Bài giảng đại số tuyến tính chương 2 ths nguyễn phương

Chương 2:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Chương 2:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 28 tháng 10 năm 2013

trận hệ số, ma trận biến số và ma trận hệ số tự do của (1).

Khi đó: (1) ⇔ AX = B (2)

A = (A|B) được gọi là ma trận hệ số mở rộng của (1)

-α = (α1, α2, , αn)Tđược gọi là nghiệm của (2) nếu Aα = B.

Các cách viết nghiệm của (1): (α1, α2, , αn) hoặc

x1=α1, x2=α2, , xn=αn

- Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng cócùng tập nghiệm

−38

2

−14









Định lý (Croneker - Capelli)

1 Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rankA< rank(A)

2 Hệ (1) có nghiệm ⇔ rankA = rank(A)

Hệ (1) có nghiệm duy nhất ⇔ rankA = rank(A) = n

Hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ rankA = rank(A)< n

= 4 , 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer.

Gọi D = |A| và Djlà định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của

Ta có D = |A| =

2 1 −1

0 1 3

2 1 1

= 4 , 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer

= − 12 D2=

2 1 −1

0 3 3

2 −1 1

Dùng các phép biến đổi sơ cấptrên dòngđưa ma trận các hệ số A về dạng bậcthang theo dòng.

Trong quá trình biến đổi, lưu ý:

Nếu có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì bỏ đi 1 dòng

Bỏ đi tất cả các dòng không (nếu có)

Nếu có một dòng có dạng (0 · · · 0|a) với a , 0 thì hpttt vô nghiệm

m=-2: Hệ vô nghiệm.

m=1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R

m , 1 ∧ m , −2: Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (m+21 , 1

m+2, 1 m+2)

Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan

Ta có D = |A| =

m 1 1

1 m 1

1 1 m

suy ra hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R

= m2− 2m + 1 = (m − 1)2

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

m+2

Hpttt thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (x1, , xn) = (0, , 0) Do taluôn có rankA = rank(A) nên theo Croneker-Capelli

Nếu rankA=n thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường

Nếu rankA< n thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm

Trong trường hợp hpttt thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn

Nếu |A| , 0 thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường

Nếu |A| = 0 thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm

Lưu ý

Khi giải hpttt thuần nhất bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan chỉcần biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số ẩn A (do B=0)

Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔

m −3 1

2 1 1

3 2 −2

= 0

⇔ − 2m − 9 + 4 − 3 − 12 − 2m = 0 ⇔ − 4m − 20 = 0 ⇔ m = −5

Nếu m = 0: rank(A)=2< 3 ⇒ Hệ có vô số nghiệm.Nếu m , 0: rank(A)=3 ⇒ Hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

3 ? ?2

=

⇔ − 2m − + − − 12 − 2m = ⇔ − 4m − 20 = ⇔ m = −5

Nếu... có vơ số nghiệm

Trong trường hợp hpttt có số phương trình số ẩn

Nếu |A| , hpttt có nghiệm tầm thường

Nếu |A| = hpttt có vơ số nghiệm

Lưu ý

Khi giải hpttt phương. ..

2 −1

0

2 1

= , nên hệ cho hệ Cramer

= − 12 D2< /small>=

2 −1

0 3

2 −1