ôN TẬP

cách chọn để thực hiện hành động trên... Chú ý cách giải quyết như sau : 1 / Nếu những hành động nầy gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chon cho từng giai đoạn rồi áp dụng quy tắc

• 1 / Quy tắc nhân : Giả sử một hành động gồm k giai

đoạn liên tiếp Ở giai đoạn 1 có cách chọn , ở giai

đoạn 2 có cách chọn ,…., ở giai đoạn k có cách

chọn Thế thì có tất cả … cách chọn để thực hiện hành động trên

• 2 / Hoán vị :Mỗicách sắp đặt các phần tử của một tập

hợp A có n phần tử ( n 1 ) theo một thứ tự nhất định gọi

là một hoán vị của n phần tử

• Ký hiệu là số hoán vị của n phần tử ta có công thức :

= n(n-1)(n-2)….3.2.1 = n!

1

m

2

k

m

1

m m2

≥

n p n p

• 3/Chỉnh hợp:Cho một tập hợp gồm n phần tử, n 1.Lấy

ra k phần tử(1 k n ) theo một thứ tự nhất định gọi là

một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

• Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là ta có :

= n(n-1)(n-2)…(n-k+1) =

( Quy ước 0 ! = 1)

4 / Tổ hợp : a/Cho một tập hợp A gồm n phần tử Một tập con của A gồm k phần tử

Được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Ký hiệu tổ hợp chập k của n phần tử là

Ta có : =

≤

k n

A

k

n

k n

C

k n

C k n k!( n−! )!

• =

• + =

• + + + + =

• 5 / Nhị thức Niu tơn:

• II / PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Dạng toán thường gặp là: Lập các số từ các chữ số đã cho.Lập các nhóm người hay đồ vật thoả mãn một số

điều kiện đã cho Chú ý cách giải quyết như sau :

1 / Nếu những hành động nầy gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chon cho từng giai đoạn rồi áp dụng quy tắc nhân

k n

C Cn k n−

1

k n

C +

k

n

k n

C ++

0

n

C C1n C2n Cn n 2n

a b+ =C a +C a b− + +C a b− + +C b

• 2 / Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các

phần tử,thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp

đổi vị trí các phần tử thì đây là những bài toán về tổ hợp.

• III / CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG: III

• Bài toán 1(Quy tắc nhân) : Cho tám chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.Từ 8 chữ

số trên có thể lập được bao nhiêu số,mỗi số gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.

Giải

Gọi là một số thoả mãn điều kiện bài toán.

- Vì nên có 7 cách chon.

- Vì x không chia hết cho 10 và nên có 6 cách chọn

- Tương tự ta chỉ còn 6 cách chọn

- Và vì nên chỉ còn 5 cách nhọn

Vậy có 7.6.6.5 = 1260 số thoả mãn điều kiện bài toán

1 2 3 4

x a a a a=

1 0

a ≠

4 1

a ≠ a a4

3

a

2

a

3 2

a ≠ a

miếng ghi 1 trong 5 chữ số 0,1,2,3,4.Lấy 3 từ 5 miếng bìa nầy đặt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số có 3 chữ số.Hỏi lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số,trong đó có mấy số lẻ

Giải

Gọi số cần tìm là :

Vì nên có 4 cách chọn miếng bìa cho

Sau khi đã chon miếng bìa cho thì còn 4 cách chọn miếng bìa cho

Và cuối cùng còn 3 cách chọn miếng bìa cho

Vậy theo quy tắc nhân ,số các số lập được là : 4.4.3=48

1 2 3

x a a a=

1 0

1

a

2

a

3

a

• Vì số lẻ nên chữ số đơn vị có 2 cách chọn ( 0 hoặc 4 )

Tiếp theo có 3 cách chọ chữ số hàng trăm

Cuối cùng còn 3 cách chọn cho chữ số hàng chục

Vậy số số lẻ là 3.3.2 = 28 số

Bài toán 3 ( Hoán vị ): Có 7 người bạn A,B,C,D,E,G,H chụp ảnh

chung.Họ muốn chụp ảnh chung bằng cách đổi chỗ đứng lẫn

nhau,nhưng bộ ba A,B,C luôn đứng cạnh nhau theo thứ tự như

thế Hỏi có bao nhiêu bức ảnh khác nhau?

