ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 6
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRỊNH KHẮC BÌNH
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN, 2013
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáoKhoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiếnthức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập vànghiên cứu
phạm-Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đãđộng viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Trịnh Khắc Bình
Trang 4Mục lục
1.1 Không gian Lp 3
1.2 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân 6
1.3 Tích chập 7
1.4 Tích phân Dirichlet 8
2 Chuỗi Fourier 13 2.1 Chuỗi Fourier thông thường 13
2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 13
2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier 14
2.2 Chuỗi Fourier - cosin và chuỗi Fourier - sin 16
2.2.1 Khái niệm 16
2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 16
2.2.3 Các ví dụ 21
2.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 22
2.3.1 Dãy trực giao 22
2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 24
2.4 Chuỗi Fourier phức 27
2.4.1 Khái niệm 27
2.4.2 Đẳng thức Parseval 28
2.5 Các bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình chữ nhật 28
2.5.1 Bài toán 1 29
2.5.2 Bài toán 2 30
2.5.3 Bài toán 3 31
2.6 Phương trình dạo động của thanh 32
Trang 52.6.1 Phương trình dao động tự do 32
2.6.2 Phương trình dao động cưỡng bức 34
3 Biến đổi Fourier 37 3.1 Khái niệm về tích phân Fourier 37
3.2 Biến đổi Fourier 40
3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier 43
3.4 Biến đổi Fourier trong Lp 48
3.5 Phương trình Laplace trong miền nửa dải 51
3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng 52
3.7 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt phẳng 55
3.8 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt 57
4 Biến đổi Laplace 59 4.1 Định nghĩa 59
4.2 Các tính chất 61
4.3 Biến đổi Laplace ngược 66
4.4 Phương trình vi phân thường 70
4.5 Phương trình đạo hàm riêng 73 4.6 Phương trình tích phân Volterra Phương trình vi- tích phân 77
Trang 6Mở đầu
Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giảitích hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàmriêng và các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi tíchphân quan trọng, như biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel,v.v từ lâu đã được sử dụng trong giải các phương trình vi phân và phươngtrình tích phân tuyến tính hệ số hằng
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, cácphương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng và miền khảo sátthích hợp có thể được chuyển về các phương đại số tương ứng Từ đó, sửdụng các công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sauđây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier,Fourier-sin, Fourier-cosin và biến đổi Laplace cùng một số ứng dụng củachúng trong phương trình đạọ hàm riêng và một số loại phương trình tuyếntính khác
Luận văn gồm phần Mở đầu, 4 chương, Kết luận và các tài liệu thamkhảo Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-5]
Chương 1, trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cầnthiết đối với các chương sau Các kiến thức của chương này có thể tìm thấytrong tài liệu [1]
Chương 2, trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàmlượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trìnhđạo hàm riêng trong miền hữu hạn Các kiến thức của chương này chủ yếuđược trích ra từ các tài liệu [1, 4, 5]
Chương 3, trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứngdụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vôhạn Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2,
3 , 4]
Trang 7Chương 4, trình bày cơ sở lý thuyết của biến của biến đổi Laplace vàmột số ứng dụng giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạohàm riêng và phương trình tích phân dạng chập Các kiến thức của chươngnày được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1, 4].
Trang 8Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cầnthiết đối với các chương sau Các kiến thức của chương này có thể tìm thấytrong tài liệu [1]
Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa
Lp(Ω) = {f : Ω →R hoặc C; f đo được và |L|p khả tích },
L∞(Ω) = {f : Ω → hoặc C; f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.h trên Ω },
kf k∞= inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h}
Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L∞(Ω) thì:
|f (x)| ≤ kf k∞, h.h x ∈ Ω
Ta ký hiệu p0 là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞, i.e,1p + p10 = 1
Chữ "nghĩa là" thường được viết tắt bởi "i.e", chữ "hầu hết" được viếttắt bởi "h.h"
Trang 9Dựa vào bất đẳng thức H¨older, ta chứng minh được
Định lý 1.2 Lp(Ω) là không gian vector k·kp và là một chuẩn
với 1 ≤ p ≤ ∞
Định lý 1.3 (Fischer – Riesz )
(a) Lplà không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞
(b) Giả sử (fn) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e,
kfn − f kp → 0 Thế thì có dãy con (fnk)k=1,2, sao cho:
Định lý 1.5 (Riemann- Lesbesgue) Cho f ∈ L1(a, b) với (a, b) là khoảnghữu hạn hoặc vô hạn của R, thì ta có
Trang 10Cho trước ε > 0 Từ định lý về tính trù mật ta có một hàm g (chỉ phụthuộc vào ε) trong Cc∞(a, b) sao cho
=
=
1π
π 2
+
1π
π 2
(2.6)
+
... (a )và tính chất (c), ta thấy có mối liên hệchặt chẽ hàm đơn điệu hàm có biến phân bị chặn Tính chất (c)cũng cho thấy f khả tích [a, b] f có biến phân bị chặn [a, b]
Bổ đề 1.2 (Tích phân. .. xác định [a, b] Khiđó:
(a) f có biến phân bị chặn Re [f ] Im |f |, tức phần thực
và phần ảo f, có biến phân bị chặn
(b) Nếu f có biến phân bị chặn f bị chặn, cụ thể:
|f... (xi) − f (xi− 1), sup lấy tất phân hoạch
[a, b] Ta gọi V (f ) biến phân toàn phần f [a, b] Hàm f đượcgọi có biến phân bị chặn [a, b] V (f ) < +∞
Ví dụ 1.1
