Bài giảng đại số tuyến tính của thầy Lê Xuân Trường gồm đầy đủ các slide và cách hướng dẫn làm bài bải tập ,các cách giải chi tiết giúp sinh viên dễ hiểu dễ tiếp thu từ đó có thể làm bài toán đại số tuyến tính tốt và có chuẩn bị kiến thức tốt khi kiểm tra kết thúc môn
Trang 1MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ts Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
Trang 2Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại
ma trận vuông B cấp n sao cho
AB =BA=In
B gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A−1.
Ví dụ: Cho A=
1 2
3 4
và B=
−2 1
3
2 −1 2
Ta có
AB =BA=I 2
nên A khả nghịch và A−1=B
Trang 3Nhận xét
Nếu A khả nghịch thì ta còn nói A không suy biến Ngược lại, A là
ma trận suy biến
Ma trận nghịch đảo (nếu có) là duy nhất
Nếu A khả nghịch thì A−1 khả nghịch và (A−1)−1 =A
Nghịch đảo của tích hai ma trận
(AB)−1 =B−1.A−1 Nghịch đảo của ma trận chuyển vị
(AT)−1 = (A−1)T
Trang 4Điều kiện khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n
A khả nghịch⇐⇒ det(A) 6=0
Ví dụ: ma trận A=1 2
3 4
khả nghịch vì det(A) = −26=0.
Ví dụ: ma trận C =
2 −1 3
3 −1 4
suy biến khi
det(C) =3−m=0⇐⇒m=3.
Trang 5Tìm ma trận đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
[A In]−−−−−−−→phép b đ s c
trên dòng
[ n B] =⇒A−1 =B
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A=
1 −3
(nếu có)
1 −3 1 0
→
0 17 −4 1
→
1 0 175 173
0 1 −417 171
Vậy A−1 =
5 17 3 17
−4 17 1 17
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của B =
Trang 6Tìm ma trận đảo bằng định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu A khả nghịch thì
det(A)
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
· · · ·
Cn1 Cn2 · · · Cnn
T
P A với Cij là phần bù đại số của phần tử aij, được xác định bởi
Cij = (−1)i+jdet(Mij)
Ta gọi P A là ma trận phụ hợp của A
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A=
2 −1 3
1 −3 2
3 −2 1