hai véctơ u và v được xác định bởi

cos(α) = √ u.v

u.u√

v v Khoảng cách giữa u và v

d(u, v) =

n

∑

i=1

(y i−x i)2

! 1/2

Rn

Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính

Định nghĩa

Trong không gianRn, cho các véctơ u1, u2, , um và v Nếu tồn tại các

hằng số λ1, λ2, , λm sao cho

v =λ1u1+λ2u2+ · · · +λmum, thì ta nói v biểu thị tuyến tính được qua các véctơ u1, u2, , um hay

v là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um

Ví dụ

Với u1 = (1, 4), u2 = (3, 2)và v = (9, 16), ta có

v =3u1+2u2 nên v là tổ hợp tuyến tính của u1, u2

Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính

Ví dụ

Trong R3 cho các véctơ u1 = (2, 0, 3), u2 = (0, 2,−1), u3 = (2, 2, 2) Tìm

m để véctơ v = (5,−2, m)biểu thị tuyến tính được qua ba véctơ đã cho

Nhận xét 1: Với một véctơ bất kỳ v và một hệ véctơ cho trước

u1, u2, , un, có thể xảy ra ba trường hợp sau

v không biểu thị tuyến tính được qua hệ u1, u2, , un

có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính v qua u1, u2, , un

có vô số cách biểu thị tuyến tính v qua u1, u2, , un

Nhận xét 2: Véctơ θ có ít nhất một cách biểu thị tuyến tính qua một hệ

véctơ bất kỳ, đó là cách biểu thị tầm thường

θ =0u1+0u2+ · · · +0un

Rn

Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Định nghĩa

Hệ véctơ {u1, u2, , um} được gọi là độc lập tuyến tính nếu véctơ θ chỉ có

duy nhất cách biểu thị tuyến tính tầm thường qua hệ Ngược lại, ta nói hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ

Xét hệ các véctơ sau

u1= (1, 2), u2 = (3, 4), u3 = (−2, 1)

Ta có

θ= 11

5 u1−u2−2

5u3 nên các véctơ u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính

Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Phương pháp

Xét đẳng thức λ1u1+λ2u2+ · · · +λmum =θ

Đưa đẳng thức trên về một hệ gồm m phương trình, m ẩn số

(λ1, λ2, , λm)

Có hai trường hợp

Nếu tồn tại ít nhất một số λj 6=0 thì các véctơ phụ thuộc tuyến tính

Nếu hệ chỉ có nghiệm λi =0, i =1, m thì các véctơ độc lập tuyến tính

Bài tập

Xét tính độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau

a) u1= (2,−5), u2 = (1, 3), u3 = (−3, 4)

b) u1= (1, 0, 3), u2 = (0, 1, 1), u3 = (2, 1, m)

Rn

Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nhận xét:

Mọi hệ chứa véctơ θ đều phụ thuộc tuyến tính

Thêm một véctơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính

Bỏ bớt một véctơ trong một hệ độc lập tt thì được một hệ độc lập tt Một hệ véctơ là phụ thuộc tt khi và chỉ khi tồn tại một véctơ trong

hệ là tổ hợp tt của các véctơ còn lại

Nếu bổ sung vào một hệ độc lập tt một véctơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy thì được một hệ độc lập tt

Nếu bỏ bớt từ một hệ phụ thuộc tt một véctơ không là tổ hợp tt của các véctơ còn lại thì được một hệ phụ thuộc tt

Hạng của hệ véctơ

Định nghĩa

Cho hệ véctơ{u1, u2, , un}(∗)trong Rn

Ta nói số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ (*) là r nếu

- tồn tại một hệ con độc lập tt của (*) gồm r véctơ

- mọi hệ con của (*) có nhiều hơn r véctơ đều phụ thuộc tt

Số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véctơ được gọi là hạng của hệ véctơ đó và được ký hiệu bởi rank{u1, u2, , un}

Ví dụ

Trong R3, hệ véctơ {u1= (1,−2, 3), u2 = (2, 1, 1), u3= (3,−1, 4)} có hạng là 3, vì

