Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương

Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.. C

Ta nói dãy số có giới hạn là (hay dần tới ) khi nếu

Kí hiệu: hay khi

2 M ột vài giới hạn đặc biệt

a) với nguyên dương;

c) Nếu ( là hằng số) thì

Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là

I – GI ỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Cấp số nhân vô hạn có công bội , với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

1 Định nghĩa

Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ

một số hạng nào đó trở đi

Dãy số có giới hạn là khi , nếu

2 M ột vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) với nguyên dương;

B CÁC D ẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 các ví dụ minh họa

2 2

1 2n

n 1

Ví d ụ 2 Chứng minh rằng dãy số (u ) : un n= −( 1) khơng cĩ giới hạn n

Ví d ụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

1 limn2+1= +∞

− = −∞

2 nlimn

1i Bài tập tự luận tự luyện

cosn sin n

n 1 3

+ =+

4n 1

D lim

n 3n 2

Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u ) : un n = −( 1) n khơng cĩ giới hạn n

Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:

Tµi liƯu to¸n 11 n¨m häc 2018

1 Nếu dãy số (x )n cĩ giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình  + + + 

x x x

n cũng cĩ giới hạn là a

2 Dãy số (x )n thỏa mãn điều kiện 1 x< 1<2 và xn 1+ = +1 xn−1x , n2n ∀ ∈*

2 Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ Tìm lim xn

1 các ví dụ minh họa

Ví d ụ 1 Tìm các giới hạn sau :

=

+2

1i Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1 Tìm các giới hạn sau :

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

Khi tìm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đĩ là bậc lớn nhất của tử và mẫu

Khi tìm trong đĩ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn

V ấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

3 nulim

n

5 Cho dãy số (u )n xác định bởi : un= n 2 2 n 1+ − + + n Đặt Sn=u1+u2+ + un Tìm lim Sn

6 Cho dãy (u )n xác định như sau:

u

7 Cho dãy số (u )n với un =4n 1n+

2 Dãy (s )n được cho bởi

2 Tính

→+∞∑=n +i−

n i 1 i 1

ulim

u 1

Bài 10

1 Cho dãy số (x )n được xác định như sau:x1=1,x2=2,xn 2+ = xn 1+ + x , n 1n ∀ ≥

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó

n Chứng minh rằng dãy (u )n có giới hạn hữu hạn

3 Cho dãy số (u )n được xác định bởi:

Chứng minh rằng dãy (u )n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

4 Cho dãy số (u )n thỏa: un+un 1+ ≥2un 2+ và dãy (u )n bị chặn Chứng minh rằng dãy (u )n tồn tại giới hạn hữu và tìm

giới hạn đó

5 Cho dãy (u )n được xác định bởi:

+ +

x 4x 3x Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn trên.

Bài 11 Cho dãy số (x )n xác định như sau: = + = ∀ =

1 Đặt un =x , n 1,2,3, 2n ∀ = Chứng minh dãy (u )n có giới hạn hữu hạn

2 Chứng minh rằng dãy (x )n cũng có giới hạn hữu hạn

Bài 12 Tìm lim un biết:

Bài 13 Cho dãy số (x )n thỏa mãn xn=2n a 8n+ 3 3+ ∀ ∈1 n N , a là số thực cho trước

1 Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn

2 Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Bài 14 Cho số thực α và xét dãy số (x )n với

1 Với α ∈(1;2) Chứng minh 1 x< n<2 với mọi ∈n * và (x )n là dãy số giảm

2 Với α ∈ +∞[1; ) Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (x )n

Bài 15

1 Gọi (u )n là dãy số xác định bởi u1=4; un 1+ = − +4 8 3un

9 9 9 Tìm lim un

2 Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f 4x( )≥ +4 4 12f 3x 9f 4x ( )− ( )

Chứng minh: f x( )≥un∀ ∈n ;x∈ Từ đó hãy suy ra f x( )≥ 4

u 2 Tìm n

x có giới hạn và tìm giới hạn đó

4 Cho a,b∈,(a,b) 1;n ab 1,ab 2, = ∈{ + + } Kí hiệu rn là số cặp số (u,v)∈× sao cho n au bv= + Chứng minh rằng

n

(2 cos2 )x cos(x ) : x 1; x

(2 2cos2 )x 2 cos2 trong đó α là số thực Đặt n =∑=n + ∀ ≥

để dãy số (y )n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

2 Cho c là một số thực dương Dãy (x )n được xây dựng như sau: xn 1+ = c− c x , n 0,1,2 nếu các biểu thức + n =dưới dấu căn không âm Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x0∈( )0;c , dãy (x )n xác định với mọi n

và tồn tại giới hạn hữu hạn

1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện

V ấn đề 1 DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Câu 1 Kết quả của giới hạn lim sin 5 2

