BÀI TẬP TỐN A3 CĨ LỜI GIẢI Phần I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến.. Bài 1: Cho hàm fx,y có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng Mxo,yo.. Tìm cực trị của hàm.
Trang 1BÀI TẬP TỐN A3 CĨ LỜI GIẢI Phần I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến.
Bài 1:
Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M(xo,yo)
A=f’’xx(xo,yo), B=f’’xy(xo,yo), C=f’’yy(xo,yo), ∆=AC-B2
Giải:
Ta có: Nếu ∆< 0, hàm f(x,y) không có cực trị
Nếu
<
>
∆
0
0
A M là điểm cực đại
Nếu
>
>
∆
0
0
A M là điểm cực tiểu
Bài 2:
Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z=x4-8x2+y2+5 Tìm cực trị của hàm Giải:
z’x=4x3-16x,z’y=2y
=
=
0
'
0
'
y
x
z
z
⇔
=
=
−
0 2
0 16
4 3
y
x
=
=
−
=
=
0 0 2 2
y x x x
⇒Hàm có 3 điểm dừng: M1(0,0), M2(-2,0), M3(2,0)
Z’’xx=12x2-16, z’’yy=2, z’’xy=0
Xét M1(0,0) ta có: A=z’’xx(M1)=-16⇒ ∆=AC-B2=2.(-16)-0=-32<0
⇒z không đạt cực trị tại M1(0,0)
Xét M2(-2,0) ta có: A=z’’xx(M2)=32⇒ ∆=AC-B2=64>0, A>0
⇒z đạt cực tiểu tại M2(-2,0)
Trang 2Xét M3(2,0) ta có: A=z’’xx(M3)=32⇒ ∆=AC-B2=64>0, A>0
⇒z đạt cực tiểu tại M3(2,0)
Vậy z có hai cực tiểu M2(-2,0), M3(2,0)
Bài 3:
Cho hàm z=2x2-4x+siny-y/2 với x∈R, -π<y<π Tìm cực trị của z
Giải:
Z’x=4x-4, z’y=cosy-1/2
=
=
0
'
0
'
y
x
z
z
⇔
=
−
=
−
0 2 / 1 cos
0 4 4
y
x
=
=
−
=
⇔
1
3 /
3 /
x y
y
π π
⇒Hàm có 2 điểm dừng: M1(1,π/3), M2(1,-π/3)
Z’’xx=4, z’’xy=0, z’’yy=-siny
Xét M1(1,π/3) ta có: C=z’’yy(M1)=
2
3 ⇒ ∆=AC-B2=2 3>0, A>0
⇒z đạt cực tiểu tại M1(1,π /3)
Xét M2(1,-π/3) ta có: C=z’’
yy(M2)=-2
3 ⇒∆=AC-B2=-2 3<0
⇒z không đạt cực trị tại M2
Vậy z có một cực tiểu tại M1(1,π/3)
Bài 4:
Tìm cực trị của hàm z=x2(y-1)-3x+2 với điều kiện x-y+1=0
Giải:
Từ điều kiện ta có: y=x+1 Thay y vào z, ta được: z= x3-3x+2 ⇒Z’x=3x2-3 Z’ x=0 ⇔ x x==1−⇒1⇒y y==20
Hàm có hai điểm dừng: M1(1,2), M2(-1,0)
Bảng biến thiên:
Trang 3X -∞ -1 1 +∞
Z’ + 0 - 0 +
Z 0 CT
Vậy z đạt cực đại tại M2(-1,0), cực tiểu tại M1(1,2)
Bài 5:
Tìm cực trị của hàm z=x2(y+1)-3x+2 với điều kiện x+y+1=0.Tìm cực trị của z Giải:
Ta có: y=-x-1
Thế y vào z ta được: z= -x3-3x+2
Z’x=0 ⇔-3x2-3=0 ⇔x2=-1 (vô nghiệm)
Vậy z không có cực trị
PHẦN II TÍCH PHÂN 2 LỚP, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT
Bài 6:
Xác định cận của tích phân
3 1
0 0
( , )
x
I =∫ ∫dx f x y dy trong đĩ D là miền giới hạn bởi các
đường: y = 3x , y = x 2
Bài giải:
Ta cĩ: D:
2 2
3
9
y x
Suy ra:
3
0 9
y x
y
y
=
=
=
