Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – trần quốc nghĩa

Ham sé Fx là nguyên hàm của hàm số ƒ x trên K nếu #x= ƒx với mọi xeK.. Định lí 2: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.. Ki hiéu: Néu ham Fx là một nguyên hàm của hàm a tr

Trang 1

Gv: TRAN QUOC NGHia

Trang 2

* Cho ham f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của

R) Ham sé F(x) là nguyên hàm của hàm số ƒ (x) trên K nếu #(x)= ƒ(x) với mọi

xeK

® Trong trường hợp K ={[a;b]:

F{(+) là nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn [a;b]

F{x) là nguyên hàm của ƒ (x) trong (4; b)

©‡F(a)=f(a)

F’(b) =f (0)

2 Dinh lil:

Cho F(x) la một nguyên hàm của hàm ƒ(x) trên K thì ta có:

*Ƒ(x)+C cũng là một nguyên hàm của ƒ (x) trên K (C: hằng só)

* Nếu G(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì: G(x)= F(x)+€ (với C là hằng số)

3 Định lí 2: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

1 Ki hiéu:

Néu ham F(x) là một nguyên hàm của hàm a trên K thì

f f (x x)+C

Trong dé: * f(x) : hàm dưới tích phân

*ƒ(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân

Trang 3

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 - NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 2

——_ | Đạng 1: Đừng định nghĩanguyênhàm, A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

6) (tanx) =1+tan? x= 19) tanw) =(1+tan u) a = -

7) (cotx) =—(I+cot x)= = sin? x 20) (cotw) =—(1+cot? w).u’ = — sin’ u

8) (a'} =a*.na 21) (a") =ua".Ina

9) (e*) =e" 22) (e") =u'e"

Trang 4

Ví dụ 3 Chứng minh các hàm số F(x) =heos2e+ 8, G(x) =-cos?x+V2, H(x)=sin? x-4 là

những nguyên hàm của hàm số ƒ (x)= sin 2x

Trang 5

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 - NGUYÊN HAM-TICH PHAN-UNG DUNG 4

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

SỬ DỤNG BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

25 J (1+ tan? x)dx=tanx+C 26 [[L+tan (ax+b)]av=—-tan(ar+b)+€

a

29 J (I+ cot? x)dx=—cotx+€ 30 [[1+cor? (ax+b)]dx=—+-cot(ax+b)+C

Trang 6

3(2t- `

Trang 7

C BAI TAP TỰ LUYỆN

| Bai 3 Tính các nguyên hàm sau:

| al= (Zea) b i-|ay ẲẶ '-Í St: d laa

e ni f 1= far g 1= fae, h 1 = [6tan3udu

i 1=f(I+cot*7x)dx j t= [55 k 1=[2"ax L ![ Sức

Trang 8

s Để tính | f (x) dx, ta phân tích f (x) thành tổng, hiệu các hàm số có tỏng bảng nguyên

hàm, rồi dựa vào tính chat {[m.f (x)+n.g(x) ]dx =m] f (x)dxtn] g(x)dx va bing

công thức nguyên hàm đê tính

+ Đối với một số hàm hữu ti:

P(x) Q(x)

> Tinh nguyén ham / =| dx voi P(x) va Q(x) la cdc da thitc kh6ng can

S

> Phương pháp giải:

® Nếu bậc của tử số P(x)> bậc của mẫu số @(x) — “”—> Chia đa thức

đó:

®_ Nếu mẫu số phân tích được thành tích s6, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức đê đưa về

dạng tông của các phân sô Một sô trường hợp đồng nhât thức thường gặp:

(ax+m)(bx+n) an—-bm \(ax+m bx+n

(x-a)(x-b) x-a x-b — (x-a)(x-b) Ab+Ba=-n

(x—m) (ax? +bx+c) x—m ax’ +bx+c

(x-a) (x-b) x-a@ (x-a) x-b (x-b}

e© Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng

a 1 = | x(3x*-2)dx b)/=ƒ(r-3)(4”-l)di — oo) = fa e

d) J = [ sin’ xdv e) I = [tan’ xdt Di =[(3cosx=3"')dx

eee ee eee eee ccCCốốốốCốC

Trang 9

Hs 0Ó HH ĐÓ C9 000004000000000060004000000600000046000400000040000904000000006000000000004000004040040000000404000040000000009400090000040004000006000000040060004000000004400094040000990 01906096