Giải

Vì bộ ba ABC luôn đứng cạnh nhau theo thứ tự nêncác thứ

tự còn lại dành cho D,E,G,H.Do đó ta có thể coi như là chỉ có 5 vị trí khác nhau như sau :

Vậy kết quả của bài toán là hoán vị của 5 phần tử

= 5! = 120 bức ảnh

3

a

1

a

2

a

5

p

được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số 0,2,3,6,9

Giải

Gọi số phải tìm là

Vì x là số chẵn nên có thể là 0,2 hoặc 6

Nếu chọn là 0 thì có 4 cách chọn còn các vị trí

là hoán vị của ba số còn lại.Vậy với là 0 thị có tất cả

4.3! = 24 số x

Với =2 hoặc = 6 thì có 2 cách chọn Ứng với mỗi cách chọn nầy có 3 cách chọn còn ba vị trí còn lại là một hoán vị của ba phần tử còn lại.Do đó có tất cả2.3.3! = 36 số x tương ứng với

Vậy số các số chẵn lập được là:24 + 36 = 60 số

1 2 3 4 5

x a a a a a=

5

a

1

a

2

a a3

4

a

5

a

5

a

5

1

a

5

a

(a ≠ 0,a ≠ a )

• Bài toán 5 ( Chỉnh hợp ) : Từ các chữ số

0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có các chữ số khác nhau ?.

Giải

Ký hiệu số cần tìm là x =

Có 6 cách chọn số Ứng với mỗi cách chọn thì ở 4 vị trí , , , là một chỉnh hợp

chập 4 của 6 phần tử còn lại Vậy có thể lập

được = 6.5.4.3.= 2160 số tự nhiên thoả

mãn yêu cầu bài toán

1 2 3 4 5

a a a a a

1

a

3

a

2

a a4 a5

4 6

6.A

chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 18 ?

Giải :

Ký hiệu là số cần tìm

Vì tổng các chữ số là 18 nên có các khả năng xãy ra như sau :18 = 0+1+2+3+4+8

18 = 0+1+2+3+5+7

18 = 0+1+2+4+5+6

Ứng với mỗi cách chọn đó,có 5 cách chọn còn các

vị trí , , , , là một hoán vị của 5 số.Vậy có tất

cả : 3.5.5! = 15.120 = 1800 số thoả mãn

1 2 3 4 5 6

x a a a a a a=

1 ( 1 0)

2

a a3 a4 a5 a6

• Bài toán 7 ( Tổ hợp ):Một đội xây dựng gồm 10 công

nhân và 3 kỹ sư Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ

sư làm tổ trưởng,một công nhân làm tổ phó và 5 công

nhân làm tổ viên.Hỏi có bao nhiêu cách thành lập các tổ

công tác

Giải

Để lập tổ công tác ,có ba giai đoạn

- Chọn tổ trưởng : có 3 cách chọn kỹ sư.

- Chọn tổ phó : Có 10 cách chọn 1 công nhân làm tổ phó.

- Chọn tổ viên : Chọn 5 người trong 9 công nhân có (tổ

hợp chập 5 của 9) Vậy theo quy tắc nhân ta có 3.10

=30 = 3780 cách thành lập tổ công tác

5 9

C

5 9

C

9!

cho 3 em học sinh:A được 4 cuốn,B được 3 cuốn,C được

2 cuốn.Hỏi có bao nhiêu phương án tặng khác nhau?

Giải:

Học sinh A được 4 cuốn tức là một tổ hợp chập 4 của 9

phần tử.Nên số cách chọn để tặng cho H/s A là Sau khi tặng sách cho H/s A thì H/s B được 3 trong số 5 cuốn sách còn lại Do đó số cách tặng cho H/s B là Sau khi đã tặng cho A và B thì H/s C được 2 cuốn sách còn lại nên số cách tặng là 1=

Vậy số phương án chọn tặng sách khác nhau là

= = 1260 cách

4 9

C

3 5

C

2 2

C

4 9

C

3 5

C

4 9

C C35 C22

9!

4!.3!.2!

CHÚC QUÝ THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM

HỌC SINH ÔN TẬP TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI