BÀI TẬP TOÁN CAO CÓ LỜI GIẢI

48 trang bài tập chọn lọc có lời giải, giúp sinh viên nắm được nội dung và kiến thức chương trình. Tài liệu đáp ứng nhu cầu học của sinh viên nhằm chuẩn bị cho kỳ thi giữa kỳ cũng như kết thúc học phần.

CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN

_

I Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận:

1 Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận:

a) Xác định đa thức đặc trưng của A

b) Xác định các giá trị riêng  i của A

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E  A( )i

d) Xác định một cơ sở S của 2 gồm các vectơ riêng của A

Giải

a) Đa thức đặc trưng P t của A( ) A là P A( )t t2 tr( )A tdetAt28t15

b) Các giá trị riêng  của i A là các nghiệm của phương trình đặc trưng f t  Phương A( ) 0trình đặc trưng f t  có các nghiệm 3, 5 Vậy A( ) 0   và 1 3   là các giá trị riêng của ma 2 5

Vậy dimE A(3) 1 và {(1, 2)} là một cơ sở của E A(3)

* Với   Các véc tơ riêng của ma trận 2 5 A ứng với giá trị riêng   là các nghiệm 2 5không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

d) Đặt S {(1, 2),(1, 1)}  gồm các véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính trong  Do 2

a) Xác định đa thức đặc trưng của A

b) Xác định các giá trị riêng  i của A

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E  A( )i

d) Xác định một cơ sở S của 3 gồm các vectơ riêng của A

a) Xác định đa thức đặc trưng f t A( ) của A

b) Xác định các giá trị riêng  i của A

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E  A( )i

d) Xác định một cơ sở S của 4 gồm các vectơ riêng của A

Hướng dẫn:

Sinh viên làm tương tự ví dụ

Đa thức đặc trưng P t của A( ) A là

t t P

2 Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:

1) Cho  là giá trị riêng của AM ( )n K , K và k   Chứng minh rằ ng

a)  là giá trị riêng của ma trận A

b)  là giá trị riêng của ma trận A

c)   là giá trị riêng của ma trận AI

d) ( )f  là giá trị riêng của ma trận đa thức ( )f A

Vậy f( ) là giá trị riêng của f (A)

Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên

2) Cho  là giá trị riêng của AM ( )n K Chứng minh rằng

Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên

4) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và  1, 2,,n là các giá trị riêng của nó

Sinh viên cho ví dụ minh họa

b) Do     là các giá trị riêng 1, 2, , n A nên     là các giá trị riêng của ma 1k, 2k, , k ntrận A Do đó k det k 1k 2k k

Sinh viên cho các ví dụ minh họa

5) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và  1, 2,,n là các giá trị riêng của nó

b) Do     là các giá trị riêng 1, 2, , n A nên   1 11,  2 21,   , n n1 là các giá trị riêng của ma trận AA1 Do đó

det(AA )   (  )(   )(  n n )

c) Do  không là giá trị riêng của A nên định thức của ma trận A I khác 0 Vậy

A I khả nghịch Theo giả thiết     là các giá trị riêng của 1, 2, , n A nên

Cho A là một ma trận vuông cấp n Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau:

Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức

đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng tìm các vector riêng

Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau:

TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không

chéo hóa được

TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa được Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và khi đó

1

2 1

là ma trận chéo trong đó các i là các giá trị riêng của A ứng với

vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]

( 1) {( , , ) | , }

E    t t t t t t  

Cơ sở của E(-1) gồm hai vector 1  ( 1,1, 0);2   ( 1, 0,1)

Ứng với giá trị riêng   2, để tìm vector riêng ta giải hệ pt:

Cơ sở của E(2)gồm 1 vector 3 (1,1,1)

Nhận xét: Các vector   1, 2, 3độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được Khi đó, tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 1

Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C

làm chéo hóa A (nếu có)

3 Cho ma trận 4 3

A   

a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A

b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng

c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo

D sao cho APDP 1

d) Tính k

A với mọi số nguyên dương k

Hướng dẫn:

Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu

Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi 1

a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A

b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng

c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo

Chứng minh rằng u u1, 2là các vector riêng

của A Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để 1

APDP

Hướng dẫn:

Để chứng minh u u1, 2là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị  1; 2sao cho

Au u Au u Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng diag( , 1 2)

6 Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2 Giả sử không gian vector

riêng ứng với giá trị riêng  3 có chiều là 2 Hỏi ma trận A có chéo hóa được không?