3

n n

Câu 2 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

n n

u n

Câu 11 Giá trị của giới hạn lim 1



 và

2 .2

n

v n

.2

an

 



 Để dãy số đã cho cĩ giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

n n n L

Câu 23 Kết quả của giới hạn lim 22 3 3



 là:

A 0 B  C  D 3

.4

Câu 25 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A

3 2

n n



 

C

3 2

2 3

n n n

2

n

u n

5 5

n

n u

2

5 5

n

n u

2

2 1.2

5 1

n

u n

C limu n   D Không tồn tại lim u n

Câu 33 Giá trị của giới hạn 2

   

 bằng:

A 1.

1

1.4

Câu 34 Giá trị của giới hạn lim 12 22 n 21

Câu 39 Giá trị của giới hạn

Câu 40 Cho dãy số có giới hạn  u n xác định bởi

1

1

2

.1

n n

u u

A limu n  1 B limu n  0 C limu n 2 D

Câu 42 Kết quả của giới hạn lim 9 2 1

4 2

n n n

Câu 43 Kết quả của giới hạn 2

4

2 1lim

3.3

.2



Câu 44 Kết quả của giới hạn lim 2 3

2 5

n n



 là:

A 5

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

P

Câu 50 Kết quả của giới hạn lim 200 35  n52n2 là:

A  B 1 C 0 D 

V ấn đề 2 DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 51 Giá trị của giới hạn lim n 5 n bằng: 1

Câu 60 Cho dãy số  u v n ới u n  n2an 5 n2 , 1

trong đó a là tham số thực Tìm a để lim u n  1

3 B  C 0 D 1

Câu 63 Giá trị của giới hạn lim3n32n2 bằng: n

A 1

3 B

2.3

3 D

1

n  n  là:

A 1 B 0 C  D 

Câu 69 Giá trị của giới hạn lim 9 2 2

1lim

1

n  n là:

A 2 B 0 C  D 

Vấn đề 3 DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA

Câu 71 Kết quả của giới hạn lim 2 5 2

 C 1

2 D

3.2

b n

Câu 77 Kết quả của giới hạn lim 3 n 5n

4 2lim

2 B 3 C 5 D  1

Câu 84 Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc 0;20 sao 

cho

2 2

1 1lim 3

an n

ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 9

4 Số hạng đầu u 1

của cấp số nhân đó là:

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

S     

A S 3 B S C 4 S D 5 S 6

Câu 90 Tổng của cấp số nhân vô hạn   1

11

1 1 1, , , , ,

2 6 18 2.3

n n







bằng:

A 3

8

2

3.8

Câu 92 Giá trị của giới hạn

b a



1.1

a b

S

x

.cos

M  m m m 

2 31

M N



MN A

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

2 2

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví d ụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

1 limn2+1= +∞

− = −∞

2 nlimn

Do đó: limn2+1= +∞

2 Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta có: >

cosn sin n

n 1 3

+ =+

4n 1

D lim

n 3n 2

Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u ) : un n= −( 1) n không có giới hạn n

Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

4 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM >M 1−

3n n 3n 1 M n n

nn

1 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử =a 0

Với mọi ε > 0 tồn tại n0∈* sao cho với mọi ≥n n thì 0 un <ε

2

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

2 nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có lim x( n− 2)= ⇒0 lim xn= 2

u c; u f(u ), n 2,3, có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình f(x) x =

Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình f(x) x có nghiệm là 2 nên ta mới đi chứng minh = lim xn = 2 Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

+ + + + = −

1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1Vậy =  − =

CÁC BÀI TOÁN LUY ỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau :

5 A lim n= ( 3−2n 1 + ) 6 =  + − + 

2

B lim n n 1 n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

n k

Bài 7 Tìm các giới hạn sau:

3 n

ulim

u

7 Cho dãy số (u ) với n un =4n 1n+

2 Dãy (s ) được cho bởi n =

∑n i 2

n i 1 i

u 2lim

u 1

Bài 10

1 Cho dãy số (x ) được xác định như sau: n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

n Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn n

3 Cho dãy số (u ) được xác định bởi: n

Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n

4 Cho dãy số (u ) thỏa: n un+un 1+ ≥2un 2+ và dãy (u ) bị chặn Chứng minh rằng dãy n (u ) tồn tại giới hạn hữu và tìm ngiới hạn đó

5 Cho dãy (u ) được xác định bởi:n

+ +

x 4x 3x Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn trên.

