chứng minh bất đẳng thức

Tài liệu chứng minh nhiều dạng bất đẳng thức THPT tham khảo cho GV và HS

111Equation Chapter 1 Section 1

Chuyên đề 1:

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để góp phần tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề chứng minh bất đẳng thức trong chương

trình Toán THPT , xin nêu ra đây một số phương pháp giải và các bài toán mang tính minh họa

I.-Phương pháp phản chứng.

-Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các bài toán Logic, các bài toán đại số hoặc hình hình,về cơ bản gồm các bước: Tuy nhiên trng dạng

P⇒Q

ta có thể vận dụng :P⇒Q

- đúng, hay : B⇒P

- đúng

-Sau đây xin giới thiệu vài bài toán liên quan

1- Bài toán 1: Cho a≥0

, b≥0

, c≥0

, thì : 3 3

a b c+ + ≤ a b c+ +

(1)

-Giải.

+Giả sử , nếu :

2 2 2

a b c+ + > a + +b c

( dạng B⇒P +Ta có:

2 2 2 2

-Do

(a b− ) , (b c− ) ,(c a− ) ≥0

, nên (*) không thể xảy ra

hay :

2 2 2

a b c+ + > a + +b c

không thể xảy ra

a b c+ + ≤ a b c+ +

2-Bài toán 2 : Chứng minh rằng, nếu

(a b− ) + −(b c) + −(c a) >0

thì :

a + + ≠b c ab bc ca+ + -Giải

+Giả sử :

2 2 2

a + + =b c ab bc ca+ +

+Ta có :

2 2 2 2

0 1

4

1

4

-Từ đẳng thức (*) dể thấy :

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

.Từ (i) :

(a b− ) + −(b c) + −(c a) =0

(mâu thuẫn với giả thiết) Từ (ii) :

(a b+ ) + +(b c) + +(c a) =0

⇔ + = + = + =a b b c c a 0

⇔ = = =a b c 0

(a b) (b c) (c a) 0

( mâu thuẫn với giả thiết) Vậy không thể :

2 2 2

a + + =b c ab bc ca+ +

Hay :

2 2 2

a + + ≠b c ab bc ca+ +

II.-Phương pháp qui nạp.

-Phương pháp qui nạp được dùng nhiều trong các bài toán về dãy số, cấp số Thông thường có các bước : Kiểm tra mệnh đề đúng với P(n0) , Giả sử mệnh đề đúng với

P(k),Chứng minh mệnh đề đúng ở bước P(k+1) tiếp theo Kết luận : Vậy mệnh đề đúng với mọi k

-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này

1-Bài toán 1: Chứng minh rằng :

1 ( 1)

n + > +n

với mọi n ≥ 3 (1)

-Giải.

+Khi n = 3 :

(1) ⇔ 3+ > + (3 1) ⇔ 3 = 81 4 > = 64

-bất đẳng thức đúng khi n = 3

+Giả sử (1) đúng với n = k , là :

1 (k 1)

k + > +

(2)

+Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, là : ( 1) 1 [ ] 1

hay :

(k+1)k+ > +(k 2)k+

(3)

Thật vậy : Từ (2):

1 (k 1)

k + > +

1

k

+

2( 1) 2

1 1 2 2

1 2

2

1

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

2 1 ( 1)

1

k k

k k k

k k

k

k k

k k k

k

k

k

k

+ +

+ + +

+ +

+

+

⇔ + >

 + 

 + + 

⇔ + > + + ÷ > +

Vậy :

1 ( 1)

n + > +n

với mọi n ≥ 3

2-Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

n

n− < n

+

-Giải.

+Khi n = 1 :

(1)

+

- bất đẳng thức đúng khi n = 1

+Giả sử (1) dúng khi n = k , là :

k

k− < k

+

+Ta chứng minh (1) đúng khi n = k +1, là :

.

k

+ − <

hay :

k

k + < k

Thật vậy , từ (2) :

.

k

k− < k

+

2

Do :

4(k + 2k+ = 1) 4k + 8k+ = 4 4k + 7k+ + > (k 4) 4k + 7k+ = 3 (2k+ 1)(2k+ 3)

Nên :

2

(3)

k k

Hay :

.

k

k + < k

Vậy :

.

n

n− < n

+

- đúng với mọi n nguyên dương

3-Bài toán 3: Cho

4(n 1) n N n

π α

−

Chứng minh rằng: tannα −ntanα >0

-Giải.

