ON THI CAO HOC TOAN CC 1 chuong2_daohamviphan_2

Trường Đại học Bách khoa tp.. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng ---Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân tt... Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc khô

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt)

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-Định nghĩa

Hàm đạt f  f x y( , ) cực đại chặt tại , nếu M x y0( , )0 0 f x y( , )  f x y( , )0 0

với mọi (x,y) gần ( , )x y0 0

tức là B M r( 0, ) :M  B M r( 0, )  D M f , M0 : ( )f M  f M( 0)

Định nghĩa

Hàm f đạt cực đại khơng chặt tại , nếu

với mọi (x,y) gần ( , )x y0 0

f

à > 0,

0( , )0 0

M x y f x y( , )  f x y( , )0 0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-Định lý điều kiện cần của cực trị Hàm f đạt cực trị tại thì tại đó các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại 0 0 0 ( , ) M x y Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0

Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại

Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu

Định lý điều kiện cần của cực trị

Nếu là điểm cực trị thì nó là điểm tới hạn.M x y0( , )0 0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-0

M

0

M

Định lý điều kiện đủ của cực trị

Cho là điểm dừng của hàm f = f(x,y) và f có các đạo hàm riêng

liên tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M0 0 0 0

( , )

M x y

1) Nếu xd f M2 ( 0) ác định dương , thì là điểm cực tiểu

2

0

( )

d f M

Chú ý: Nếu bán xác định dấu , thì chưa kết luận được Ta

phải tìm vi phân cấp cao hơn của f hoặc dùng định nghĩa

2

0

d f M

0

M

2

0

( )

d f M

2) Nếu xác định âm , thì là điểm cực đại

3) Nếu đổi dấu , thì không phải là điểm cực trị.

Chú ý: Ta thường dùng các ký hiệu sau:

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y)

1) Tìm điểm dừng

' '

( , ) 0 ( , ) 0

x y

f x y

f x y







 2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai f xx'' , f xy'' , f yy'' .

1( , ), ( , ),2

P x y P x y

3) Khảo sát từng điểm dừng

1( , ) :1 1

P x y A  f xx'' ( ),P B1  f xy'' ( ),P C1  f yy'' ( ),P1  AC B 2

1

0

A

 







A

 







là điểm cực đại

1

phải khảo sát bằng định nghĩa

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-1) Tìm điểm dừng:

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2

Ví dụ

Khảo sát cực trị tự do của hàm f x y( , ) x2  xy y 2  2x y

' '

x y





(1,0),

P



'' 2, '' 1, '' 2

xx xy yy

3) Khảo sát từng điểm dừng

1

yy

Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu, 0 1

A

 











1

ct

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-1) Tìm điểm dừng:

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2

Ví dụ

Khảo sát cực trị tự do của hàm f x y( , ) x4  y4  x2  2xy y x 2, 2  y2  0

' 3 ' 3

x y







3 3

1(1,1), ( 1, 1)2

'' 12 2 2, '' 2, '' 12 2 2

3) Khảo sát từng điểm dừng

'' 1,2( 1, 1) :   xx( 1,2) 10;  2

1,2

Kết luận : điểm dừng P1,2: là điểm cực tiểu, 0 1,2

0

 











P

Bài tập