Bài 11 Cho dãy số (x ) xác định như sau: n

1 Đặt un =x , n 1,2,3, Chứng minh dãy 2n ∀ = (u ) có giới hạn hữu hạn n

2 Chứng minh rằng dãy (x ) cũng có giới hạn hữu hạn n

Bài 12 Tìm lim u biết: n

n k 10 un=n dau can2 2 2

Bài 13 Cho dãy số (x ) thỏa mãn n xn=2n a 8n+ 3 3+ ∀ ∈1 n N , a là số thực cho trước

1 Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn

2 Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng

Bài 14 Cho số thực α và xét dãy số (x ) với n

x x 2x 2 (n∈* )

1 Với α ∈(1;2) Chứng minh <1 xn<2 với mọi ∈n * và (x ) là dãy số giảm n

2 Với α ∈ +∞[1; ) Tùy vào giá trị của α, tìm giới hạn của (x ) n

Bài 15

1 Gọi (u ) là dãy số xác định bởi n u1=4; un 1+ = − +4 8 3un

9 9 9 Tìm lim u n

2 Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f 4x( )≥ +4 4 12f 3x 9f 4x ( )− ( )

Chứng minh: f x( )≥un ∀ ∈n ;x∈ Từ đó hãy suy ra f x( )≥ 4

x có giới hạn và tìm giới hạn đó

4 Cho a,b∈,(a,b) 1;n= ∈{ab 1,ab 2, + + } Kí hiệu r là số cặp số n (u,v)∈× sao cho n au bv Chứng = +minh rằng

n 1 n 1

n

(2 cos2 )x cos(x ) : x 1; x

(2 2cos2 )x 2 cos2 trong đó α là số thực Đặt n =∑=n + ∀ ≥

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

2 Cho c là một số thực dương Dãy (x ) được xây dựng như sau: n xn 1+ = c− c x , n 0,1,2 nếu các biểu thức + n =dưới dấu căn không âm Tìm tất cả các giá trị của c, để với mọi giá trị ban đầu x0∈( )0;c , dãy (x ) xác định với mọi n n

và tồn tại giới hạn hữu hạn

ĐÁP ÁN Bài 1

nn

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

11 Ta có:

++

n

n n n

1 Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho = n , ta được k

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

3 Ta có:

++

11

1n

2 Từ công thức truy hồi ta có: xn 1+ >x , n 1,2, n ∀ =

Nên dãy (x ) là dãy số tăng n

Giả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại n lim xn =x

Với x là nghiệm của phương trình : =x x2+ ⇔ = <x x 0 x vô lí 1

Do đó dãy (x ) không bị chặn, hay n lim xn = +∞

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

2011 2011 , suy ra dãy (u ) là dãy tăng n

Giả sử dãy (u ) bị chặn trên, khi đó tồn tại n lim un = >x 1

Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n

• Ta chứng minh dãy (x ) là dãy tăng n

2 Ta chứng minh dãy (u ) tăng và bị chặn trên n

• Chứng minh dãy (u ) tăng, tức là: n

n 1 n , dãy (u ) là dãy tăng n

• Chứng minh dãy (u ) bị chặn trên bởi 3 n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

n , suy ra dãy (u ) bị chặn trên n

Vì dãy (u ) tăng và bị chặn trên nên dãy n (u ) có giới hạn hữu hạn n

3 Xét hàm số = − +

+ +

2 2

x x 3f(x)

Vậy dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và n lim un =1

4 Xét dãy (v ) : vn n=max u ,u{ n n 1+ }, ta có dãy (v ) bị chặn n

Từ giả thiết ta suy ra: max u ,u{ n n 1+ }≥un 2+ ⇒max u ,u{ n n 1+ }≥max u{ n 1+ ,un 2+ }

Do đó dãy (v ) là dãy số giảm, từ đó suy ra tồn tại n lim vn =l

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

nlim u nlim u t , hai dãy con đó có cùng giới hạn là t

Ta thấy, t phải thỏa mãn đẳng thức: = + + ⇔ − =

+ +

2

3 2

Phương trình (*) đó có đủ 3 nghiệm nên nó không có nghiệm >t 2

Trong các nghiệm này, chỉ có t 2cos= π∈ 1;2

9 thỏa mãn và đây cũng chính là giới hạn cần tìm

Vậy dãy số u có giới hạn hữu hạn và n

(do yn 1+ >y ) suy ra n yn 1+ ≤min x{ 2n 1 2n+ ;x }

Vậy khẳng định được chứng minh

(1 x ) 4 (3)

