Bài giảng đại số tuyến tính

Bài giảng đại số tuyến tính của thầy Lê Xuân Trường gồm đầy đủ các slide và cách hướng dẫn làm bài bải tập ,các cách giải chi tiết giúp sinh viên dễ hiểu dễ tiếp thu từ đó có thể làm bài toán đại số tuyến tính tốt và có chuẩn bị kiến thức tốt khi kiểm tra kết thúc môn

ĐỊNH THỨC

Ts Lê Xuân Trường

Khoa Toán Thống Kê

Ma trận con bù

Cho A= (aij)là ma trận vuông cấp n

A −−−−−→bỏ dòng i

bỏ cột j

Mij

↓

ma trận con bù của aij

Ví dụ: Xét ma trận









ma trận con bù của a12: M12= 1 −5

−3 −2



ma trận con bù của a31: M31=



4 −5



Khái niệm định thức

Cho A = (aij)là ma trận vuông cấp n Định thức của A là một số thực,

ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau

n =2:

A=a11 a12

a21 a22



⇒det(A) =a11a22−a12a21

Ví dụ : A=1 2

3 4



⇒det(A) = −2

n ≥3:

det(A) = (−1)k+1ak1det(Mk1) + · · · + (−1)k+nakndet(Mkn)

(với k bất kỳ trong tập{1, 2, , n})

Ví dụ : Tính định thức của ma trận A=









Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3)

Qui tắc Sarrus

Ví dụ :

Lưu ý

Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ

Ví dụ : Tính định thức của ma trận sau

A=







2 −1 −2 0







Khai triển theo cột thứ 3

det(A) = (−1)4+3(−2)

1 −2 1

=28

Phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→dj)

Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→λ6=0 λdi )

Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác

di −−→λ∈R

di+λdj

Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu

Nhân một dòng của ma trận A với số λ6=0 thì định thức của ma

trận thu được gấp λ lần định thức của A

Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức

Ví dụ : Tính định thức của ma trận

A=







1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3







Một số tính chất khác

Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận

đó bằng 0

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

det(λA) = λndet(A)

det(AT) = det(A)

det(AB) = det(A)det(B)

Nếu A= [a1 aj an]và aj =aj0+a00j, trong đó ak =









a1k

a2k

ank







 thì

det(A) =det([a1 a0j an]) +det([a1 a00j an])