Bài giảng số 4: Vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng ôn thi vào lớp 10

Tìm toạ độ điểm còn lại. Tìm toạ độ của tiếp điểm.. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB. Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN. d) Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài [r]

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

BÀI GIẢNG SỐ 04: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Dạng 1: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục

Ví dụ 1:

a) Vẽ hai đồ thị hàm số 2

2

y x và y  x 3trên cùng một hệ trục b) Từ đồ thị suy ra tọa độ giao điểm

Dạng 2: Tìm giao điểm, điều kiện vị trí tương đối

Bài toán 1 Tìm giá trị của tham số khi biết quan hệ giữa đường thẳng và đường cong

Ví dụ 1: Cho parabol   2

P y x  x và đường thẳng d y: kx  5 2 k Tìm điều kiện của k

để

a) d cắt  P tại hai điểm phân biệt

b) d tiếp xúc với

c) d không cắt  P

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

2

2x   x 3 kx 5 2k

2  

2x 1 k x 2k 8 0

      (1)

Ta có:  2   2

1 k 8 2k 8 k 18k 65

a Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

18 65 0

13

k

k







b Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0 5

13

k k





     



c Để d không cắt (P) thì phương trình (1) vô nghiệm    0  5 k 13

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Ví dụ 2: Cho parabol   2

:

P y x và đường thẳng d y:  2xm. a) Tìm m để d để tiếp xúc với  P tìm toạ độ tiếp điểm

b) Tìm m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành độ là  1. Tìm toạ

độ điểm còn lại

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

2 2

x  xmx  x m 

Ta có:   ' 1 m

a) Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có duy nhất

Khi đó hoành độ tiếp điểm là 2 1

b x a



    y1 Vậy với m = - 1 thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là (1; 1)

b) Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Vì d cắt (P) tại một điểm có hoành độ bằng -1 nên ta có

 2

1 2( 1) m 0 m 3

       (t/m)

Khi đó phương trình (1) trở thành 2 1 1

Vậy với m = 3 thì d cắt (P) tại hai điểm A( 1;1), B(3;9)

Bài tập:

:

4

P y  x và đường thẳng d y: m2x3 Với giá trị nào của m thì

 P và dtiếp xúc nhau Tìm toạ độ của tiếp điểm

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

ĐS: 5

1

m m







 



, A  2; 3 , B2; 3  

1

3

d y x d y x d y x a a Tìm a để d1 cắt d2

tại một điểm thuộc d3. ĐS:

3

1 4



a

Bài toán 2 Tìm điểm cố định của họ các đường thẳng d m hoặc họ các đường cong  P m

Phương pháp: Để tìm điểm cố định của họ đường cong C m:y f x m( ; )

Bước 1: Gọi điểm cố định là M x y 0 ; 0 Suy ra y0  f x m( ; ),0 m

Bước 2: Sắp xếp y0  f x m( ; )0 theo phương trình ẩn m bậc giảm dần

Bước 3: Cho các hệ số bằng 0x0, y0 ?

Ví dụ 3: Tìm điểm cố định của đồ thị

a (m – 1)x + (2m – 3)y = m + 1 (dm)

b 2

2( 1) 3 5 ( m)

Giải:

a Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua Vậy ta phải có:

m 1x0 2m 3y0 m 1

Vậy (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5; -2)

b Gọi M x y 0 ; 0là điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua Khi đó

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

2

2

2

0 0

2

0

3

5

4

x x

y









 



Vậy (Cm) luôn đi qua điểm cố định 3 5; ,

2 4

M  m

Bài tập

Bài 3: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng sau:

a y2mx 1 m b ymx 3 x

ĐS: a 1;1

2

  b 0; 3  

Bài 4: Tìm điểm cố định của họ parabol sau:

yx  m x m b 2  

yax  a x a

ĐS: a 3 1;

2 4



  b 2; 2 ,    3;3

P ymx  m x m luôn đi qua 2 điểm cố định

m

 Tìm toạ độ 2 điểm đó

ĐS: 1;2 , 3;6 

:  3 1 2 1

P y mx m x m Chứng minh rằng  P luôn đi qua 2 điểm với mọi m

ĐS: A 1; 4 và B2; 7 

Bài toán 4: Họ parabol  P m luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định hoặc họ đường thẳng d m luôn tiếp xúc với một parabol cố định

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Ví dụ 4: a) Chứng minh rằng họ đường thẳng 2

d y mx m luôn tiếp xúc với một parabol cố

định Đáp số: 1 2

2.