Từ (1), (2),(3) ta suy ra được dãy (u ) : un n =x là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 nên dãy 2n (u ) có giới hạn n

2 Theo chứng minh trên ta có dãy (x ) hội tụ tới 2n l 1

Tương tự ta cũng chứng minh được dãy (x2n 1+ ) cũng hội tụ tới giá trị l 2

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

• Nếu α > 2 ,ta chứng minh được xn > ∀2, n và (x ) tăng n

Khi đó giả sử x bị chặn trên thì dãy sẽ có giới hạn là =n L 1,L 2 (cả hai giá trị này đều loại do = x tăng và n x1>2 )

Vậy trường hợp này lim xn = +∞

Thật vậy, từ 9f(4x) 4 4 12f(3x) 9f(4x), x≥ + − ∀ ∈

⇒9f(4x) 4, x≥ ∀ ∈ ⇒ f(x)≥4

9 (1) Lại có 9f(4x) 4 4 12f(3x) 9f(4x) − ≥ −

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Theo nguyên lí quy nạp khẳng định trên được chứng minh

a) Theo chứng minh trên suy ra x2n> ⇒1 xn >1

Ta chứng minh { }M là dãy số giảm và n { }m là dãy số tăng n

Thật vậy, ta sẽ chứng minh an 4+ ≤max a{ n 1 n 3+ ,a + }

Do đó dãy { }M là dãy giảm n

Tương tự ta chứng minh được dãy { }m tăng n

Hai dãy số này đều bị chặn nên hội tụ

Cuối cùng, ta chỉ còn cần chứng minh hai giới hạn bằng nhau

Suy ra dãy (a ) hội tụ và n liman =1

Nên dãy (x ) là dãy tăng n

Giả sử dãy (x ) bị chặn trên, suy ra tồn tại n lim xn= >x 0

Ta có phương trình: =  + + ⇔ =

21

Do vậy, ta có được: lim xn = +∞

Từ công thức truy hồi, ta có được:

Gọi (u ,v ) là một nghiệm nguyên dương của (1) Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên dương khác 0 0 (u ,v ) của (1) 0 0

Ta có au0+bv0 =n,au bv n suy ra + = a(u u ) b(v v ) 0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho − 0 + − 0 =

Gọi >a 0 là nghiệm của phương trình : x2+ + − =x 1 c 0

Ta chứng minh: lim xn=a Thật vậy:

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

k

n n

n 

Ta có lim cos1 cos 0 1

n  nên bài toán trở thành tìm k sao cho

*

1 2

, 3

2

k k

        không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn) Chọn A

Câu 3 Ta có 3sin 4 cos 7 7 0

m2

01

n

v n

Q n  b n , viết tắt  

 

m m k k

Câu 8 Ta có

2 2

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Giải nhanh : Dạng « bậc tử »  « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0

Câu 16 2 2 2  

2

1 24

.2

3

11

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

1 3

33

n

n n

n

n n

lim

21

lim

23

n

n n

lim

31

a b

lim lim lim

n

a n

b n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Câu 44

32

a

S b

b a

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

 

3 3

n n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

Câu 76 Giải nhanh: 3 222 2 3 4 4 1

3

n n

3

n n

2 3 10

222

n n

n n n

n

n n

n n

a a

a a

21

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

133

n

CSN lv n

h u q n

1

1

1, 3

CSN lvh u

n n

1 : 3 :

1 13

2 : 1, s

11

n N

N n

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

4950

a

T b

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên

Ta nĩi hàm số cĩ giới hạn là số khi dần tới nếu với dãy số bất kì,

và , ta cĩ Kí hiệu: hay khi

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018

a) Với là hằng số và nguyên dương, ta luôn có:

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn còn đúng khi hoặc

II – GI ỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

2 M ột vài giới hạn đặc biệt

a) với nguyên dương b)

III – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

B CÁC D ẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa :

1i Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa

x 1

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

Dấu của

Tùy ý

3 M ột vài quy tắc về giới hạn vơ cực

Vấn đề 1 Tìm giới hạn bằng định nghĩa