¬ `.` cố

HH ĐÓ R66 6606400040600009600006004000009400094400444000000004000000000004000006000000009000404000040009000000004040400004004000400009000040000090000600000400000009000000000400040046460460900 06

¬ Ố.Ố.s

CO eee meee eee eee ee eet eee eee ee ee eae eee EEE EEE EEE EE EEE EEE EE EE SHEE EEE SHEE EEE EEE EEE EE EEE REESE EEE EE EEE EE EERE EEE E EERE EE EE EEE EEE EE EEE Eee Ee Ee eEEseenes PRO e eee ee eee memes sees ee eee eee HOE E EE EEE EE EE EE EEE SESE EES EEEEEEESE EES ESSE EE EE SEES E EE DEO EEEEEE ESSE SESE EEESE DEE EEEE EES EE SESE EEES ESE SESE EE HEE SESE EE EEEEEEEEEEEEEEESS TREN e Ố.Ố Ố `.` `.`.``.ố.`.ố

SOR e nee meee meee etme eee tee E Eee ee ee EEE EEE EE EE EEE EEE SHOE ESE EE EEE SE SHEE EEE S ESE ESE HESS ESSE SHEESH OEE EEEE EEE EE EEE EEEE EERE EE EE EEE EEE EH EEE EEE EE EE HESS EEE EEES

Trang 10

dl = [sin xcos xdx e)1Ú =f cos? xdx f) T=fe ear

Bai5 Tính các nguyên hàm sau:

Trang 11

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 - NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG

s Y tưởng của phương pháp đôi biên sô là: Đặt ¢ nhu thé nao dé thoa 2 dieu kién:

1 Định lý: Nếu : =w(x) có đạo hàm liên tục va srl t)dt=F(t)+C thi

® Phân còn lại của biêu thức thê ? vào được

s* Một số dang đỗi biến loại 1, đặt ¿ = (+):

=| f(ax+b)" xdx —*> t=ax+b> dt=adx

1=[ ƒ(a+blnx)-—-dx cát ng

x

° 1=Jf(e') Hig Po pod

t= Jf (cosx)- sinxdx —“+> t=cos x= dt =-sin xdx

l= Jf (sinx) )-cosxdx —“—› /=sinx = dt =cos xdx

ow = J ¢ (sin? x;c0s” x) sin 2xdx —P» t=cos’ x=> dr

1 =] (sin x+cos.x)(sin x cos x) dx —? » t=sinxtcosx

Một số dạng đổi bién loai 2, dit x = g(t):

° 1=[r(de+a']-x”ax — “>> x=a.tanr>dx= sơ

i (x-a) "Vax? +bx+e

° I=[R oe see ax+b |dx —” f"=ax+b với n= B.C.N.N{n:n;: :n,}:

=u Tà sau đó thế một lúc z và d¿ vào biểu thức dưới dấu

Trang 13

a) [= f(x -1)(x° -3x)' de b) T= Ju? (w-3)du c) 1=[x(I—x)”)dx

a) 1=Jx(x° +1) de ©) ifr (x-1) dx 91=[x(a-3#} a&

Trang 14

vi+Inx x log) x xVI+3ln” x

cos’ x g) I=

l+cosx a) p= [2B 28S ay

1+cosx sin x+sin3x

Trang 15

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 - NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 14

s* Phương pháp tích phân từng phần thường dùng để tính các tích phân mà hàm số dưới

dấu tích phân cĩ dạng tích của hàm đa thức với hàm lượng giác, hàm đa thức với hàm logarit, với hàm mũ Lưu ý khi đặt:

® Đặt # sao cho dễ lấy đạo hàm và theo thứ tự ưu tiên:

lò/ln —> đa thức —> mũ —> lượn;

