Xây dựng phần mềm giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp không lưới

Trong một số ít trường hợp đơn giản miền hình học là miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng …, các bài toán có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích.. Nế

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 5

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 5

1.1 Sơ lược về Phương trình đạo hàm riêng 5

1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu 6

1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng 6

1.2.2 Một số bài toán thực tế đi đến phương trình đạo hàm riêng 7

1.3 Khái niệm bài toán biên 15

1.4 Nội suy dữ liệu rời rạc 17

1.5 Ma trận và hàm xác định dương 19

1.6 Hàm bán kính 20

1.7 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn 21

1.8 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện 24

1.9 Ví dụ nội suy bằng RBF 27

CHƯƠNG 2 30

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI NỘI SUY BỞI HÀM RBF GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 30

2.1 Giới thiệu 30

2.2 Đa thức nội suy Hermit 33

2.3 Phương pháp trùng khớp đối xứng 35

2.4 Ví dụ 37

CHƯƠNG 3 41

MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THU ĐƯỢC 41

3.1 Cài đặt chương trình 41

3.1.1 Giao diện chính của chương trình 41

3.1.2 Giao diện View bảng các hàm RBF thông dụng 42

3.1.3 Giao diện help của chương trình 43

3.2 Các ví dụ 43

3.2.1 Ví dụ 1 43

3.2.2 Ví dụ 2 47

3.2.3 Ví dụ 3 52

PHỤ LỤC 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Error! Bookmark not

defined.

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng Trong một số ít trường hợp đơn giản (miền hình học là miền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng …), các bài toán có thể tìm được nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh không có hoặc rất phức tạp Hơn nữa, một số bài toán trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bài toán tại một vị trí nào đó Vì vậy người ta sử dụng các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của chúng Hiện nay các phương pháp số được sử dụng phổ biến gồm có phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method - FDM), phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), khối hữu hạn (finite volume method - FVM),v.v … Các phương pháp này được gọi chung là phương pháp rời rạc hóa theo không gian Đối với các bài toán phụ thuộc thời gian, ta cần thêm công cụ số để rời rạc hóa phương trình theo biến thời gian

Nếu như các phương pháp FDM, FEM, FVM, v.v … rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở chia nhỏ miền tính toán thành một lưới (mesh) gồm những phần tử ràng buộc lẫn nhau trên lưới theo những nguyên tắc xác định (ta gọi chung các phương pháp này là nhóm phương pháp dựa vào lưới) thì đối với các phương pháp không lưới, miền tính toán được chia thành một tập hữu hạn các điểm rời rạc, có thể bố trí tùy ý (unstructured) và không có bất kỳ mối ràng buộc nào về vị trí tương đối giữa chúng trong quá trình tính toán

Có nhiều phương pháp không lưới, trong đó có phương pháp Radial Basis Function (RBF) Nội dung chính của đồ án tốt nghiệp là trình bày các

kết quả lý thuyết và thực nghiệm tính toán đối với phương pháp sử dụng RBF

là phương pháp trùng khớp đối xứng Đồ án bao gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng và phương pháp không lưới (RBF) Một số phương trình đạo hàm riêng

cơ bản và tính chất của RBF được áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc Đây là những kiến thức quan trọng làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của đồ án

Chương 2: Trình bày phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp không lưới nội suy bởi hàm RBF

Chương 3: Xây dựng chương trình giải bài toán phương trình đạo hàm riêng (bài toán biên) bằng phương pháp không lưới (nội suy bởi hàm RBF) để kiểm tra độ chính xác của phương pháp, các ưu điểm khi sử dụng phương pháp này Các kết quả thực nghiệm tính toán đã được kiểm tra bằng các chương trình thực nghiệm lập trình trong môi trường Matlab trên máy PC

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng ta trình bày sơ lược về phương trình đạo hàm riêng, một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu và những kết quả lý thuyết quan trọng về phương pháp không lưới, trong đó bài toán nội suy dữ liệu rời rạc được đề cập như động lực thúc đẩy sự phát triển của phương pháp Cách xây dựng và các tính chất của RBFs thường dùng…v.v Những kiến thức cơ

sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu

1.1 Sơ lược về Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học

Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình hoặc một hệ phương trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng nói riêng

Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1, ,x n), các biến độc lập xi và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng) Nó có dạng

, 0 ,

, , , ,

), (

1 1

u x

u x

u x u x

Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và các

đạo hàm riêng của ẩn hàm Ví dụ phương trình tuyến tính cấp 2 tổng quát đối với hàm u= u(x,y) có dạng

,()

,()

,()

,(2)

,

2 2

2

2

y x g u y x f y

u y x e x

u y x d y

u y x c y x

u y x b x

0),,,()

,,,()

,,,(2)

x y

x y

y

u u u y x c y x

u u

u y x b x

u u

1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu

Trong mục này chúng ta giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng dụng trong thực tiễn trong các nghành khoa học như: toán học, vật lý, hoá học và khoa học trái đất …vv

1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng

1 Phương trình Laplace do Laplace đưa ra vào khoảng nămg 1780

01

n n

i

u u

x i

t b u i u

4 Phương trình Liouville được nghiên cứu vào khoảng nămg 1851

.0)(

x i

n i x i x

x ij

tt a u i j b u i u

Trên đây là một số phương trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh đó còn rất nhiều phương trình đạo hàm riêng khác

1.2.2 Một số bài toán thực tế đi đến phương trình đạo hàm riêng

Trong thực tế có rất nhiều hiện tượng mà những biến đổi của nó theo thời gian, không gian hay cả thời gian và không gian được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng, sau đây là một vài thí dụ:

a) Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất:

Trước khi đi vào bài toán ta xét định luật truyền nhiệt của Fourier:

Luồng nhiệt q( cal/(cm2

.s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuyếch

tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị

thời gian.) tỉ lệ với tốc độ biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức

Ta xét một thanh đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi là S(cm2), có khối lượng riêng là (g/cm2), có nhiệt dung là C(cal/g.o C) Xét một bộ phận vật chất có thể tích là V(cm3

) Nếu bộ phận đó có nhiệt độ không đổi thì thì nhiệt độ u(0C) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau bởi công thức:

H = u CV (1.5)

Khi quan sát người ta thấy rằng nếu thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng tới vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán là k(cm3

/s)

Bây giời ta giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tại hai đầu nút Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt

độ trong thanh

Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục OX từ x = 0 đến x = a + L =

b (hình 1.1)

Hình 1.1

Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x và tại thời gian t Sự lan truyền nhiệt giễn ra dọc theo trục x của thanh vật chất Nó tuân theo định luật Fourier (đã trình bày ở trên) Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhiệt nhỏ Sx của thanh từ x đến x + x trong thời gian t Sự cân bằng này mô tả theo công thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong phân tố

Trong đó:

Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)St;

Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+x,t)St;

Nhiệt tích luỹ trong phân tố là Sx Cu, trong đó u là biến thiên của nhiệt độ trong khoảng thời gian t

=

t

u C

Phương trình (1.6) mô tả hiện tượng trưyền nhiệt trong thanh vật chất

đồng chất gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương trình

truyền nhiệt một chiều

b) Bài toán truyền nhiệt trong miền phẳng:

Nay ta thay thanh vật chất bằng một bản mỏng vật chất  Có đường

biên là một đường cong khép kín T, đặt trong mặt phăng Oxy

Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng

y

u x

u u t y x k

u t y x k

x 1 , , 2 , , - q(x,y,t)u + f(x,y,t), (x,y)  ,

t > 0 (1.9)

Vậy các phương trình (1.7), (1.8), (1.9) là các phưong trình truyền nhiệt

hai chiều

c) Bài toán truyền nhiệt trong không gian ba chiều:

Tương tự khi ta thay bản mỏng vật chất bằng một khối vật chất V có

mặt biên khép kín là , đặt trong không gian Oxyz Khi đó ta có phương trình

truyền nhiệt trong môi trường không gian đồng chất là:

y

u x

u u t z y x k

z 3 , , , , + f(x,y,z,t,u) (x,y,z)  V, t > 0, (1.11) nếu k không phụ thuộc vào u ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:

u t z y x k

z 3 , , , - q(x,y,z,t)u + f(x,y,z,t)

d) Phương trình truyền nhiệt dừng:

Tại một thời điểm nào đó sự phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản

mỏng vật chất, khối vật chất đã ổn định, không còn thay đổi theo thời gian thì

ta gọi đó là hiện tượng truyền nhiệt dừng Lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo

thời gian nữa hay

a < b (1.13)

dx

du u x k dx

d

, = f(x, u), a < x < b; (1.14) hay khi k không phụ thuộc vào u ta có:

d

- q(x)u = f(x), a < x < b; (1.15)

Trong trường hợp hai chiều:

2 2 2 2

y

u x

u u y x k

Trong trường hợp ba chiều:

2 2 2 2

y

u x

u u z y x k y x

u u z y x k

(x,y,z)  V (1.20) hay khi k không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính:

u z y x k y x

u z

y

u x

y

u x

e) Phương trình dây rung

Xét một dây đàn bằng kim loại đồng chất , căng, thẳng, có độ dài L, cố

định hai đầu mút Khi gẩy dây đàn tách ra khỏi vị trí cân bằng một chút rồi

buông ra, dây đàn sẽ rung lên và phát ra âm thanh Để mô tả hiện tượng rung

của dây đàn ta tưởng tượng dây đàn đặt trên một trục Ox từ x = a đến x =b =

a+L, và vẽ trục Ou vuông góc với Ox để biểu diễn đọ lệch của dây đàn

Hình 1.4

Gọi u(x,t) là độ lệch vuông góc với Ox của dây tại điểm x ở thời điểm

t Khi đó người ta chứng minh được hàm số u(x,t) thoả mãn phương trình đạo

hàm riêng:

2

2 2 2

x

u c t

trong đó c là hằng số đặc trưng cho tính đàn hồi của dây

Phương trình này mô tả hiện tượng rung động của dây đàn, nên được gọi

là phương trình dây rung hay phương trình truyền sóng một chiều

1.3 Khái niệm bài toán biên

Như ta đã biết một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm Ta phải

thêm một số diều kiện phụ nữa thì bài toán mới có nghiệm duy nhất

x U(x,o)

U(x,t)

x

Một phương trình vi phân thường cấp một kèm thêm một điều kiện phụ tại

một điểm:

X x x y x f

y'  ( , ), 0   , y(x0)  tạo nên một bài toán hoàn chỉnh, có tên là bài toán Cauchy hay bài toán trị ban

đầu

Một phương trình vi phân thường cấp hai kèm thêm hai điều kiện phụ

tại hai điểm khác nhau:

), , ( '' f x y

y gọi là điều kiện biên (loại một)

Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn có nghiệm

duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kem theo một điều kiện phụ

Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán riêng biệt

Thí dụ:

Đối với phương trình Poisson hai chiều:

2 2 2 2

y

u x

u  (x,y) T (1.25) gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện Dirichlet

Bài toán tìm hàm số u = u(x,y) thoả mãn phương trình (1.21) và điều kiện biên (1.25) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Poisson (1.21)

Ý nghĩa vật lý của bài toán này là:

Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân

bố nhiệt độ tại biên T đã ổn định là g(x,y)

Điều kiện phụ:

T y T

y g x y u

y x n

( ( , ) )

, (

1.4 Nội suy dữ liệu rời rạc

Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó), yêu cầu cần một qui tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có Vì vậy ta mong muốn tìm một hàm đủ “tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có Có nhiều cách để quyết định thế nào là “tốt”, và một trong các tiêu chuẩn là muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc được tại những vị trí đã cho Đáp ứng các tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy Và nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lưới chuẩn thì tiến trình trên gọi là nội suy

dữ liệu rời rạc Chính xác hơn ta có:

Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu (x j , y j ), j=1, ,N với x j  R s , y j R Tìm một hàm (liên tục) P f thỏa mãn:

N

k k

c 1: y

Ac 

trong đó Ajk = Bk(xj), j,k= 1, …,N, c=[c1,…,cN]T, và y=[y1,…,yN]T

Bài toán 1.1 sẽ được đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi

và chỉ khi ma trận A là không suy biến

Trong trường hợp một chiều, ta luôn xây dựng được đa thức nội suy bậc n-1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên khi s2, ta có kết quả phủ định sau:

Định lý 1.1 (Mairhuber- Curtis) Nếu R s, s 2 chứa một điểm trong thì trong  không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp không gian một chiều

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa:

Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C( ) gọi {B 1, B 2 , …, B n } là một cơ sở của B Khi đó B được gọi là không gian Haar trên

 nếu det(A)0 với mọi tập các điểm phân biệt {x 1, x 2 , …, x n }  Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi A j,k = B k (x j );j,k= 1,…,n

Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1 Không gian các đa thức một biến bậc n – 1 chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu (xj,yj), j= 1, …, n, xj  R, yj  R Cơ sở chính tắc của không gian này là {B1 =1, B2 = x, B3 = x2, …, Bn = xn-1}

Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trước tập các hàm

cơ sở không phụ thuộc dữ liệu Để giải quyết vấn đề không suy biến của ma trận A, ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho,

có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ liệu tương ứng Phương pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971 và được gọi là phương pháp hàm cơ sở bán kính

1.5 Ma trận và hàm xác định dương

Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định

dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:

với c =[c 1 , , c N ] T  R N Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi

c = (0,…,0) T thì ma trận A được gọi là xác định dương

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá trị riêng đều dương và không suy biến

Nếu hệ hàm cơ sở  n

k k

B 1 trong khai triển (1.28) làm cho ma trận nội suy xác định dương, thì bài toán nội suy được đặt đúng Hàm xác định dương được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : R SR là xác định dương khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và thỏa mãn:

0 ) (

với mọi n điểm đôi một khác nhau x 1 ,…, x n  R S và c = (c 1 ,…, c n ) T  R n

Hàm  gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.30) xảy ra khi

và chỉ khi c = (0, ,0) T

Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy, có thể sử dụng các hàm xác định dương chặt Bk = (x - xk) làm hệ hàm cơ sở, và khi đó ta có:

)(

)

(

1

k n

k k

j x x x

B

Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian nhiều chiều Do đó thay vì sử dụng hàm đa biến (x) (độ phức tạp sẽ tăng lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến  cho tất cả số chiều s

1.7 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn

Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tương ứng, dựa trên tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn

Định nghĩa 1.5 Hàm C(R0) được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và chỉ khi (  1 )l  l)(t)  0

với mọi l = 0, 1, …, với mọi t

Việc xây dựng hàm bán kính xác định dương thông qua hàm đơn điệu hoàn toàn dựa vào kết quả sau, được đưa ra bởi Schoenberg 1938

Định lý 1.2 Cho :R  R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn Khi đó với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một (x 1 , x 2 , …, x n ) S

R

 , hàm bán kính

x r r

Bổ đề 1.1 (biểu diễn Bernstein-Widder) Hàm  :R + R là hàm đơn điệu hoàn toàn khi và chỉ khi nó là biến đổi Laplace của một bộ đo Borel không giảm bị chặn dưới  , d   0, nghĩa là

)()

j n k j jk

k n

j n k

()

c c

k n

j n k

c c

k n

j

n k j

2 4 2

1 2

2

2 2

n j

y ix j

s x

x k n

j

n k

j k

j n k

Ví dụ 1.1

Xét hàm  ( t )  e t với   0 Ta có: (  1 )l  l)(t)  ()l e  t   0 Suy ra

hàm này là đơn điệu hoàn toàn Do đó hàm Gaussian (GA) (r)e r2có thể

sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dương của ma trận nội suy

Tương tự, hàm   



) (t t 2 , ,  0 cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn Hàm

cơ sở bán kính   



) (r r2 2 , ,  0 được gọi là hàm Inverse

Multiquadric (IMQ)

Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t)  0 ,' (t)  0 , Tuy nhiên nếu có ' đơn điệu hoàn toàn (' (t)  0 , ' (t)  0 , ) ta vẫn có thể sử dụng được hàm  đảm bảo ma trận không suy biến