Trang 4Vậy:
9
0
3
( , )
y y
Bài 7:
Đổi thứ tự tích phân
3 1
0 0
( , )
x
I =∫ ∫dx f x y dy Bài giải:
x
y x
≤ ≤
≤ ≤
• Xác định cận x:
Từ (2) ta có: y x ≤ ⇔ ≥3 x 3 y và từ (1) x ≤ 1
• Xác định cận y:
Từ (1) ⇒ ≤ ⇔ x 1 x3 ≤ 1 ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ y x3 1 y 1
0 y 1
⇒ ≤ ≤
Vậy:
3
0
( , )
y
I = ∫ ∫ dy f x y dx
Bài 8:
Cho tích phân
ln
1 0
( , )
e x
I =∫ ∫dx f x y dy Thay đổi thứ tự tích phân ta được: Bài giải:
x e
≤ ≤
≤ ≤
• Xác định cận y:
Từ (1) ⇒ ≤ ⇔ x e ln x ≤ ln e = 1 ⇒ ln x ≤ 1 (vì 1 x ≤ )
Mà (2) ⇒ y ≤ ln x ≤ 1 ⇒y ≤ 1
⇒ 0 ≤ ≤ y 1
• Xác định cận x:
Từ (2) ⇒ y ≤ ln x ⇒ey ≤ elnx = x ⇒ ey ≤ x
⇒ ey ≤ ≤ x e
Trang 5Vậy:
1
0
( , )
y
e
e
I = ∫ ∫ dy f x y dx
Bài 9:
Thay đổi thứ tự tích phân
2 2
1
( , )
x
x
I = ∫ ∫ dx f x y dy
Bài giải:
x
≤ ≤
≤ ≤
Ta thấy theo trục tung, miền D tăng dần
từ 0 đến 2 và giảm dần từ 2 đến 4
Vậy:
2 ( , ) ( , )
y
y
I = ∫ ∫ dy f x y dx + ∫ ∫ dy f x y dx
Bài 10:
Chuyển tích phân sau sang tọa độ cực ( , )
D
I =∫∫ f x y dxdy, trong đó D là hình tròn
2 2 4
x + y ≤ y
Bài giải:
Ta có: D: x2 + ≤ y2 4 y ⇔ + − x2 ( y 2)2 ≤ 4,
là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2
sin
x r
y r
φ φ
=
=
0
r
φ π
≤ ≤
Vậy:
2
0 0
( cos , sin )
π
Bài 11:
Tính tích phân 2
0
sin(x+y)dx
y o
π
= ∫ ∫
Bài giải:
2
0
s in(x+y)dx
y
o
I dy
π
1 2 3 4
o
y = 2x
y = x
x =1 x = 2
o o
o
o
x y
o
1 2
4
x
y
A r
o
o
o
2
o
Trang 60
.( os( ) )
0
y
π
2
0
(cos os2 )
π
(sin sin2y )
1
I
⇔ =
Bài 12.
Tính tích phân I = ln
D
x ydxdy y
∫∫ trong đó D là hình chữ nhật 0≤ ≤x 2;1≤ ≤y e
I = ln
D
x
ydxdy
y
x
=
0
ln
2
y
dx x
∫ =
e
=
2
2
0
1
2 2
x
= 1( 2 2)
4 − = 1
Bài 13.
Tính tích phân I = ( )2
1
D
dxdy
x y+ +
∫∫ trong đó D là hình vuông 0≤ ≤x 2;0≤ ≤y 1
I = ( )2
1
D
dxdy
x y+ +
1
d y x dy
+ +
=
1 1
1
1
dx
x y
+ +
1 0
∫
= −ln(x+2)10+ln(x+1)10
=− ln 3 ln 2 ln 2 ln1 + + − = − ln 3 ln 4 +
Bài 14.
1
e
Trang 7Tính tích phân I = 2 2
D
x ydxdy
∫∫ trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0); B(1,1)
Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân như sau:
0
x
y x
≤ ≤
≤ ≤
I =
1
2
x
dx x ydy= dxx y
=
1
4
1
x
x dx= =
∫
Bài 15.
Tính tích phân I =
D
ydxdy
∫∫ trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y = x và parabol y = x2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và parabol y = x2
x2 = x ⇒ x = 0 ; x = 1
Vậy 0 ≤ ≤x 1 Ta xét 1 ( )0,1
2
(0.5)2 < 0.5
⇒ I =
2
x x
y
dx ydy = dx
=
1
2 4
3 5
Bài 16.