Dat u=e", roi dp dung nhiéu lan

3 Mét sé dang khéng nam trong 3 dang trén:

Van dé then chốt của phương pháp tích phân từng phần là cách lựa chọn ham wu cho

thích hợp Hàm wu can chọn sao cho việc tính j»du 1a dé dang và cần đảm bảo sao cho

nếu như ta cần sử dụng nhiều lần cơng thức nguyên hàm từng phần, thì càng ngày việc

lấy nguyên hàm càng phải dễ đi

Trang 16

PRR eee ee eee EERE EEE Ee EEE EEE EE EEE TS EEE EEE EE EOE EEE EE EEE ESE EE REESE EEE EE EE EOE EEE EERE SHEET EEE

PRO R ERROR Eee ERE EERE EERO E HOSE EOE EER ER ESE ESEEEEE EEE EEEEE TEESE EEE EE EEES HESS EE EE EEE EEE EERE SEE ES EERE

Trang 17

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 13 Tính các nguyên hàm sau:

a) 1 = | (x+1)cosxdx b) 1 =f (2x-l)Inxde ©) 1=[(3x+2)e'dx

đ)7 =[xe dy el =f (2x? +3x)sin 2x dx hl =Je™ cos3xdx

#) J=[x”In2xdv h) 1 = [3x° cos2xdx i) 1=J(2x-1)In* xd

p 1=[(x+I)sin2xdx q) 7 =[ xe *dy T) 1 =[xeosxdx

s) I= J xsin Sax v) =[xIn(I~x)dx u) 1 =[ xsin” x dx

Bằng cách thêm, bớt một cách thích hợp vào biêu thức dưới dấu tích phân, ta đưa

nguyên hàm cần tính về dạng tổng hoặc hiệu các nguyên hàm cỏ bản dễ tính hơn

Trang 18

* A ” A ` se ue ;À tA , ek — 92A,

Tìm hăng sô Œ của nguyên hàm với các điêu kiện cho trước ta qui về việc giải phương trình dựa vào điêu kiện bài cho B TOAN MAU

Ví dụ 39 Tìm hàm số y = ƒ (x), biết rằng ƒ(x)=-3x”+2x và ƒ(1)=-2 cố C

¬

óc ốốC

¬

Ví dụ 40 Tìm hàm số y = f (x), biét rang f’(x) =2Vx-3¥x va f(1)=1 Ví dụ 41 Tìm hàm số y = f (x), biét ring f(x) =2sinx—3eos> va /(5)=% ¬ Ẳ Ẳ.Ẳ.Ô.ả.Ẳ.Ẳ.Ô.Ô.ÔẲ.Ẳ.Ẳ

¬

Trang 19

9y =sn(2:~Š], biết đồ thị hàm số y= F(x) đi qua gốc toạ độ

10) y=sin x.sin2x.cos3x, biết r(3) =Ữ:

File word lién hé: toanhocbactrungnam @ gmail.com MS: GT12-C3

Trang 21

20) |( Vee Jar

23) iG ~1+5 an

2) Joos’ xsin xdx 5) Joos xe™dy

17) rE 20) Í( te dx 23) jeos' xdx

26) J (sin x+cos* x)dx

cos 2x 29) Í= w

18) [cosxx/Sin x dx 21) fsin® xảy

Trang 22

©) tH[— E5 vay d) 1=fsin2x(1+sin? x) de

(sin.x+ cos x+2) e) 1 =[sin" xcos xdx

Trang 23

d)/= ) fal cos’ x 2cos”? x—I)d› ) x e) I=|x`:Inxdx fx nx f) [= [an : dx

ø) I=[(x~2)e*dv hy 7=ƒxIn(x”+1)dx

Cau 2 [2D3-1] Tính nguyên hàm của ham sé f (x) =e"?

A fri x arate" +, B vos )dv=e"P +

Trang 24

Câu 6 [2D3-1] Ham sé F(x) =sx-suin 4x+€ là nguyên hàm của hàm số nào sau đây:

Cau 11 [2D3-1] Tinh nguyén ham Joos 3xdx

A ~5sin3x+C B -3sin3x+C G ysin3x+C D 3sin3x+C

Cau 12 [2D3-1] Biét ff (udu =F(u)+€C Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ff (2x-I)dv=2F (2x-1)+C B | f (2x-I)dx=2F(x)-1+C

Câu 13 [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)= €°"

A ferar=te* +e, 2 B fe*dx=e*+C

Trang 25

Câu 15 [2D3-1] Hàm số # (x)=e'—cotx+€C là nguyên hàm của hàm số /ƒ (x) nào?

