Khi đó ta có :xn = c1an+ c2bn hoàn toàn thỏa mãn phương trình hồi quy.. Chứng minh rằng 2an− 1là một perfect square.. Chứng minh bn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 với mọi n bằ
Trang 1Dãy số
Trần Mạnh Sang1
Nếu (xn) là một dãy có phương trình hồi quy: xn+2= uxn+1+ vxn thì ta sẽ có phương trình đặc trưng của dãy hồi quy :
x2− ux − v = 0 với hai nghiệm a, b Chú ý rằng xn = an và xn = bn thỏa mãn phương trình hồi quy vì a2 =
ua + v, b2= ub + v
Nếu a = b thì a = b = u
2và xn= na
n cũng thỏa mãn phương trình hồi quy
Nếu a 6= b ta tìm được c1, c2 ∈ R sao cho x1 = c1a + c2b, x2 = c1a2+ c2b2 Khi đó ta có :xn =
c1an+ c2bn hoàn toàn thỏa mãn phương trình hồi quy Ta cũng có x1, x2 xác định duy nhất bởi
c1, c2 và dãy xn Hơn nữa dãy thỏa mãn phương trình hồi quy là : xn= c1an+ c2bn với c1, c2 được xác định ở trên
Tương tự với a = b khi đó dãy thỏa mãn là :xn = c1an + c2nbn ở đó c1, c2 được xác định qua :x1= c1a + c2b và x2= c1a2+ c2b2
Ta có bổ đề sau:
Nếu d ∈ Z (thỏa mãn: nếu s ∈ Z : s2|d thì d = 1 )và x ∈ Q√dsao cho :x2∈ Z Khi đó : x ∈ Z Chứng minh:
Đặt x = p + q√
d với p, q ∈ Q Khi đó x2= p2+ dq2+ 2pq√
d ∈ Z Vì : x2∈ Z nên pq = 0
Nếu p = 0 thì dq2 ∈ Z và điều này có nghĩa là mẫu của q2 chia hết d Nhưng d là square-free nên không thể xảy ra điều này trừ phi mẫu của q là 1, tức là q ∈ Z Tương tự ta giả sử rằng q = 0 thì
p ∈ Z Do đó x ∈ Z
Bài tập:
1, (RMO2002)Giả sử dãy (an) được định nghĩa như sau:a0 = a1 = 1 và an+1 = 14an− an−1 với
n ≥ 1 Chứng minh rằng 2an− 1là một perfect square
Giải:
Ta có kết quả sau: Với n ∈ N định nghĩa cn như sau:
c0= −1; c1= 1 và cn = 4cn−1− cn−2, n ≥ 2 Khi đó
cn= 1 +
√ 3 2
!
2 +√
3
n
+ 1 −
√ 3 2
!
2 −√
3
n
với n ∈ N Bình phương 2 vế trên ta có :
c2
n+ 1
√ 3 2
!
7 + 4√
3
n
+ 1 +
√ 3 2
!
7 − 4√
3
n
Ta chỉ cần chứng minh : c
2
n+ 1
2 = anđiều này ta dễ dàng làm được bằng cách tìm an theo tính chất
đã nêu ở trên
2, (Shortlist 1988)Cho dãy nguyên anđịnh nghĩa như sau: a0= 0, a1= 1, an+2= 2an+1+ an, n ≥ 0 Chứng minh rằng 2k|a − n <=> 2k|n Giải:
Sử dụng tính chất trên ta tìm được:
an = 1
2√
2(1 +
√ 2)n− 1
2√
2(1 −
√ 2)n
Khi đó ta có 2 cách:
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp an lẻ khi n lẻ và xây dựng dãy bn với b0 = b1 = 2 và bn = 2bn−1+ bn−2 Chứng minh bn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 với mọi n bằng quy nạp
Từ công thức tường minh của an và bn và a2n = anbn
1 Email:
Trang 2Cách 2: Chứng minh quy nạpa2n+1= (an)2+ (an+1)2 và a2n = 2an(an+ an−1)
3, (RMO1999)Chứng minh rằng với số nguyên dương n bất kỳ thì :
n
X
k=0
C2n+12k 22n−2k3k
là tổng của 2 bình phương đúng
Giải:
Đặt α = 1+√
3, β = 1−√
3 và Tn= 1
2(α
2n+1+β2n+1) Ta có : αβ = −2,α
2
2 = 2+
√
3 vàβ
2
2 = 2−
√ 3
Áp dụng khai triển đối với nhị thức (1 +√
3)n và (1 −√
3)n, ta tìm được: Tn=
n
P
k=0
C2k 2n+13klà một
số nguyên với mọi n
Áp dụng khai triển nhị thức với (2 +√
3)2n+1 và (2 −√
3)2n+1, ta có :
Sn= (α
2
2 )
2n+1+ (β
2
2 )
2n+1
4
=α
4n+2+ β4n+2
22n+3
= α
4n+2+ 2(αβ)2n+1+ β4n+2
2
=(α
2n+1+ β2n+1)2
22n+3 +1
2
Tn2
22n+1 +1
2.
Do vậy : 22n+1Sn = Tn2+ 22n Khi đó 22n|T2
n nhưng Tn2 .22n+1 và do vậy Tn ≡ 2n(mod22n+1) Hơn nữa:
Sn= T
2 n
22n+1 +1
2 =
Tn− 2n
2n+1
2
+ Tn+ 2n
2n+1
2
Đây là điều phải chứng minh
4,(BMO2002) Cho dãy a1= 20, a2= 30, an+1= 3an− an−1, n ≥ 2 Tìm tất cả n sao cho 1 + 5anan+1
là một bình phương đúng
5, Cho a0= a1= 5 và an= an−1+ an+1
98 Chứng minh rằng :an+ 1
6 là một bình phương đúng.
6, Cho a1= 1 và với n ≥ 1 ta có :
an+1= 2an+p3a2
n− 3 Chứng minh rằng a3n+1 = an+1(a2
n+1+ 1)
7, Cho dãy :a0= 1, a1= 2 và an+1= 4an+ an−1 Chứng minh rằng a6n
a2n
không phải là lập phương của một số hữu tỷ
8,(MOSP2001) Cho a0 = 4, a1 = 22 và an+1= 6an− an−1 Chứng minh rằng có thể biểu diễn an
như sau:
an= y
2
n+ 7
yn− xn
với xn, yn ∈ N 9,(Shortlist 1984) Cho c ∈ N∗ Cho x1 = 1, x2 = c và xn+1 = 2xn− xn−1+ 2với
n ≥ 2 Chứng minh rằng với k bất kì thì tồn tại r sao cho xkxk+1= xr10, (VMO1998)Cho a, b ∈ Z Định nghĩa dãy (a ) như sau: a = a, a = b, a = 2b − a + 2 và a = 3a − 3a + a Tìm
Trang 3a, b sao cho an là một bình phương đúng với n ≥ 1998 11, (Bulgaria 2000) Cho dãy (an) sao cho
a1= 43, a2= 142, an+1= 3an+ an−1 Chứng minh rằng (an, an+1) = 1 Chứng minh rằng với bất kỳm ∈ N tồn tại vô hạn số n sao cho m|U CLN (an− 1, an+1− 1)