ON THI CAO HOC, TOAN CC1 Chuong4_Tich_phan_xac_dinh

Tích phân xác địnhCông thức đạo hàm dưới dấu tích phân... Tích phân xác địnhPhương pháp tích phân từng phầnNếu 2 hàm ux, vx khả vi, liên tục trên [a,b] thì 1... Tích phân xác địnhLưu ý 2

Trang 1

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN

XÁC ĐỊNH

Trang 2

Tích phân xác địnhCông thức đạo hàm dưới dấu tích phân

Trang 3

2 0

2

(arctan )lim

Trang 4

Tích phân xác địnhCông thức Newton – Leibnitz:

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì ta có

b a

e

 

2ln 2



4

Trang 5

f x t

liên tục trên [a,b]

khả vi, liên tục trên [t1,t2]

Trang 6

Tích phân xác định

6 3

11 3 2

dx I

Trang 7

Tích phân xác định

Trang 8

Tích phân xác địnhPhương pháp tích phân từng phần

Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì

1 2 2

x dx x



1 0



8

Trang 9

Tích phân xác địnhLưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công

Trang 10

Tích phân suy rộng lọai 1

Cho đường cong

Trang 11

Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi x→∞ và khi x→0

Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng

Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị

chặn (tp suy rộng loại 2)

Trang 12

Tích phân suy rộng lọai 1Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1:

Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , b a 

được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên[a,+∞)Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội

tụ, tp không hội tụ thì gọi là tp phân kỳ

Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:

Trang 13

Trang 14

Ví dụ: Xét tp Riemman sau 1

1

dx I

1

b b

Trang 15

Trang 18

Tích phân suy rộng lọai 1Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm

Tiêu chuẩn so sánh 1:

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)

thỏa f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ở lân cận của ∞ Ta có:

Trang 19

Tích phân suy rộng loại 1

HT

4

dx x

Trang 20

Tích phân suy rộng loại 1Tiêu chuẩn so sánh 2:

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)Nếu lim ( )

Trang 21

1 Xác định hàm f(x) không âm với mọi x>a

2 Khi x→+∞, tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hoặc đánh giá f(x) lớn hay nhỏ hơn hàm g(x)

3 Nếu là hàm tương đương thì dùng t/c so sánh 2,

nếu là hàm nhỏ hay lớn hơn thì dùng t/c so sánh 1

Trang 22

4

1

1(1 cos )

Khi x→+∞ , hàm đã cho không âm

Vậy tp của 2 hàm cùng HT hoặc cùng PK

Do

2 1

Trang 23

HT

1 2

Trang 24

Trang 25

Tích phân suy rộng loại 1Tích phân hàm có dấu bất kỳ

 là tp hội tụ tuyệt đối

Nếu là tp của hàm có dấu bất kỳ, ta sẽ khảo sát tp của hàm không âm sau bằng 1 trong 2 tiêu chuẩn so sánh

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Tích phân suy rộng loại 2Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định và khả tích trong [a,c] với mọi c: a≤c<b và lim ( )

Trang 29

Trang 30

Nếu tích phân suy rộng tại nhiều điểm thì để xét sự hội tụ của nó,ta phải tách nó ra thành tổng của các tích phân,mà mỗi tp chỉ suy rộng tại 1 điểm Tp ban đầu hội tụ khi và chỉ khi tất cả các tp thành phần

hội tụ

Chú ý :

30

Trang 31

Ví dụ: Tính 1 1

2 0

I

1

dx x

dx

x x





Trang 32

t dt t





2 2

2

1

4(1 )( 1)

Trang 34

Ví dụ: Khảo sát sự HT của I2 ,

b a

Trang 35

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b),

không bị chặn tại b và f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của b Ta có:

ta sẽ so sánh f(x)

Trang 36

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b), không bị chặn tại b và ( )

Ta cũng tìm hàm g(x) để so sánh như khi khảo sát

tp suy rộng lọai 1 khi x→b

-36

Trang 37

Ví dụ: Khảo sát sự HT của 3 1

3 0

=

1

xdx I

x





Hàm không xác định tại 1 điểm x = 1, tại đó hàm

không bị chặn và đó là điểm duy nhất trên đọan lấy

dx





Trang 38

Tích phân suy rộng loại 2Tích phân hàm có dấu bất kỳ - Hội tụ tuyệt đối

ln I

1

x dx x





Xét tại 2 điểm đặc biệt x=0, x=1

2 0

lnlim

1

x

x x





 

Tức là hàm chỉ không bị chặn tại x=0

Trang 39

1

0

ln I

1

x dx x

1

x

dx x



     0 x10 1

Tích phân này HT nên -I4 cũng HT.Suy ra I4 cũng HT

Trang 40

Ví dụ: Khảo sát sự HT của

2 6

0 (2 )

dx I

Trang 41

Ví dụ: Khảo sát sự HT của 7

0 x cos

dx I

Trang 42

Ví dụ: Tìm α để tp sau HT

Ta xét khi x→0

1 9

Trang 43

Khi x : f x

x 

-1/5 -3/5

1

0

1 ( ) HT <

Trang 44

Tích phân suy rộng - Phụ lụcTính các tp

2 2

( 1) 1

x

dx I

x x dx I

x

dx I

0

4 1

arcsin

|1 | (1 )

1 2 9

1

dx I

x I

x x x

x dx I

Trang 45

Tích phân suy rộng - Phụ lụcTìm α để các tp sau HT

1

0 2

3 0

dx I

x

x dx I

x

x dx I

Trang 46

Ứng dụng của tích phân xác định1.Bài toán diện tích hình thang cong:

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b] Tính diện tích hình thang cong D giới hạn bởi đường

cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0

b

a

2.Bài toán diện tích hình phẳng:

Cho hàm f(x),g(x) liên tục trên [a,b] Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường cong y=f(x),y=g(x),2 đường thẳng x=a, x=b

Trang 47

Ứng dụng của tích phân xác định3.Bài toán thể tích vật thể tròn xoay:

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b] Hình

thang cong D giới hạn bởi đường cong y=f(x),

3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 Tính thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi D quay tròn quanh trục

Trang 48

Ứng dụng của tích phân xác địnhVD1.Hình thang cong D giới hạn bởi đường cong y=sin x, 3 đường thẳng x=0, x=pi, y=0

0 0

Trang 49

1 1

1 1 ( )

2 1 1 ( ) ( )

Trang 50

Ứng dụng của tích phân xác định VD8.Miền D giới hạn bởi các đường cong

1 1 1 ( ) ( )

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	1,61 MB