4

b) Chứng minh rằng họ parabol   2

P ymx  mx m luôn tiếp xúc với một đường thẳng

cố định Đáp số: y  1 0.

Giải:

a) Gọi (P): 2

ax

y bx c là parabol mà họ đường thẳng d luôn tiếp xúc Khi đó phương trình hoành độ giao điểm

ax bx c mxm 2 có nghiệm kép với m

ax (b m x c m) 2 0

       có nghiệm kép với m

1 4a m 2bm b 4ac 8a 0

2

1

2

a a

c









  





 Vậy họ đường thẳng d luôn tiếp xúc với (P): 1 2

2 4

y  x  b) Gọi d: y = ax + b là đường thẳng mà họ (P) luôn tiếp xúc Khi đó phương trình hoành độ giao điểm

2

mx  mx m b có nghiệm kép với m

2

2

2

2

1 0

b a





http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Vậy đường thẳng cần tìm là y 1

Bài tập:

: 2  2 2

d y mx m m luôn tiếp xúc với một parabol

cố định

ĐS: 2

2 3

y x  x b)Chứng minh rằng họ parabol   2

P ymx  mxm luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định

ĐS: y  1.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác giới hạn bởi các đường

Ví dụ 5: Cho parabol   1 2

4

P : y x và đường thẳng d : ymx 1. Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt Gọi A,B là hai giao điểm của d và

 P Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc toạ độ)

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

2

2 2

1

1 4

1

1 0 4

Ta có: 2

' 4m 4 0, m

Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Gọi A, B là giao điểm của d và (P) 2 2

Khi đó:

1

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

 2 2  2 

16 m 1 4 m 1

Đường thẳng qua O và vuông góc với AB(là đường thẳng d) có phương trình

1

m

  (d’)

Gọi H là chân đường cao hạ từ O lên đường thẳng d Khi đó

2

2

OAB

m

Ví dụ 6: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng 1: 1 ,

3

d y x d2:y 3 ,x d3:y  x 4.

Giải:

Ta có: d1d2 0(0; 0), d1d3  A(3;1), d2d3 B( 2; 6)

Vì 1.( 3) 1

3    nên d1d2 tại O

Ta có: OA  9 1  10, OB  4 36  40

Vì tam giác OAB vuông tại O nên 1 . 1 400 10

OAB

Bài tập

Bài 8: Cho đường thẳng d y:  x 2 và parabol   2

P yx

a) Chứng minh rằng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ giao điểm

ĐS: A  1;1 và B2; 4 

b) Tìm M thuộc cung AB của  P sao cho diện tích MBA lớn nhất

ĐS: 0 1 1;

2 4

M  

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Bài 9: Tính diện tích các hình giới hạn bởi các đường thẳng 1: 3 ,

3

d y x d2:y   3,

ĐS: A3; 3 , B  3;3S OAB 6

Bài 10: Cho parabol  

2 : 2

x

P y  và đường thẳng : 3 2.

