Phương pháp giải một lớp bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN DUY LONG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP

BÀI TOÁN QUY HOẠCH

NGUYÊN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN DUY LONG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP

BÀI TOÁN QUY HOẠCH

NGUYÊN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

Mục lục i

LỜI NÓI ĐẦU 1 Nội dung 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Tập lồi, hàm lồi và một số tính chất 4

1.1.1 Tập hợp lồi 4

1.1.2 Hàm lồi 6

1.2 Thuật toán đa thức 7

1.3 Bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến 10

2 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP GIẢI BÀI TOÁN (P) 13 2.1 Tính chất nghiệm của bài toán(P) 13

2.2 Cơ sở phương pháp giải 16

2.3 Thuật toán đa thức giải bài toán 21

2.3.1 Thuật toán A 21

2.3.2 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán 22

3 MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG BÀI TOÁN (P) 28 3.1 Giảm kích thước bài toán (P) 28

3.2 Thay đổi ràng buộc 33

3.2.1 Thêm, bớt sinh viên 33

3.2.2 Thêm, bớt chuyên đề 34

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3.2.3 Thêm điều kiện phụ vào bài toán (P) 35

3.3 Thay đổi hàm mục tiêu của bài toán (P) 37

3.3.1 Bài toán với hàm mục tiêu mở rộng 37

3.3.2 Bài toán với hàm mục tiêu lõm 40

3.3.3 Bài toán vận tải với điều kiện phụ 42

Tài liệu tham khảo 45

LỜI NÓI ĐẦU

Tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization) hay còn gọi là tối ưu rờirạc là một bộ phận quan trọng của tối ưu hoá Nó bao gồm nhiều bài toántối ưu với biến số nhận các giá trị rời rạc (không liên tục) và nhiều phươngpháp giải khác nhau cho các lớp bài toán tổng quát và riêng lẻ Các bàitoán tối ưu tổ hợp rất phong phú, đa dạng và có nhiều ứng đụng rộng rãitrong thực tiễn Một số mô hình tối ưu tổ hợp thuộc loại các bài toán "dễgiải" (có thuật toán đa thức để giải), nhưng phần lớn là các bài toán "khógiải" (chưa có thuật toán đa thức để giải)

Nhiều vấn đề lý thuyết và thực tiễn có thể diễn đạt dưới dạng một bàitoán tối ưu rời rạc Những bài toán như vậy thường có các cấu trúc riêngnào đó Nếu biết khai thác cấu trúc riêng đó thì có thể tìm ra cách giảihiệu qủa

Luận văn đề cập tới một lớp bài toán tối ưu rời rạc, cụ thể là bài toánqui hoạch nguyên phi tuyến (biến số nhận các giá trị nguyên, hàm mụctiêu phi tuyến), có thể giải được bằng thuật toán đa thức nhờ khai thácđặc điểm cấu trúc của bài toán Bài toán được xét trong luận văn có cấutrúc khá đặc biệt và có nội dung thực tiễn thiết thực Có thể xem nó như

mô hình toán học cho một số bài toán thường gặp trong thực tế (mô hìnhxếp lịch học tập trong các trường học) và hoàn toàn có thể áp dụng đượctrong thực tiễn Việc phân tích lớp bài toán này giúp ích cho việc đi sâutìm hiểu sau này về các bài toán tối ưu rời rạc nói chung và những ứngdụng của chúng nói riêng

Nội dung luận văn được chia thành ba chương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chương 1 với tiêu đề "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày nhữngkiến thức cơ bản cần thiết về tập lồi và hàm lồi làm cơ sở lý thuyết choviệc phân tích cấu trúc và xây dựng các thuật toán ở những chương sau.Tiếp theo, chương này trình bày vắn tắt khái niệm thuật toán thời gian

đa thức Cuối chương giới thiệu khái quát mô hình và ý nghĩa thực tế củalớp bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến được xét trong luận văn

Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp trực tiếp giải bài toán (P)" phântích cấu trúc đặc biệt và nêu ra những tính chất nghiệm đáng chú ý củabài toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét trong luận văn, các tính chất nàygiúp ích cho việc xây dựng thuật toán giải Mục tiếp theo của chương trìnhbày thuật toán thời gian đa thức giải bài toán, bằng cách sử dụng kỹ thuậtđiều chỉnh dần phương án và kỹ thuật gán số cho các hàng và cột, tương

tự như trong các phương pháp giải bài toán vận tải thông thường của quihoạch tuyến tính Thuật toán được minh hoạ qua một ví dụ số đơn giản

và trực quan

Chương 3 với tiêu đề "Một số hướng mở rộng bài toán" xét vấn đề xử

lý sơ bộ (tiền xử lý) các dữ kiện ban đầu của bài toán nhằm giảm bớt kíchthước của bài toán cần giải (nếu có thể) Sau đó, xét sự mở rộng bài toántheo hai hướng: thay đổi điều kiện ràng buộc (thêm hay bớt sinh viên,thêm hay bớt chuyên đề, thêm điều kiện phụ ) và thay đổi hàm mục tiêu(bài toán với hàm mục tiêu đơn điệu tăng và bài toán với hàm mục tiêulõm)

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn cónhững thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp

để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướngdẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ trong suốt quátrình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể thầy cô giáo trường Đại học

Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học vàCông nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡtác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Toán – Tintrường THPT số 1 huyện Bát Xát – Lào Cai và tập thể bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốtluận văn này

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012

Người thực hiệnNguyễn Duy Long

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về giảitích lồi, cần thiết cho việc phân tích lý thuyết và xây dựng thuật toántrong các chương sau Tiếp đó trình bày khái niệm thuật toán đa thức vàcuối cùng giới thiệu bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến được xét trongluận văn Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [2], [3] và[6]

Khái niệm về tập hợp lồi là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi vàquy hoạch lồi Nhiều tính chất quan trọng và thú vị của bài toán quy hoạch

có được trên miền ràng buộc là một tập hợp lồi

Định nghĩa 1.1 Một tập X trong không gian Euclide Rn được gọi làmột tập lồi nếu ∀x1, x2 ∈ X và ∀λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ2)x ∈ X.Như vậy nếu X là một tập lồi thì nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểmbất kỳ của nó

Ví dụ 1.1:

• Các tập afin nói chung đều là tập lồi

• Các nửa không gian đóng: {x :< a, x >6 α}, {x :< a, x >> α}

nó chứa bao lồi của mọi tập con của nó.

Cho A, B là hai tập bất kỳ trong Rn, tổ hợp lồi của A và B là tập hợp tất

cả các điểm thuộcRn có dạng:x = λa+(1−λ)b, a ∈ A, b ∈ B, 0 6 λ 6 1.Định lý 1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân vớimột số và phép lấy tổ hợp tuyến tính, tức là nếu A và B là hai tập lồi trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.1.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) xác định trên tập lồi X ⊂ Rn được gọi

là hàm lồi trên X, nếu với mọi x, y ∈ X, 0 6 λ 6 1 ta có:

f (λx + (1 − λ)y) 6 λf (x) + (1 − λ)f (y)

Hàm f (x) được gọi là hàm lồi chặt trên X nếu với ∀x1, x2 ∈ X, x1 6=

x2, 0 < λ < 1 ta có f (1 − λ) x1 + λx2 < (1 − λ) f x1
+ λf x2
.Hiển nhiên hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại chưa chắcđúng Hàm f (x) gọi là hàm tựa lồi trên tập lồi X nếu

lồi (tựa lồi) trên X

Như thường lệ, các hàm λf, f + g, max(f, g) được định nghĩa như sau:

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read