Câu 16 [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)=sin 2x

Câu 17 [2D3-1] Tìm nguyên hàm ctia ham sé f (x) =2**

A.[2”dx= *ực, B.[2*dx=^ In2 In2 C.[2*dv=^ + D [2*dy=^ +C In2 In2

Câu 18 [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)=5"

Inx

“

C [(x)dv=5"+C foo D [0= dr=——+C

Câu 19 [2D3-I] Công thức nào sau đây sai?

€ [2sin xdy =sin2x+C D [2sin xdy=~2cosx+C

Câu 22 [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ =r

Cau 24, [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x) — h

A In(2x-1)+C B Sin(2x-1) +¢ C In|2x-1]+C D Fin|2x-1 +c

Trang 26

Câu 25 [2D3-1] Hàm số F(x) ae là nguyên hàm của hàm số

ee

A f(x)=e™ B f (x)=2xe" G Z#(4)= a" D f(x)=xe" 1+;

Câu 26 [2D3-1] Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x)=e*

A e** B —e*" Œ: 222, Đ.eỶ

Câu 27 [2D3-1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Néu F(x), G(x) la hai nguyên hàm của hàm số ƒ(x) thì F(x)+G(x)=C, voi C là một

hằng số

B Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

dx = In|l-2x|+C D 1-2¢ f——dr=In 1 hee 1~2x

File word lién hé: toanhocbactrungnam@ gmail.com MS: GT12-C3

Trang 27

[2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x) = cosx+3sin x

A [7(x)dx=sinx+3cosx+C, B [Z(x)dx=sin x=cosx+C

[2D3-1] Phat biéu nao sau đây là đúng?

A f(r +1)ar-*e0 B f(x? #1) dx=2007 +)+C

E fener 2224240 - la a’ N D [(e+fare 242 +x 3 s :

[2D3-1] Cho ham sé y= f(x) liên tục trên R và thoả mãn Jf (2)de= 4x0 -3x7 +2x4C,

[2D3-1] Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn các điều kiện f’(x)=2+cos2x và /Ê) =2Z Mệnh

đề nào dưới đây sai?

Trang 28

[2D3-1] Hàm số y =sin x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

[2D3-1] Cho hàm số ƒ (x)= ; Néu F(x) là một nguyên hàm của hàm số và r[§)=0

sin? x

thi F(x)

[2D3-1] Phát biểu nào sau đây là đúng

A fe’ sin xdx =-e* cos.x+ fe" cos xdx B Je’ sin xdx =e" cos.x- fe" cos xdx

Gs fe sin xdx =e" cos.x+ fe‘ cos xdx D Je sin xdx =—e* cos.x— fe* cos xd

File word lién hé: toanhocbactrungnam@ gmail.com MS: GT12-C3

Trang 29

A 2in|2x+3|+C B 2In(2x+3)+€ C 2In|2x+3|+C D In|2x+3|+C

Câu 55 [2D3-I] Tìm Ỉ ae

2x+1

= ;+C B In|2x+l|+C G +in2x+l|+€ Dew? _ic

Câu 56 [2D3-I] Trong các hàm số sau:

(D) ƒ(x)=tan? x+2 (Il) f (x)= 2 (ID ƒ(x)=tan? x+1

cos* x Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số ø (x) = tan x

A (), (1), (ID B Chi (II), (IID C Chỉ (II) D Chỉ (1

Câu 57 [2D3-1] Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Jsin 2xdx = c08 2k (Ce R) B Jsin 2xdx = cos2x+C,(Ce R)

c [sin2xdx=—°°” +c,ce R D Jsin2xdx = 2cos2x+C,Ce R

Câu 58 [2D3-1] Nguyên hàm của hàm số y=(x+1)cosx là

Trang 30

[ | Nguyên hàm của hàm số ƒ (x) of wanai =

A in2*41, 6, x+l Bein 2x+1 Hec cin 2 ve, x-l Denes 2° etl

[2D3-2] Biết (x) là một nguyên hàm của của hàm số ƒ(x)= 5 F(-3) =1 Tính

Trang 31

Câu 72 [2D3-2] Cho F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x)=e*" thỏa # (0)=1 Mệnh đề nào sau đây là

Câu 76 [2D3-2] (THPTQG-17) Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn ƒ'(x)=3—5sinx và ƒ (0)=10 Mệnh đề

nào dưới đây là đúng?