+Khi n = 2 , với

0

4(2 1) 4

α

< < =

−

thì (1) trở thành:

3

-Do

2

4

π

< < ⇒ < < ⇒ − >

Nên

3 2

2 tan

0

1 tan

α

α >

−

hay

tan 2α −2 tanα >0

-bất đẳng thức đúng khi n = 2

+Giả sử (1) đúng khi n =k ( k >2) , là :

tankα −ktanα >0 (2)

+Ta chứng minh (1) đúng khi : n = k+1 (k>2), là :

Với

0

4k

π α

< <

thì tan(k +1)α − +(k 1) tanα >0 (3)

Thật vậy: Do

tan tan tan( 1)

1 tan tan

k k

k

α

+

−

,

- mặt khác do :

4

kα >k α ⇒ < α < ⇒ <π kα <

⇒ < − 0 1 tan tank α α < 1

Nên :

tan tan tan tan

1 tan tan 1 tan tank

k

⇒tan(k+1)α− +(k 1) tanα >0 (3)

Vậy:

tan(n ) n tanα − α >0

,với

0

4(n 1)

π α

< <

−

III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy

-Bất đẳng thức Cauchy –trong chương trình THPT , bao gồm một số dạng chính sau:

2

a b

- dấu = xảy ra khi a = b

3

3

a b c

a b c + + a b c

- dấu = xảy ra khi a = b = c

1 2

n

- dấu = xảy ra khi a1 = a2 =………= an

-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.

1-Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương và

2 2 2 1

a + +b c =

Chứng minh rằng :

3 3

(1) 2

-Giải.

+Do

2 2 2 1

a + +b c =

nên (1)

2 2 2

3 3

(1 ) (1 ) (1 ) 2

+Do a>0 , b>0, c>0 và

2 2 2 1

a + +b c =

,nên 0 < a,b,c < 1

Gọi

(0;1)

x∈

, ta chứng minh :

(0;1)

x

∀ ∈

thì ta luôn có :

2

(1 ) 2

−

Khi đó:

2

−

Đề chứng minh (*), áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x)2, (1- x2)2 , được:

3

Từ đó :

2 2 2

3 3

(1 ) (1 ) (1 ) 2

Hay :

3 3

2-Bài toán 2: Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1

Chứng minh : a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6

-Giải

+Áp dụng 3 lần BĐT Chauchy cho 2 số, được:

2

2

2

Cộng từng vế tương ứng, được:

a b c

2

Vậy : a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6

3-Bài toán 3: Cho 3 số a,b,c > 0

Chứng minh :

a + + ≥b c a bc b+ ca c+ ba

(1)

-Giải

+Áp dụng 3 lần BĐT Cauchy cho 2 số ,ta được:

.a +abc ≥2 a bc =2a bc

.b +abc≥2 b ac =2b ac

.c +abc≥2 c ab =2c ab

Cộng từng vế tương ứng, được:

a + + +b c abc≥ a bc b+ ca c+ ab

,do

a + + ≥b c abc

Nên:

2(a + +b c )≥a + + +b c 3abc

2(a bc b ca c ab)

Vậy :

IV.-Phương pháp dùng tam thức bậc hai.

-Tính chất của tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c ,được ứng dụng khá rộng rãi trong các toán về bất đẳng thức; ta xem xét một vài trường hợp

a)- Vận dụng tính chất :

b ≥a c

b)-Vận dụng tính chất :

≥ ⇔ > ∆ ≤



 ≤ ⇔ < ∆ ≤



c)-Vận dụng tính chất : f(x) có 2 nghiệm x1 < x2 thì ∃ c : a.f(c) < 0

-Sau đây xin giới thiệu một vài bài toán dạng này

1-Bài toán 1: Cho các số 1 2 3 1 2 3

, , , , ,

a a a b b b

,sao cho :

( 2 2 2) 2 2 2 2

f x = a + +a a x − a b +a b +a b x+ b + +b b ≥

(1)

Chứng minh rằng :

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

a b +a b +a b ≤ a + +a a b + +b b

(2)

-Giải.

+Biến đổi tương đương (1), được:

Cho thấy :

: ( ) 0

x R f x

-Đẳng thức xảy ra khi :

3

1 2

1 2 3

-Để chứng minh (2) ta xét ∆ ≤0

Do

( ) 0

f x ≥

nên ∆ ≤' 0

Vậy :

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

a b +a b +a b ≤ a + +a a b + +b b

2-Bài toán 2: Cho 2x+3y=5

(1) Chứng minh :

(2)

Giải.

+Từ (1) cho ta:

5 2 3

x

+Thay vào (2), được :

2

3

x

2 2

x

Bất dẳng thức (2’) đúng , suy ra (2) đúng

3-Bài toán 3: Cho b > 0 và n số thực dương a1,a2,… an , sao cho:

0< <a a k <b

với k = 1,2,3,….,n Đặt

1

1

1 n

k

n

và

2 2

1

1 n

k

n

Chứng minh rằng :

2 2

1

4

+

≤

Giải.

+Xét tam thức

2

f x = x − +a b x a b+

, luôn có 2 nghiệm : 1

x =a

và 2

x =b

+Do k

a a≤ ≤b

, ta có :

2

f a = a − +a b a +ab≤

Cho k = 1,2,… ,n và cộng từng vế đẳng thức tương tự với (*) , được:

1 1

a +n ab≤ +a b a

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số

2 1

n k

a

∑

và n ab. , lại được:

2

2

2

2

1 1

n

k

n

k

n a

c

a

∑

∑

Vậy :

2 2

1

( )

4

+

≤

V.-Phương pháp giải tích

-Một số bất đẳng thức được chứng minh dựa theo các tính chất giải tích như sau:

.

+Với 3 điểm A,B,C bất kỳ , luôn có: AB BC+ > AC

+Với 2 vecto ar

, br

bất kỳ , luôn có :

a br r± ≤ +ar br

, Khi thay bằng biểu thức tọa độ: ( ) (2 )2 2 2 2 2

a ±b + a ±b ≤ a +a b +b

-Vận dụng tính chất trên ta xét một số bài toán sau:

1-Bài toán 1: Cho

,

x y R∈

Chứng minh :

x +xy y+ + x + +xz z ≥ y + yz z+

Giải.

Biến đổi tương đương (1) , được:

2 2

 +  + ÷ +  +  + ÷ ≥ + +

(1’)

-Đặt

2 2

;

= + ÷÷⇒ =  + ÷ + ÷÷

2 2

( );

= − + ÷÷⇒ =  + ÷ + ÷÷

Ta được :

y yz z

-Do tính chất

ar + ≥ +br a br r

,ta suy ra :

(1’)

Hay :

x +xy y+ + x + +xz z ≥ y + yz z+

2-Bài toán 2: Cho a,b,c,d là 4 số thỏa mãn:

2 2

2 2







Chứng minh rằng :( )3 ( ) (2 )2 ( )3

2 1+ ≤ a c+ + −b d ≤ 2 1+

(1)

Giải.

-Từ (*): Gọi M(a;b) thỏa mãn :

2 2 2 2 1 0

a + −b b− c+ =

thì M ∈( C1) có phương trình ( ) (2 )2

, có tâm I1(1;1) và R1 =1 -Từ (**): Gọi N(c;d) thỏa mãn :

2 2 12 12 36 0

c +d − c− d + =

thì N ∈( C2) có phương

trình : ( ) (2 )2

, có tâm I2(6;6) và R2 =36

-Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương: 5 2 7− ≤ MN ≤5 2 7+

(1’)

Cho biết đường thảng I1I2 cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2) tại N1,N2

Xác định các độ dài như sau:

Và

( ) (2 )2

.MN = a c− + −b d

Khi đó M1N2 là độ dài lớn nhất của MN, M2N1 là độ dài lớn nhất của MN, nên:

2 1 1 2

M N ≤ MN ≤ M N

16

14

12

10

8

6

4

2

M2 M1 I1

I2

N2

N1

Tù đó ta có :

5 2 7− ≤ a c− + −b d ≤5 2 7+

( )3 ( ) (2 )2 ( )3

Vậy : ( )3 ( ) (2 )2 ( )3

2 1− ≤ a c− + −b d ≤ 2 1 +

Xin cảm ơn quí Thầy , Cô và các em học sinh quan tâm tìm hiểu chuyên đề này