Tính tích phân I = 2 2
D
dxdy
∫∫ trong đó D là hình tròn x2+y2 ≤9
A O
B x
y
1 1
Trang 8Đặt x r y rcossinϕ
ϕ
=
=
Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân:
r
ϕ
≤ ≤
≤ ≤ ∏
I =
rdrd
drd
=
2
dr dϕ drϕ
Π Π
=
=
3
3 0 0
2Π∫dr = Π2 r = Π6
Bài 17.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e= +x x y e; = −x+x
và x = 1
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của y e= +x x y e; = −x +x
x x
e + =x e− +x
⇔ x 1
x
e
e
x
e e
⇔ ( )2
1 0
x
e − = ⇔ 1
1
x x
e e
=
= −
⇒ x = 0
Vậy 0≤ ≤x 1
Tại 1 [ ]0,1
2
x= ∈ ta có e−x+ ≤ +x e x x
⇒ cận tích phân là 0 x x 1 x
e− x y e x
≤ ≤
S =
1 0
x
x
e x
dxdy dx dy
−
+
+
=
∫∫ ∫ ∫
x
x
e x
x x
e x
dx y e e dx
−
+
− +
R
x
y
0
(loại)
Trang 9= ( ) (1 1) ( )
x x
e +e− = +e e− − +
= 1
2
e
e
+ −
Bài 18:
Tính tích phân đường ( )
C
I =∫ x y dl+ , trong đó C có phương trình x+y=1;0≤x≤1
a) I= 2 b)I=1 c)I=1
Giải:
x+y=1 ⇒ rút y theo x ta được :
y=1-x ⇒ '
( )x
y = - 1
dl= 1 ( + y( )'x )2dx = 1 ( 1) + − 2 dx = 2dx
→I=1
0
2dx
0
→ Đáp án là A
Bài 19:
Tính tích phân đường ( )2
C
a)I=a2 b)I=2a2 c)I=a2
2 d)I=a3
2
Giải:
x+y=a ⇒y=a – x → '
( )x
y = -1 dl= 1 ( + y( )'x )2dx = 1 ( 1) + − 2 dx = 2dx
0
a
0
2
a
2 [ ]1 0
x =a3
2
→I=1
0
2dx
0
→Đáp án là D
Bài 20:
Trang 10Cho điểm A(0,1) và B(1,0) tính tích phân đường ( 2 1) ( 1)
AB
I = ∫ y+ x+ dx+ −y dy.lấy theo đường y=1-x đi từ A đến B
Giải:
y=1-x →dy = -dx
1
0
I =∫ − +x x+ dx+ − − −x dx=
1 0
(x+ +2 x dx)
1 0
(2x+2)dx
∫
0
2
→Đáp án B
Bài 21:
Tính 3 (3 2 2 )
OA
I = ∫ xydx− x − y dylấy theo đoạn nối từ O(0,0) đến
A(-1,-1)
a)I =-1b)I = 1c)I =-2d) I =2
Giải:
Pt đường thẳng OA :
1
0
−
1 0
2ydy
−
0
=1
Bài 22:
Tính I= ( )2 ( )2
OA
∫ lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(3,0)
a)I = 9 b)I =8 c)I =3
4
−
Giải:
Pt đường thẳng OA : y= →0 dy=0dx
I=
3
2
0
0
x dx+
3 3 0
3
x
=9
Trang 11→Đáp án A
Bài 23
tính tích phân mặt loại 1:I = ( )
s
x y z dS+ +
∫∫ trong đó S là mặt của hình lập phương
[ ]0,1 x[ ]0,1 x[ ]0,1
a)I = 0b)I =9 C)I =3 d)I =12
Giải
Miền S gồm 6 mặt :
S1 ={( , , ) :x y z z=0,0≤ ≤x 1, 0≤ ≤y 1}
S2 ={( , , ) :x y z z=1,0≤ ≤x 1,0≤ ≤y 1}
S3 ={( , , ) :x y z y=0,0≤ ≤x 1,0≤ ≤z 1}
S4 ={( , , ) :x y z y=1,0≤ ≤x 1,0≤ ≤z 1}
S5 ={( , , ) :x y z x=0,0≤ ≤y 1,0≤ ≤z 1}
S6 ={( , , ) :x y z x=1,0≤ ≤y 1,0≤ ≤z 1}
Trên mặt S1, ta có z = 0⇒dS dxdy=
Vậy
1
s
x y z ds+ +
D
x y dxdy+
1 1
0 0
∫ ∫
=1[ 2 ]1
0 0
1
2
0 0
1
2
1 2 0
Trên mặt S2 ta có : z =1 ⇒dS dxdy= , do đó
2
s
x y z dS+ +
D
D
x y dxdy+
D
dxdy
∫∫ =1+1=2
s
x y z dS+ +
⇒ Đáp án B