- hệ con {u1, u2}là độc lập tuyến tính

- hệ{u1, u2, u3}là phụ thuộc tuyến tính

Rn

Hạng của hệ véctơ

Định lý

Xét các véctơ uk = (α1k, α2k, , αnk) ∈Rn, k =1, 2, , m

rank{u1, u2, , um} =rank(A), với

A=









α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

· · · ·

αm1 αm2 · · · αmn









{u1, u2, , um}độc lập tt ⇔rank{u1, u2, , um} =m

Cơ sở, số chiều và tọa độ

Định nghĩa

Một hệ véctơ trong Rn được gọi là một cơ sở nếu thỏa hai điều kiện

i) Hệ véctơ đó độc lập tuyến tính

ii) Mọi véctơ trongRn đều biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy

Lưu ý: Một hệ véctơ thỏa điều kiện ii) trong định nghĩa trên được gọi là

hệ sinh của Rn

Ví dụ

Các véctơ e1 = (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)tạo thành một cơ sở của không gian R3 Ta gọi cơ sở này là cơ sở chính tắc

−→Giải thích ???

Rn

Cơ sở, số chiều và tọa độ

Lưu ý:

Trong không gianRn,

- mọi cơ sở đều có n véctơ

- mọi hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở

Ta gọi số véctơ của các cơ sở là số chiều của không gian đó Vì vậy

Rn là không gian n chiều Ta viết dim(Rn) =n

Nếu B = {u1, u2, , un}là một cơ sở của Rn và u∈Rn thì u có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính qua {u1, u2, , un}

Cơ sở, số chiều và tọa độ

Định nghĩa

Giả sử B = {u1, u2, , un}là một cơ sở của Rn và u ∈Rn Nếu

u =λ1u1+λ2u2+ · · · +λnun thì ta gọi ma trận

[u]B =











λ1

λ2

λn











là tọa độ của u đối với cơ sở B

Ví dụ

Cho B = {u1 = (1, 2, 3, 0), u2 = (2, 3, 0, 4), u3 = (3, 0,−2, 1), u4 =

(0,−2, 1, 1)}

a) Chứng minh B là một cơ sở R4

b) Tìm [u]B, nếu u = (2, 1, 4,−3)

Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠRn 15 / 18

Không gian con

Định nghĩa

Một tập con W 6=∅ của Rn được gọi là một không gian con nếu

u, v ∈W =⇒u+v ∈W

α∈R, u∈ W =⇒αu ∈W

Ví dụ

W1= {(x , y) ∈R2 : ax+by =0}là không gian con của R2

W2= {(x , y , z) ∈R3 : 3x+4y =0, 2y+z =0}là không gian con củaR3

W3= {(x , y) ∈R2 : y =x2}không là không gian con của R2

Không gian con

Không gian con sinh bởi hệ véctơ: TrongRn, ta đặt

Wsp =hu1, , umi ≡span{u1, , um} =

(m

∑

i = 1

λiui : λ1, , λm ∈R

)

Wsp là không gian con củaRn

Số chiều của Wsp =rank{u1, , um}

Mỗi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {u1, , um}đều là một cơ

sở của Wsp

Ví dụ

Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con của R4, sinh bởi các véctơ

u1 = (2, 3, 0,−1), u2 = (−3, 1, 2, 0), u3 = (1,−1, 2, 3), u4= (0, 3, 4, 2)

Rn

Không gian con

Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ký hiệu We = {x∈ Rn: Ax =θ}, với A= (aij)m×n và

x = (x1, x2, , xn)T

We là không gian con củaRn (tại sao?)

Số chiều của We =n−rank(A)

Mỗi hệ gồm k =dim(We)véctơ nghiệm độc lập tuyến tính của

Ax =θ là một cơ sở của We

Ví dụ

Xét We = {(x1, x2, x3, x4) ∈R3 : 2x1+x2−x3=0, 2x1−x4 =

0, x2−x3+x4 =0}

Chứng minh We là không gian con củaR4

Tìm số chiều và một cơ sở của We