Bài giảng đại số tuyến tính chương 3 ths nguyễn phương

Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tínhSự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính 4 Hạng của hệ vectơ Định nghĩa Tính chất Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận 5 Không g

Chương 3:

KHÔNG GIAN VECTƠ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 28 tháng 10 năm 2013

Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính

4 Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa

Tính chất

Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận

5 Không gian con

Định nghĩa

Cơ sở và số chiều của không gian con

Không gian sinh

Không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất

6 Tọa độ trong không gian n-chiều

Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở

Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở

Định nghĩa

Một vectơ n-chiều x là một bộ n số thực có thứ tự x = (x1, x2, , xn), xi∈ R.Vectơ không được kí hiệu là 0 = (0, 0, , 0)

Định nghĩa (Không gian vectơ n-chiều)

Tập hợp các vectơ n-chiều xây dựng trên R được trang bị 2 phép toán trênđược gọi là không gian vectơ Rn

Định nghĩa (Không gian Euclide n-chiều)

Không gian Euclide Rn

là không gian vectơ Rnđược trang bị thêm một tích

vô hướng của 2 vectơ x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) được định nghĩa:

x.y = x1.y1+ x2.y2+ + xn.yn

Với mọi vectơ x, y, z ∈ Rn, ta có

Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, , am}

có nghiệm

⇔ x1A1+ x2A2+ · · · + xmAm= B có nghiệm

⇔ AX = B có nghiệm, với A = (A1A2 Am)

Ví dụ:

Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4) Cho biết

x = (1, −3, 5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u,v,w} hay không? Hãychỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v,w nếu có

Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, , am}

Ví dụ:

Hệ H = {a1= (−1, 2, 1), a2= (1, 1, −2), a3= (0, 3, −1)} trong R3độc lập hayphụ thuộc tuyến tính? Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính hãy tìm một phương trìnhbiểu diễn sự phụ thuộc đó

⇒ Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính Một phương trình biểu diễn sự phụ thuộc

đó là a1+ a2− a3= 0

Hệ vectơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính.

Hệ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính

Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, , am}

Ta có: a2= 2a1+ a3nên a1, a2, a3 phụ thuộc tuyến tính

Mặt khác a1, a3 độc lập tuyến tính

Vậy rankH = 2

Nghĩa là gọi D = {(a11, a12, , a1n), (a21, a22, , a2n), , (am1, am2, , amn)}

Nếu L là một không gian con của Rnthì 0 ∈ L.

Do đó, nếu 0 < L thì L không phải là không gian con của Rn

Ví dụ: Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của R2

1 L1= {x ∈ R2: x = (a, 2 + 3a), a ∈ R}

2 L2= {x ∈ R2: x = (a, 3a), a ∈ R}

Giải

1 Nhận thấy 0 = (0, 0) < L1 Do đó L1không phải là không gian con của R2

2 Ta có 0 = (0, 0) ∈ L2 ∀x, y ∈ L2, k ∈ R Giả sử x = (a, 3a), y = (b, 3b) ta

có x + ky = (a + kb, 3a + 3kb) ∈ L2⇒ L2 là một không gian con của R2

1 Số vectơ trong một cơ sở của L không vượt quá n.

2 Số vectơ trong các cơ sở của L luôn bằng nhau

Định nghĩa (Không gian sinh)

Trong Rn cho hệ H = {a1, a2, , am} Không gian sinh bởi H, được kí hiệu làSpan(H): SpanH = {x ∈ Rn: x = x1a1+ x2a2+ · · · + xmam, xi ∈ R}

Ví dụ:

Trong R4 cho hệ H = {a1= (−2, 4, −2, −4), a2= (2, −5, −3, 1), a3= (−1, 3, 4, 1)}.Hãy tìm một cơ sở và số chiều của SpanH

Bài toán 2:

Trong Rn cho hệ H = {a1, a2, , am} Tìm điều kiện để x ∈ SpanH

Phương pháp giải

1 x ∈ SpanH ⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của H

2 Nếu ta có F = {b1, b2, , bk} là một cơ sở của SpanH, khi đó

x ∈ SpanH ⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của F

Ví dụ: Trong R3 cho hệ H = {a1= (1, 2, −4), a2= (2, −1, 1), a3= (−3, −1, 3)}.Hãy tìm m để b = (−1, 3, m) ∈ SpanH

Cho hpttt thuần nhất AX = 0 Không gian nghiệm của hệ là

Không gian nghiệm L = {x = (−2a − 3b, a, −2b, b), a, b ∈ R} =

{x = a(−2, 1, 0, 0) + b(−3, 0, −2, 1), a, b ∈ R}

⇒ L = Span{(−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −2, 1)}

Vậy một hệ nghiệm cơ bản của hệ là {(−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −2, 1)}

Định nghĩa

Cho H = {a1, a2, , an} là một cơ sở của Rn

(x1, x2, , xn) được gọi là tọa độ của x ∈ Rn đối với cơ sở H ⇔

x1+ x2− x3= 7Giải hệ này ta được (x1, x2, x3) = (2, 2, −3)

Vậy x|H= (2, 2, −3)

Định nghĩa (Ma trận chuyển)

Cho A = {a1, a2, , an} và B = {b1, b2, , bn} là hai cơ sở của Rn

Ma trận chuyển cơ sở từ A sang B được kí hiệu là PBA, là ma trận thỏa(x|A)T= PBA.(x|B)T, ∀x ∈ Rn

Ví dụ:

Cho E3, A = {a1= (1, 1, −1), a2= (0, 1, 2), a3= (0, 0, 1)} và

B = {b1= (1, −1, 1), b2= (2, 3, 1), b3= (1, 2, 1)} là các cơ sở của R3

a Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E3sang A và ngược lại

b Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B

c Cho biết x|B= (−2, 1, 3) Hãy xác định x|A và x|E3

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là PBA=









Vậy x|E3 = (3, 11, 2)