Bài tập Phương pháp mô phỏng bài 1,2,5 và 9

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục Khi chúng ta sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai

Trang 1

Bài tập Phương pháp mô phỏng

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Các phép tính trên ma trận

Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận Phương pháp ma trận trở thành đối tượng quan tâm lớn của các nhà vật lý vào những năm 1920 khi Heisenberg áp dụng ma trận vào cơ học lượng tử

Giả sử chúng ta có cặp phương trình tuyến tính:

U = Ax + By

V = Cx + Dy Trong đó: A, B, C, D là các hệ số đã biết, x và y là các biến

Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng ma trận như sau:







































y

x D C

B A V

U

* Phép nhân ma trận

Giả sử ta có hai ma trận 













T R

Q P













D C

B A

N Khi đó tích hai ma trận được tính như sau:











































TD RB TC RA

QD PB QC PA D

C

B A T R

Q P MN

Tổng quát, các phần tử của ma trận tích có dạng:





n

c

1 Một số điểm cần lưu ý trong phép nhân ma trận:

- Thứ tự nhân ma trận: tích MN cho kết quả khác với tích NM

- Tích MN chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận M bằng số dòng của ma trận N

- Nếu m, n lần lượt là số dòng và số cột của ma trận M và n, k lần lượt là số dòng và số cột của

ma trận N, thì tích của MN là một ma trận có m dòng và n cột

* Tích của nhiều ma trận

Tích của các ma trận chỉ có tính kết hợp chứ không có tính giao hoán Khi tính tích của ma trận

L, M, N ta có thể tính theo hai cách: L(MN) hoặc (LM)N

Trang 2

Ví dụ:













 2 4

3 1











 1 3

1 2











 3 1

2 4

N

























































9 13

7 9 3 1 2 3 1 1 4 3

3 1 2 2 1 1 4 2 3 1

2 4 1 3

1 2

MN























































46 62

34 48 9

2 7 4 13 2 9 4

9 3 7 1 13 3 9 1 9 13

7 9 2 4

3 1

MN L

























































6 14

4 11 1

2 1 4 3 2 2 4

1 3 1 1 3 3 2 1 1 3

1 2 2 4

3 1

LM























































46 62

34 48 3

6 2 14 1 6 4 14

3 4 2 11 1 4 4 11 3

1

2 4 6 14

4 11

N LM

* Phép cộng và phép trừ ma trận

Nếu hai ma trận M và N có số dòng và số cột bằng nhau thì tổng và hiệu của chúng được tính bằng cách cộng và trừ các cặp tương ứng của phần tử ma trận Nếu P = M + N thì Pjk = Mjk + Njk Nếu gọi O là ma trận null (ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0) thì:

M ± O = M và M – M = O

Ma trận cũng tuân theo quy tắc phân phối: A(B + C) = AB + AC

2 Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

Khi chúng ta sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau:

 Bỏ qua bước sóng ánh sáng và sự truyền ánh sáng có thể mô tả dưới các tia riêng lẻ chứ không phải là các mặt sóng

 Chỉ xét những tia gần trục, những tia này gần như song song với trục vì vậy chúng ta có thể

sử dụng xấp xỉ bậc nhất cho hàm sin và hàm tan các góc hợp bởi các tia này và trục

a) Ma trận truyền tia

Một tia sáng khi truyền qua các mặt khúc xạ sẽ bao gồm một loạt đường thẳng và mỗi đường thẳng đặc trưng bởi hai thông số là tọa độ và góc mà nó tạo với trục Oz Mặt phẳng vuông góc với trục Oz gọi là mặt phẳng quy chiếu (Reference Plane – RP) Tại mặt phẳng quy chiếu, mỗi tia được đặc trưng bởi độ cao y và góc V tạo với trục Oz

Trang 3

Khi tia sáng truyền qua hệ thống thấu kính khúc xạ chỉ có hai quá trình truyền cơ bản:

 Truyền qua: tia sáng truyền thẳng qua môi trường đến mặt khúc xạ kế tiếp, chúng ta cần biết

độ dày t của môi trường và chiết suất khúc xạ n

 Khúc xạ tại mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau Để xác định được

độ lệch của tia khúc xạ chúng ta cần biết bán kính cong của mặt khúc xạ và hai giá trị chiết suất của hai môi trường

Nếu tia sáng truyền qua mặt phẳng quy chiếu thứ nhất được đặc trưng bởi hai giá trị y1 và V1, sau đó qua mặt phẳng quy chiếu thứ hai được đặc trưng bởi hai giá trị y2 và V2 Chúng ta có thể biểu diễn y2, V2 theo y1, V1 dưới dạng ma trận như sau:







































1

1 2

2

V

y D C

B A V

y

(*)

b) Ma trận truyền qua

Xét tia sáng truyền qua một môi trường có chiều dài t và chiết suất n như hình vẽ

Qua biến đổi, biểu thức (*) có thể viết lại:

Trang 4





































1

1 2

2

1 0

/ 1

V

y n t V

y













1 0

/

1 t n

T được gọi là ma trận truyền qua

c) Ma trận khúc xạ

Xét tia sáng truyền tới một mặt cầu bán kính r phân cách hai môi trường chiết suất n1 và n2

Qua biến đổi, biểu thức (*) có thể viết lại:







































1

1 1

2 2

2

1

0 1

V

y r

n n V

y















0 1

1 2

r

n n

R được gọi là ma trận phản xạ

Người ta quy ước: r > 0 với mặt cầu lồi và r < 0 với mặt cầu lõm

Trường hợp r → ∞, tức mặt cầu trở thành mặt phẳng, ma trận khúc xạ R trở thành ma trận

đơn vị 











1

0

1

Thấu kính được xem như là một hệ gồm các mặt khúc xạ và môi trường truyền qua Với thấu kính mỏng, người ta có thể bỏ qua môi trường truyền qua giữa các mặt khúc xạ Khi đó, ma trận khúc xạ của thấu kính mỏng trở thành:















0 1

f R

Trang 5

Trong đó: f là tiêu cự thấu kính Người ta cũng quy ước: f > 0 với thấu kính hội tụ và f < 0

với thấu kính phân kỳ Ngoài ra người ta còn dùng khái niệm độ tụ D1f với quy ước dấu tương tự

d) Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Ma trận truyền tia M cho một hệ thống được xác định bằng cách lấy tích của các ma trận truyền tia thành phần theo thứ tự ngược chiều truyền của ánh sáng

M = M1.M2.M3 Mn-1.Mn

e) Xác định tính chất của một hệ quang học dựa vào ma trận truyền tia của nó

Giả sử ma trận M đặc trưng cho hệ thống quang học Khi đó:







































1

1 2

2

V

y D C

B A V

y

Trong đó: (AD – BC) = 1

Trang 6

Để hiểu ý nghĩa của các đại lượng A, B, C, D, chúng ta lần lượt xét các trường hợp nếu một trong 4 đại lượng bằng 0

e1> Nếu D = 0 thì V2 = Cy1 + 0V1, tức là tất cả các tia từ một điểm ở mặt phẳng vào đều tạo với trục một góc V2 mà không phụ thuộc vào V1 và mặt phẳng quy chiếu RP1 được gọi là mặt phẳng hội tụ đầu tiên của hệ thống

e2> Nếu B = 0 thì y2 = Ay1 + 0V1, tức là tất cả các tia ở điểm O tại mặt phẳng quy chiếu RP1 sẽ truyền qua điểm I ở mặt phẳng quy chiếu RP2 Do đó, O và I là các điểm vật và ảnh tương

ứng và

1

2

y

A  là độ khuyếch đại của hệ thống.

e3> Nếu C = 0 thì V2 = DV1, tức là chùm tia tới song song đi vào hệ thống với góc V 1 so với trục sẽ rời khỏi hệ thống theo hướng khác, hướng này họp với trục một góc V2 Trong đó:

1

2

1

V

n

D

n

 là độ khuyếch đại góc tạo bởi hệ thống

Trang 7

e4> Nếu A = 0 thì y2 = BV1, tức là tất cả các tia song song đi vào hệ thống sẽ hội tụ tại một điểm trên mặt phẳng quy chiếu RP2 và RP2 được gọi là mặt phẳng hội tụ thứ hai của hệ thống

e5> Nếu thành phần A hoặc D trong ma trận truyền tia bằng 0 thì từ biểu thức (AD – BC)

= 1 suy ra được BC = -1 Nếu B hoặc C bằng 0 thì A là nghịch đảo của D

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Một thanh thủy tinh chiều dài 2.8cm và chiết suất 1.6 có hai mặt biên là hai mặt cầu lồi

bán kính 2.4cm Một vật chiều cao 2cm, đặt trong không khí, nằm trên trục tọa độ cách mặt cầu trái của thanh thủy tinh trên một khoảng 8cm Tìm vị trí và kích thước của ảnh tạo bởi hệ thống

Bài giải

Trang 8

Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n1 → Mặt cầu phân cách bán kính r1 → Môi trường thủy tinh chiết suất n2 → Mặt cầu phân cách bán kính r2 → Môi trường không khí chiết suất n1

Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là:

 Ma trận truyền qua: 













1 0

/

1 t n T

 Ma trận khúc xạ:  















0 1

1 2

r

n n R

Sau đây là phần lập trình để tìm vị trí và chiều cao của ảnh (Bài toán thuận)

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% GVHD: TS Le Vu Tuan Hung

%

% BAI LAP TRINH Problem2(trang 44)

%- BAI TOAN THUAN (CHO VAT TIM ANH)

clc

clear all

syms x2 h2 % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao anh

%

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

x1=input('Nhap vao khoang cach giua vat va thanh thuy tinh (cm):');

h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (cm):');

r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm) (Phai la so duong):');

while r1<0

r1=input('Phai la so duong Vui long nhap lai:');

end

r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) (Phai la so am):');

while r2>0

r2=input('Phai la so am Vui long nhap lai:');

end

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai:');

L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

%

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA

M1=[1 x1/n1;0 1]; % Moi truong khong khi

M2=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Mat cau ban kinh r1

M3=[1 L/n2;0 1]; % Moi truong trong thanh thuy tinh

M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

%

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA ANH

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

disp('Anh cach thanh thuy tinh mot khoang la:')

x2=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0

x2=double(x2) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Chieu cao cua anh:');

h2=subs(A*h1) % The x2 vao A de tim h2

%

Trang 9

Như vậy, ảnh thu được cách thanh thủy tinh một khoảng 2.4390cm và có chiều cao 0.7805cm Ở đây, dấu “ - ” thể hiện ảnh nằm ngược chiều với vật

Tiếp theo, ta sẽ làm lại bài tập trên với điều kiện ngược lại, tức là cho biết trước vị trí và chiều cao của ảnh, yêu câu xác định vị trí và chiều cao của vật (bài toán nghịch) Khi đó, thứ tự các thành phần truyền tia như sau: Môi trường không khí chiết suất n1 → Mặt cầu phân cách bán kính r2

→ Môi trường thủy tinh chiết suất n2 → Mặt cầu phân cách bán kính r1 → Môi trường không khí chiết suất n1

Sau đây là phần chương trình:

%

% BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 1

% BAI TOAN NGHICH (CHO ANH TIM VAT)

clc

clear all

syms x1 h1 % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao vat

%

x2=input('Nhap vao khoang cach giua anh va thanh thuy tinh (cm):');

h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (cm):');

r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm) (Phai la so duong):');

while r2<0

r2=input('Phai la so duong Vui long nhap lai:');

end

r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) (Phai la so am):');

while r1>0

r1=input('Phai la so am Vui long nhap lai:');

end

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai:');