Câu 77 [2D3-2] Cho Ƒ(x) là một nguyên hàm của hàm số ƒ (x)=e' +2x thỏa mãn F(0)=Š: Tim F (x)

A F(3)=2In5+3 B F(3)=In5+3 C F(3)=2m§5+5 D F(3)=-2In5+5

Câu 80 [2D3-2] Nguyên hàm của ham sé y =x? -x+L la:

Trang 32

[2D3-2] Cặp ham số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A f (x)=tan? x, g(x)= Z > B f (x) =sin 2x, g(x) =cos? x

Gà fade ex =—#°+—+% D syed Seed Sox py,

[2D3-2] Biết F (x) là một nguyên hàm của fae x va F(2)=1 Tinh F(3)

Trang 33

[2D3-2] Mệnh đề nào dưới đây sai?

A fr) x)dx= ƒ(x)+€ với mọi hàm ƒ(x) có đạo hamtrén R

B aes x)dv=k f(x)dx voi moi hằng số k và voi moi ham s6_f (x) lién tuc trén R

C [7@)-s( x )Jdx=[7(x) dx—[z( (x)dv, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên I8

D [[7@)+s(x)]dx=[7(x )dx+ [ ø(x) x)dv, với mọi hàm số / (x), ø (x) liên tục trên I> [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số #(x)=cos x ta được

[2D3-2] Cac ménh dé sau, ménh dé nao SAI?

f(x) m+1

Trang 35

Câu 110 [2D3-2] Cho hai hàm y= f(x), y= g(x) có đạo hàm trên ïR Phát biểu nào sau đây đúng?

A Nếu mồm =[s(x)dx thì /(x)=ø(x),Vxe R

B Nếu f(x)=ø(x)+2017,Vxe R thì [re cde =[ g(x) dx

Câu 111 [2D3-2] Nguyên hàm của hàm số ƒ(x)=xVI+xˆ là

A alevier ec B a(#view) +c

Trang 36

Câu 115 [2D3-2] Biết #(x) là một nguyên hàm của hàm số fev va F()=3 Tính

Trang 37

x+3 x'+3x+2

Câu 128 [2D3-2] Tìm một nguyên hàm F(x) cia ham sé f (x)=sin x.cos x, biét F()- 1

Câu 130 [2D3-2] Nguyên hàm của hàm số: y=cos” x.sinx là:

A Tai x+C B Zoos! x+C C -cos* x+C D sin’ x+C,

Trang 38

Câu 131 [2D3-2] Cho hàm số f (x)= Š+cos? x Tìm tắt cả các giá trị của a dé /#(x) có một nguyên

Câu 132 [2D3-2] Phát biểu nào sau đây là đúng?

A [ tan” xảy = tạnx—x+C,C€ R B Í tan” xdx = tan x—x

C ftan?xdr=“"*) , ftan?xdv=“"*+0,CeR x x

Câu 133 [2D3-2] Họ nguyên hàm của hàm số #(x)=xsinxcosx là

Câu 135 [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)=sin x.sin 5x

Câu 136 [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số y= f (x)= cos* x

iG Jf (a)de= Fsin3x—J sine $C fre ——

Câu 137 [2D3-2] Nguyên hàm của hàm số y=e*.cosx là:

A Je'cosxde=Fe' (sinx+cosx)+C B Jet-cos xdx =5¢" (sinx—cosx)+C

€ ƒe'.cosxdy=e" (sinx+cosx)+C D [£-sosstr=-se (sinx+cosx)+C

Câu 138 [2D3-2] #(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=Inx va F(1)=3 Khi d6 giá trị của

F(e) là:

Trang 39

[2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)= xsin x

[2D3-3] Biét F(x) 1a m6t nguyén ham cia cia ham số f(x)=sinx va đồ thị hàm số

y=F(x) đi qua điểm M (0:1) Tính r(3)

Trang 40

số lượng vi khuẩn sau đúng một tuần gần với số nào sau đây?

có số lượng M(x) con Biết rằng N’(x)= và lúc đầu đám vi khuẩn có 30000 con Hỏi

[2D3-3] Hàm sé F (x)= In(xtve +a)+C (a >0) là nguyên hàm của hàm số nào sau?

Định dạng
Số trang	224
Dung lượng	32,38 MB