Hướng dẫn:

Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận

7 Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận sau Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả

nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho APDP 1

b) Hãy tính luỹ thừa ma trận A

a) Hãy tính đa thức ma trận ( )f A , trong đó f t( )t nt2   1 [ ]t

b) Hãy tìm một ma trận B trên trường số thực  sao cho B2  A

* Do S S1S2S3 { , , }v v v1 2 3 nên ma trận A chéo hoá được và DP AP1 , trong đó

ma trận khả nghịch P với các cột là các véc tơ riêng v v v và ma trận đường chéo 1, ,2 3 D với các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng v v v 1, ,2 3

Đa thức đặc trưng của ma trận A là f t A( )   t3 3t2     4 (t 1)(t 2) 2

Giải phương trình đặc trưng f t  A( ) 0 ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2 Vậy ma trận A

có hai giá trị riêng là  1;  2 Khi tìm cơ sở của các không gian riêng E A(1) và E  A( 1) ta được:

Cơ sở của E A(1) là 1

1 1 1

Vậy f không chéo hóa được

Chú ý:

Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính f V: V , ta quy về việc nghiên cứu ma trận

của f Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo Để

tìm cơ sở này ta thực hiện như sau:

- Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f

- Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

- Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở

B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo Cụ thể:

2 /

a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm f x x x( ,1 2, 3)

b) Tìm một cơ sở của  3để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo

Do đó, f có hai giá trị riêng là   1, 3

Ứng với giá trị riêng   1, xét hệ pt:

Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là 1 (1, 0, 0);2  (0, 0,1)

Ứng với giá trị riêng   3, xét hệ pt:

Vector riêng ứng với giá trị riêng  3là 3 (3, 2,1)

Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở B (  1, 2, 3)là cơ

sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là:

Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận

2 Trong  3cho cơ sở gồm các vector u1 (1,1,1);u2   ( 1, 2,1);u3  (1,3, 2) Gọi

:

f    là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f u( )1  (0,5,3); (f u2)  (2, 4,3); ( )f u3  (0, 3, 2)

a) Hãy tìm công thức của f

b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo

Hãy tìm dạng chính tắc của các ma trận sau:

1) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K Chứng minh rằng

Sinh viên tìm ví dụ minh họa

2) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K Chứng minh rằng

c) Do A và B đồng dạng nên detAdetB Khi đó det A khác 0 khi và chỉ khi det B

khác 0 Do đó A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich

d) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để APBP1 Nếu A

AB AB AA  A BA A Do đó AB và BA đồng dạng

Sinh viên cho ví dụ minh họa

3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến thì AB và BA đồng dạng

4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính

a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này

là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan

b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ

sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan

7) Chứng minh rằng:

a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều

b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều

9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:

a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau

b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau

c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức

9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một

dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0

9.3 Giả sử A (aij)nn, A1,A2,,An là các cột của A Chứng minh rằng: det A 0

 hệ véc tơ A1,A2,,An là hệ véc tơ độc lập tuyến tính

9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không

là thay đổi hạng của ma trận đó

B

A

BA)BA)(

BA

BB.A3B.A3A)

vµ

E

A   là những ma trận không suy biến

9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:

a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó

b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại

9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu detA det(kA) Hãy tính k

9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên

;412

4B

;321

;314725

;131531

3

2A

asinacos

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho

E9X9XX

210

021

Giải các phương trình sau:

3x4

x32

13/2detx

3121

2

9.28 0

00

3x

0x4

a aaa

a aaa

x xxx

det

n 3

1 n

2 1 n 1

n

n 2

3 2

2 2 2

n 1

3 1

2 1 1

n 3

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

)3()2()1(1

)3()2()1(1

)3()2()1(1

)3()2()1(1

)3()2()1(1D

222

654373461

D  ; b/

0x xx1

x0 xx1

xx 0x1

xx x01

11 110

Dn 

9.34 a/

541

2 4 8 34

1291

2673

D  ; b/

x0 00a

1x 00a

00 x0a

00 1xa

00 01aD

n

1 n

2 1 0

1 n

n 4444

n 4333

n 4322

n 4321

2 4222

2 2322

2 2222

2 2221

10)

00351

00120

22300

11213



210000

1090000

861600

15120

3

200021D

124

2

0121

11000

11100

11110

11111

142

213

23 6B

;231

12

;930

433

154

9B

;102

111

213

1 100

1 110

1 111

2n 100

1n 210

n 321B

9.42 Với giá trị nào của  thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:

13

451

1212

9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(AB)rankArankB

9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ

a/ A1 ( 1,0, 3,1); A 2(1, 2,1,3); A 3(2,1,1, 1); A 4 (4, 3,3,5) 

b/ B1 ( 1,0, 3,2); B 2 (1, 2,1,0); B 3 (2,0,1, 1); B 4 (2, 3,3,1) 

9.48 a/ Cho hệ véc tơ A1(2,3,5); A2 (3,7,8); A3(1, 6, ); X  (1,3,5) Tìm giá trị của  để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3 b/ Cho hệ véc tơ

Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3

9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:

9.50 Cho A ,A ,1 2 ,Am là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính Nếu mỗi véc

tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

9.51 Cho A ,A ,1 2 ,Am là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

rankA , theo định nghĩa hạng của ma trận thì detA0 □

9.5  Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại B 1 Xét ma trận ghép AB 1, nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được B.AB1  B.AB.B1B.AE Đó chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận B 1 nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A  rankB.ArankA

Để chứng minh rank A.B rankA, ta lấy chuyển vị B, (B 1) vµA  aji nm

9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi

dấu tất cả n dòng của định thức Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng của định thức làm cho định thức đổi dấu Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n làm cho định thức được nhân với n

( 1) b/ Đối với định thức cấp chẵn ( n 2k ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 cho nhau; … dòng k và dòng k 1 Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với k

( 1) Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu

Đối với định thức cấp lẻ ( n 2k 1  ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2 Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k 1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với k

( 1) Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu

Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các định thức cấp 4k và 4k 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2  sẽ đổi dấu (k nguyên dương)

det(kA)k det A nên n

k det Adet A Nếu det A 0 thì det(kA) det Ađúng với mọi k Còn nếu det A 0 thì n

 Do det A20  tồn tại ma trận nghịch đảo A  A.A E 

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho

E

BA

AB  , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B

Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp Giả sử A  aij n n; B  bij n n; AB  cij n n; BA  dij n n

(với điều kiện a1, a2, …, an–1

là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm Dễ dàng thấy x10, x2 a , x1 3 a ,2 , xn an 1 là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □

9.33 a/

556275363

22

1 x x 0 x

1 x x x 0

dòng từ thứ hai trở đi, ta được:

1 0 0 x





 chính là Dn 1 Thay vào (*1), ta được công thức:

9.34 a/  Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0

9.34 b/ 

x0 00a

1x 00a

00 x0a

00 1xa

00 01aD

n

1 n

2 1 0

1 n

đã đúng với n 2 Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì

n 4444

n 4333

n 4322

n 4321

22 322

22 22)2(

22 221

0

03n 00

0

00 10

0

22 22

2

11 11

03n 000

00 200

00 010

11 111

11000

11100

1111

Từ đây suy ra bài 9.41.c: BX C với

9.45 Nhận xét: “Ta dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của

nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1”

Giả sử A (A ,A ,1 2 ,A )n là ma trận mà Aj là cột thứ j của ma trận A ( j 1,n )

Do rankA rank A ,A , 1 2 ,Anr  tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại

của hệ véc tơ A ,A ,1 2 ,An ( rn) Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ

đó là r véc tơ đầu tiên: A ,A ,1 2 ,Ar 

Theo nhận xét: mỗi ma trận trong số

tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh

9.46 Giả sử A ,A ,1 2 ,An là các cột ma trận A; B ,B ,1 2 ,Bn là các cột của ma trận

B Giả sử rankA  r rank A ,A , 1 2 ,Anr  tồn tại hệ con r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ A ,A ,1 2 ,An Không làm mất tính tổng quát, có thể giả thiết r véc tơ đó là hệ r véc tơ đầu tiên của hệ: A ,A ,1 2 ,Ar (rn) 

9.47 Ta biết rằng: “Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là

hệ véc tơ độc lập tuyến tính; còn nếu hạng của một hệ véc tơ ít hơn số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính” Vì vậy ta chỉ cần tính rank A ,A ,A ,A 1 2 3 4

b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ A ,A ,A ,A1 2 3 4, do hạng của một ma trận bằng hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của

 (định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần

tử trên đường chéo chính)  rank A ,A ,A ,A 1 2 3 4rankC rankF 4, hạng của hệ véc tơ A ,A ,A ,A1 2 3 4 bằng số véc tơ của hệ  hệ véc tơ A ,A ,A ,A1 2 3 4 là hệ véc tơ độc lập tuyến tính

9.48 a/ Véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3  tồn tại các số thực thì rank A ,A ,A 1 2 3rank A ,A ,A ,X 1 2 3  Nhưng rank A ,A ,A ,X  1 2 3 

tơ A1,A2,A3 là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ A ,A ,A ,X1 2 3 

với mọi   véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3 với mọi 

9.49 a/ Xét ma trận A mà các cột của nó là A ,A ,A ,A1 2 3 4 và biến đổi:

 rank X ,X ,X ,X 1 2 3 4rankX 3 và hệ véc tơ X ,X ,X1 2 3 là một

cơ sở của hệ véc tơ X ,X ,X ,X1 2 3 4, đồng thời X4  X1X2X3

9.50 Xét ma trận cấp m n tạo bởi hệ véc tơ A ,A ,1 2 ,Am, do hệ này là hệ độc lập tuyến tính nên nó có hạng là m  ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có ít nhất một định thức cấp m khác 0 Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ n 1 , nó vẫn có ít nhất định thức cấp m khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên Vì vậy ma trận mới vẫn

có hạng là m  hệ m véc tơ mới vẫn có hạng là m  hệ véc tơ mới vẫn độc lập tuyến tính

9.51 Cách 1: Cho A ,A ,1 2 ,Am là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là phụ thuộc tuyến tính Vì nếu hệ mới là độc lập tuyến tính thì theo bài 9.50, hệ cũ là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ mới là phụ thuộc tuyến tính

Cách 2: Hệ A ,A ,1 2 ,Am phụ thuộc tuyến tính  rank A ,A , 1 2 ,Amm 

ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m  cấp của định thức con cấp cao nhất trong

số các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n  cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được Vì vậy

ma trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m  hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp hơn m  hệ véc tơ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính

Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ

Bài 1: Khái niệm Không gian vectơ

1 Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một K-không

gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một

phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Tính giao hoán của phép cộng: 2

4  x V,tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là xthỏa mãn: x  ( x)  0;

- Các phần tử 0 trong điều kiện (3) và phần tử xtrong điều kiện (4) là duy nhất

- Các phần tử của V được gọi là vectơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ x y z, , , Các

phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và ký hiệu là các chữ Hy Lạp nhỏ   , , ,

- Nếu K thì ta gọi V là không gian vectơ thực, còn nếu K   thì ta gọi V là không gian

vectơ phức

- Ta định nghĩa phép trừ vectơ bằng công thức sau: xy  x ( y)

- Luật phân phối đối với hiệu: ()xxx;

(xy) xy.