L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

%

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA

M3=[1 L/n1;0 1]; % Moi truong trong thanh thuy tinh

M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

Trang 10

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA VAT

disp('Vat cach thanh thuy tinh mot khoang la:')

x1=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0

x1=double(x1) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Chieu cao cua vat:');

h1=subs(h2*A) % The x1 vao A de tim h1

%

Problem4: Một vật cao 2 inches đặt cách màn 10 feet Tiêu cự thấu kính là bao nhiêu để ảnh thu

được trên màn cao 40 inches và màn đặt cách thấu kính bao nhiêu?

Bài giải

Hệ quang học đã cho gồm 3 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n1 = 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f → Môi trường không khí chiết suất n1 = 1













1 0

/

1 t n T

 Ma trận thấu kính mỏng:















0 1

f R

Điều kiện vật thật cho ảnh thật: B = 0, khi đó:

D

A1

Sau đây là phần lập trình với bài toán thuận:

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

%

% BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 2 - BAI TOAN THUAN

clc

clear all

Trang 11

syms x f % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh

%

L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):');

disp('Chuyen sang don vi inches la:');

L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches

h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):');

h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):');

n1=1; % Chiet suat cua khong khi

%

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN THAU KINH MONG

M1=[1 x/n1;0 1]; % Moi truong khong khi

M2=[1 0;-1/f 1]; % Thau kinh tieu cu f

M3=[1 (L-x)/n1;0 1]; % Moi truong trong thanh thuy tinh

M=M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

%

% BUOC 3: GIAI HE PHUONG TRINH TIM VI TRI VA TIEU CU THAU KINH

D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M

% Theo dinh nghia, A la do khuyech dai, vi vay:

A=-h2/h1; % Dau tru the hien anh va vat nguoc chieu nhau

x=solve(D-1/A); % D = 1/A

disp('Tieu cu cua thau kinh la (inches):')

f=solve(subs(B));

f=double(f) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Khoang cach tu thau kinh den vat (feet):')

x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x

x=x/11.97 % Chuyen tu don vi inches sang feet

%

Như vậy, tiêu cự của thấu kính là 5.7inches và thấu kính đặt cách vật một khoảng 0.5feet Khoảng cách từ thấu kính đến ảnh là: 10.5 – 0.5 = 10(feet)

Tương tự, ta có phần chương trình cho bài toán nghịch như sau:

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

%

% BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 2 - BAI TOAN NGHICH

clc

clear all

%

L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches

%

M=M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

%

% BUOC 3: GIAI HE PHUONG TRINH TIM VI TRI VA TIEU CU THAU KINH

Trang 12

D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M

% Theo dinh nghia, A la do khuyech dai, vi vay:

A=-h1/h2; % Dau tru the hien anh va vat nguoc chieu nhau

x=solve(D-1/A); % D = 1/A

disp('Tieu cu cua thau kinh la (inches):')

f=solve(subs(B));

f=double(f) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Khoang cach tu thau kinh den anh (feet):')

x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x

x=x/11.97

%

Problem 5: Một thấu kính dương có tiêu cự là 8 cm cách thấu kính âm có tiêu cự là -12 cm ,

khoảng cách giữa hai thấu kính là 6 cm Nếu một vật cao 3 cm nằm trên trục cách thấu kính dương

là 24 cm về bên trái, tìm vị trí và kích thước ảnh qua hệ thống kính

Bài giải

Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n1 = 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f1 → Môi trường không khí chiết suất n2 = 1→Thấu kính

mỏng tiêu cự f 2→ Môi trường không khí chiết suất n3













1 0

/

1 t n T

 Ma trận thấu kính mỏng:















0 1

f R

Điều kiện vật thật cho ảnh thật: B = 0, khi đó:

D

A1

Sau đây là phần lập trình với bài toán thuận:

%

% BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 2 - BAI TOAN THUAN

clc

clear all

%

L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches

%

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,31 MB