2

d y x Gọi A và B là giao điểm của  P

và d. Tính S AOB

Hướng dẫn: Chứng minh AOB vuông tại OS AOB 5

Dạng 6 Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm tạo thành đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M0; 2  Cho parabol  

2 : 4

x

P y  và đường thẳng d: axby 2 Biết d đi qua điểm M.

a) Chứng minh rằng khi a thay đổi thìdluôn cắt P tại hai điểm phân biệt Avà B.

b) Xác định a để AB có độ dài ngắn nhất

Giải:

a)Vì d đi qua M(0; 2) nên b = - 1  d có dạng y = ax + 2

phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là

2

2

4

x

Ta có 2

' 4a 8 0, a

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với

2 2

A

B





b)Ta có:  2  2  2 2 2

=  2   2  2  2

4 a  3a  2  4 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0

Vậy ABmin  4 2 a 0

Bài tập:

Bài 11(CNN - 2000) Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm I0;1 và cắt parabol

:

P yx tại hai điểm phân biệt M và N sao cho độ dài của đoạn thẳng MN 2 10

ĐS: y2x1 và y 2x1

Bài 12: Cho parabol   2

P yx  và đường thẳng d y: mx1 Tìm m để d cắt  P tại hai đểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất

ĐS: AB m417m216 ABmin 4m0

P y x và đường thẳng d y: mx4 Tìm m để  d cắt  P tại hai đểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất

ĐS:

4

2

min

67

16 16

m

Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho parabol   2

P : yax

a) Tìm a để (P) đi qua điểm M4 4; .

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

b) Lấy điểm A0 3;  và điểm B trên   1 2

4

P : y x Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB

c) Vẽ (P) và 1 2

2

d : y  x trên cùng một hệ trục toạ độ

d) Gọi M và N là hai giao điểm của (P) và d; H, K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục Ox Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN

ĐS: a) 1

4

a  b) AB min2 2 B2 1;  hoặc B2 1;  d) S MHKN 15

Bài 2: Cho parabol   1 2

4

P : y  x và điểm I0;2.

a) Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và có hệ số góc m

b) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

c) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo m

d) Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất

ĐS: a)ymx 2 c)  2  2 

AB m  m  d) AB min 4 2m0

Bài 3: Cho parabol   1 2

2

2

d : ymx . a) Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm A cố định khi m thay đổi và d luôn cắt (P) tại hai điểm

b) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi

ĐS: a) 0 1

2

A ; 

b) 2 1

2

yx 

2

P : y x

a) Vẽ parabol (P) và tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục toạ độ

b) Tìm số giao điểm của (P) và đường thẳng d : ymx 1 theo m

c) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d : ymx 1 luôn đi qua một điểm cố định I và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

e) Lập phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm A0;2 và có đúng một điểm chung với (P)

f) Lập phương trình đường thẳng d2 song song với đường thẳng y  2x 2009 sao cho d2 có

đúng một điểm chung với (P)

g) Tìm m để độ dài đoạn thẳng AB2 10.

h) Chứng minh rằng OA và OB vuông góc nhau

i) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2

j) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I

M ; , N ; 

c)   2

0 1; ,x mx 1 0 d) 2

x x  m 

e) y  4x 2 f) 2 1

2

y  x g) m  2 i) m   11

Bài 5 Cho hàm số 2

yx có đồ thị  P a) Gọi A và B là hai điểm nằm trên  P có hoành độ là -1 và 2 Chứng minh rằng tam giác OAB vuông

b) Viết phương trình đường thẳng  d / /AB và tiếp xúc với  P

c) Cho đường thẳng  d' :ymx1 Chứng minh rằng  d' luôn đi qua một điểm cố định với mọi

m

ĐS: a) A1;1 , B2; 4 tính OA OB AB, , rồi chứng minh tam giác OAB vuông tại A

b) Phương trình đường thẳng AB là 2, : 1.

4

yx d yx c) Điểm cố định là M0;1 

Bài 6: Cho parabol   1 2

: 4

P y x và đường thẳng  : 1 2.

2

a) Gọi A B, là các giao điểm của  P và  d Tìm điểm M trên cung AB của  P sao cho diện tích MAB lớn nhất

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

b) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NANB nhỏ nhất

ĐS: a) 1;1 .

4

M 

b) HD: Gọi B' 2; 1   là điểm đối xứng của B qua O x Ta có NANB NANB' AB' không đổi

Do NANB nhỏ nhất N là giao điểm của ABvà trục O x Phương trình đường thẳng

AB y  x N 