3 Ví dụ:

- Trường K là một không gian vectơ trên chính nó, tức là mỗi phần tử của K vừa đóng vai

trò là một vectơ, vừa đóng vai trò là một vô hướng

- Cho n {( ,x x1 2, ,x n) |x i  } với các phép toán

- Tập hợp M(m, n, K) với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành một không gian vectơ trên K

- Tập hợp K[x] các đa thức một biến với hệ số trên trường K cùng với phép toán cộng đa

thức và nhân đa thức với một số K tạo thành một không gian vectơ trên trường K

- Gọi tập hợp n[ ]x là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng

n, trong đó n là số nguyên dương

Ký hiệu K x n[ ] {  fK t[ ] | degf n}, với deg f là bậc của f

(Sinh viên tự chứng minh các tính chất trên như là bài tập.)

Bài 2: Không gian vectơ con

1 Định nghĩa:

Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W

2 Định lý:

điều kiện sau đây được thỏa:

Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau:

3 Ví dụ:

1 Cho V là một không gian vectơ trên K thì V cũng là không gian vectơ con của V

2 Tập   cũng là một không gian vectơ con của V, được gọi là không gian không (hoặc

không gian con tầm thường)

3 Với 2

V   và W  {x ( , 0) |x1 x1  } thì W là không gian vectơ con của V, thật vậy:

uau bu cu  x ( , 0),x1 y ( , 0)y1 W,    ta có:x y (x1 y1, 0) W

4 Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian con của V

5 Ví dụ: Trong  3ta xét hai tập hợp sau:

1 {( , , 0) | , }

W  x y x y  và W2  {( , 0, ) | ,x z x z  }

Khi đó ta có thể kiểm tra được W W1, 2là các không gian con của  3

Đồng thời W1W2  {( , 0, 0) |x x  }là không gian con của  3

Tuy nhiên W1W2  {( , , ) |x y z y 0hay z = 0}, không phải là không gian con của  3

Bài 3: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính:

1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v v1, 2, ,v nlà các phần tử

của V Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, 2, ,v n nếu tồn tại các vô

hướng  1, 2, ,nK sao cho v1 1v 2 2v  n n v

u u u , hoặc ta có thể nói u biểu thị tuyến tính được qua các vectơ u u u1, 2, 3

ii) Cho V K3, v (4, 0,3); v1 (1, 0,1); v2  (2,1, 0); v3 (0,1,1). Khi đó, vectơ v là tổ hợp

tuyến tính của các vectơv v v1, 2, 3vì v 2v1v2v3

Mặt khác, vectơ u (4, 2, 2)không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u 1 (1, 2, 0);

ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ

2 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:

2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ v v1, 2, ,v n của không gian vectơ V trên trường K được gọi

là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng  1, 2, ,n K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: 1 1v 2 2v  n n v  0 Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập

2.3 Ví dụ: Trong  4cho hệ vectơ 1 (1, 0,1,1); 2  (0,1, 2,3); 3  (1, 2, 3, 4) Hệ trên độc

lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

và rankA = 3, nên hệ phương trình

trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính

Do rankA rankA nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vector v v1, 2, ,v m

u u u  khi đó hệ ba vector trên là phụ thuộc tuyến tính

Sinh viên có thể nhận xét do vector u3là tổ hợp tuyến tính của hai vector u u1; 2nên hệ 3 vector này phụ thuộc tuyến tính

Bài tập: Sinh viên hãy vận dụng nhận xét trên và kiểm tra xem các họ vectơ được nêu sau

đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

Sinh viên tự chứng minh định lý như bài tập nhỏ

3.2 Hệ quả: Trong các vectơ u u1, 2, ,u nV nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này phụ thuộc tuyến tính

 Nếu một phần của họ các vectơ u u1, 2, ,u nV phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính

  v V thì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0

 Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ

Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cho một họ

bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V

3.3 Định nghĩa: Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là phụ thuộc

tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính của V

Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vectơ của V gọi là độc lập tuyến tính, nếu mọi

họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính

Bài 4: Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

1 Hệ sinh:

1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V Ta gọi tập hợp các tổ hợp

tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S) S được gọi là hệ

sinh của V nếu E(S) = V Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng

là hệ sinh

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không

gian hữu hạn chiều

Do đó, nếu cho S { ,u u1 2, ,u n} V,S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:

e  e  e  là một cơ sở của không gian vectơ n

3 Tập các đơn thức { |t n n 0} là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t]