ON THI CAO HOC, TOAN CC1Chuong_6_PTVP_CAP_2

Đại học Quốc gia TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng 1... 5.Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số... x² là

Đại học Quốc gia TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Khoa: Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn: Toán Ứng Dụng

1

5.Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số

∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt

0 '

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (2)

β

α

i k

i k

2 1

x

y e = α c β x c + β x

VD1: Giải phương trình vi phân:

0 3

' 4

c

y = 1 − + 2 −3

5

VD2: Giải phương trình vi phân:

0 25

' 10

y = ( 1 + 2 ) 5

VD3: Giải phương trình vi phân:

0 4

' 2

3 1

2 1

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

) 3 sin

3 cos

( c1 x c2 x e

7

b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y " + a y a y f x1 ' + 2 = ( ) (1)

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

" + a1y + a2 y =

y

) ( '

" a1y a2 y f x

VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

) (

2 '

c y

k

k1 = 1 , 2 = 2 ⇒ = 1 + 2 2

có

nghiệm

) (

) ( x e3 x2 x

* 3 2 2.| y = e x.(Ax + Bx C+ )

A B C

)

1 2

1 ( )

• Xét điều kiện ban đầu:

y y

VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

y k

k1 = 2 = 2 ⇒ = ( 1 + 2 ) 2

nghiệm kép

x

xe y

y

y " − 4 ' + 4 = 2

Bước 2:

x e

x

f ( ) = 2x

Ta có:

Tìm nghiệm y*

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

nên y* = e2x.(Ax + B) x² là nghiệm riêng của phương trình đầu.

15

y 1 2 2 2 ). 2

6

1 ( )

=

VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

α=2 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên y* = e2x.(Ax + B) x là nghiệm riêng của phương trình đầu

K x

x H

max{ n m

l =

VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

x x

y

y " + 9 = 18 cos 3 − 30 sin 3

Bước 1: Tìm y

0 9

2 + =

k

i k

i

k1 = 3 , 2 = − 3

) 3

sin 3

cos ( c1 x c2 x e

Ta có: α ± i β = ± 3 i là nghiệm của phương trình

1.| y 9.( cos3A x Bsin 3 ).x x 2.( 3 sin 3A x 3 cos3 )B x

⇒ 2.( 3 sin 3 − A x + 3 cos 3 ) 18cos 3 B x = x − 30sin 3 x

β

3 ,

A

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:

= ( cos 31 + 2 sin 3 ) (5cos 3 + + 3sin 3 ).

23

VD5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

y k

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

α+iβ=2+3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên y* = e2x.(Acos3x + Bsin3x)

là nghiệm riêng của phương trình đầu

25

1.| y (4 9) ( cos3e x A x Bsin 3 ) 4 ( 3 sin 3x e x A x 3 cos3 )B x

⇒ − 9 .( cos 3 e2x A x B + sin 3 ) cos 3 x = x e2x

Với f1( x ), f2( x ) có dạng eαxPn (x )

hay

] sin

) ( cos

) (

eαx n β + m β

Khi đó: Nghiệm riêng y* = y1* + y2*

là nghiệm riêng của phương trình:

) ( '

" a1y a2 y f1 x

) ( '

* 1

y

y

là nghiệm riêng của phương trình:

• Nguyên lý chồng chất nghiệm f ( x ) = f1( x ) + f2( x )

27

VD6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y " − y ' = 5 ex − sin 2 x

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

y = + y y∗

Bước 1: Tìm y

Phương trình đặc trưng k2 − k = 0 có nghiệm

1 ,

c

y = 1 + 2

⇒

Bước 2: Tìm y*

) ( )

( )

( ,

1 (

5 '

" − y = e = P x =

x x

Với y2* là nghiệm riêng của phương trình:

x y

y " − ' = 5 ta tínhđược

) 1 )

( ,

0 )

( ,

2 ,

0 ( α = β = P n x = Q m x = −

không phải là nghiệm của

Lấy y2* thế vào phương trình y " − y ' = − sin 2 x

sin 5

1 2

cos 10

1 (

5

) 2

− ±

x y

xy y

x2 " − ' + = ln

VD:

(trong miền x>0) Giải phương trình Euler:

t tt

xx

t x

y

y x

y

y x

y y

y = +

⇒

t y

y

ytt" − 2 t' + =

0 1

c c

=

α không phải là nghiệm của phương trình đặc

) (

y = ot +

t y

) ( 1 + 2 + +

=

⇒ y c c t et t

) 2 (ln

) ln

=

35