Định lý 1.3 Cho C0 ,  là hàm thỏa mãn ' đơn điệu hoàn toàn, khác hằng số Giả sử thêm rằng ( 0 )  0 Khi đó ma trận nội suy không suy biến với  (x) (x) (r2)

Chứng minh định lý 1.3

Viết lại hàm  (t) dưới dạng: t x dx

t t

)()

0()(

e t

t x

j n k

j c x x c

0 1 11

k n

j n k j x

x n

j

n

k

k j

n j n k





n j j

n j j

Điều này chứng tỏ ma trận A phải có n-1 giá trị riêng âm và một giá trị riêng không âm

Thật vậy, giả sử ma trận A có ít nhất 2 giá trị riêng không âm là 1,2 Gọi hai véc tơ riêng tương ứng, trực giao là d1, d2 (điều này có được do ma

trận A đối xứng) Đặt c = ad 1 + bd 2 0 Ta có: 0 > cT Aca21b22  0 (Mâu thuẫn) Vậy A có một giá trị riêng không âm

Do giả thiết (0)0 nên Tr(A) n.( 0 )  0 Mặt khác, vết của ma trận A

là tổng của các véc tơ riêng Nếu véc tơ riêng không âm trên bằng 0 thì mâu thuẫn Vậy nên véc tơ riêng không âm nói trên phải là dương

Từ các lập luận trên suy ra det A là tích các giá trị riêng khác không nên

Trong trường hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu hoàn toàn của , nghĩa là (k),k 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các điều kiện nào để sử dụng được  (theo nghĩa ma trạn nội suy tương ứng không suy biến)? Vấn đề này đã được Micchelli (1986) nghiên cứu và đưa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dương có điều kiện

1.8 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện Định nghĩa 1.6 Hàm  :R s R được gọi là xác định dương có điều kiện bậc

, 0

n

j

P p x

p

c

j (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc

m-1) Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c=0 thì  gọi là xác định dương chặt có điều kiện

Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc

m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.31) một đa thức đa biến bậc (m-1) triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho Cụ thể, hàm nội suy với độ chính xác đa thức được cho dưới dạng:

n j

j j

f

m x

c

x p x x c x

P

1

1

, 0

) ( ) ( )

2 1

s

sx x x

Khi thay điều kiện nội suy ta được hệ phương trình Ac = y Để xác định

hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện c x j m

n j

) ,

(

1

y x p y x y x c y

x

n j j

y x f y x y

j y

c

Vậy ta được hệ n+3 phương trình n+3 ẩn Từ đó có thể tìm được P f (x,y)

Trong trường hợp tổng quát, bài toán (1.34) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến tính sau:

y d

c P

P A

trong đó:

, , 2 , 1 ), (

; )) (

) (

) 1 ( )

)1()

)

r k

1 2 2 ) 1 ( ) (



 vì vậy (  1 ) /2/2 (r) là hàm đơn điệu hoàn toàn Hơn nữa, với mọi m,m/ 2 hàm (  1 )m  m(r) cũng

là hàm đơn điệu hoàn toàn Vì vậy hàm Năng lượng

3 Hàm Thin plates spline (TPS) (r)  (  1 )k1r2klnr,kN

Là các hàm xác định dương chặt có điều kiện bậc m  k 1 Thật vậy: Xét hàm ( ) ( 1 ) 1 ln

r r

1 ( )

) (

1 ln )

3

; 4

) 1 9 ( 49 ) 1 9 ( 2

)) 2 9 ( ) 2 9 ((

4

1

1

2 2

2 2

y x

e f

e

f

;

;5

1

;2

1

4 3 2 1 )

) 3 9 ( ) 4 9 ((

4

) 3 9 ( ) 7 9

2

f f f f f e

f e

f  x  y   x  y    



Cho trước tập giá trị z ij  f(x i,y j);i,j 1 , ,n, trong đó  2

1 , 0 ) , (x i y j  là tập điểm nội suy Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lưới đều trên miền

Xây dựng hàm nội suy 





2

1

)(

n k

k k

f c u u

P  Trong đó u k  (x,y)  thuộc tập điểm tâm,  được chọn là hàm IMQ

Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta được hệ 2

n phương trình, 2

n ẩn Kết quả trong một số lưới được cho trong bảng 1.1, với các sai số được định nghĩa như sau:

) ( ) (

1

n f

Sai số tương đối Sai số lớn nhất Sai số tương đối Sai số lớn nhất

7x7 1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002 10x10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002 13x13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003 17x17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004 20x20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005

Kết luận

Trong chương 1 chúng ta đã trình bày về phương trình đạo hàm riêng và phương pháp nội suy không lưới RBF, các kiến thức để xây dựng các hàm RBF đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy Một số hàm tổng quát được mô tả cách xây dựng lại gồm:

) (

) 1 ( )

kiện bậc m  k1

Hàm Thin Plate Spline (TPS) tổng quát:

N k r r

r   k k 

, ln )

1 ( )

Tuy nhiên, để tiện sử dụng trong chương 2 chúng tôi lấy các hàm trên, với

tham số điều chỉnh  đã được thay bằng

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI NỘI SUY BỞI HÀM RBF GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Giới thiệu

Phương pháp lý tưởng để giải số phương trình đạo hàm riêng cần đạt được các tiêu chí: Độ chính xác cao; linh hoạt đối với các miền hình học; tính toán hiệu quả và dễ dàng để thực hiện Các phương pháp thường được sử dụng chỉ đáp ứng được một hoặc hai tiêu chí đó Phương pháp sai phân hữu hạn có

độ chính xác cao nhưng lại yêu cầu lưới (hoặc một tập hợp lưới) có cấu trúc Phương pháp phổ thậm chí còn có độ chính xác cao hơn nhưng cũng hạn chế

về miền Trong trường hợp phương pháp Fourier, điều kiện biên cần tuần hoàn Phương pháp phần tử hữu hạn rất linh hoạt đối với miền bất kỳ, nhưng khó đạt độ được độ chính xác cao Ngoài ra tất cả các phương pháp này đều có

độ khó tăng lên khi số chiều của không gian tăng

Trong thời gian gần đây, người ta tập chung nghiên cứu phương phápkhông lưới, ứng dụng nội suy RBF để giải phương trình đạo hàm riêng Một hàm RBF chỉ phụ thuộc vào khoảng cách điểm đến tâm x j và như đã biết ở chương trước, RBF có dạng : ( x  x j ) Hàm RBF cũng có thể có tham số hình dạng  , và trong trường hợp này  (r) được thay bởi  r( ,)

r nln , chẵn

Hàm đa bình phương (MQ)

Hàm đa bình phương ngược (IMQ)

Hàm bình phương ngược (IQ)

Hàm Gaussian(GA)

2

) (

1   r

2

) ( 1

dễ tính toán với số chiều bất kỳ Vì vậy khi làm việc với không gian nhiều chiều không làm tăng độ khó

Như đã biết, hàm nội suy RBF cơ bản có dạng

P

1

, )

,

Trong đó các hệ số  n

j j c

1 thường được xác định bởi việc trùng khớp với các dữ liệu rời rạc đã cho, thông qua giá trị hàm hoặc các thông tin về đạo hàm Khi sử dụng các hàm RBF trơn vô hạn, lược đồ xấp xỉ có độ hội tụ phổ

với số điểm dày đặc Điều này đã được chứng minh trong một số trường hợp đặc biệt Và các kết quả giải số là những bằng chứng cho thấy điều đó cũng đúng trong các trường hợp tổng quát Hơn nữa, việc thực hiện phương pháp RBF là dễ làm, không phức tạp Tuy nhiên cũng còn một số tồn tại khi áp dụng cho các phương trình phụ thuộc biến thời gian như hiệu quả tính toán và

sự ổn định của phương pháp

Với phương trình Eliptic, có ba nhóm phương pháp trùng khớp chính áp dụng nội suy RBF Ở nhóm phương pháp thứ nhất, chỉ sử dụng RBFs để tìm một nghiệm riêng của phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất Sau đó, nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất được thêm vào bằng cách thỏa mãn các điều kiện biên (Discrete Projection Methods) Nhóm phương pháp thứ hai bao gồm các phương pháp trùng khớp hoàn toàn Trong đó, cả phương trình đạo hàm riêng và điều kiện biên đều được thỏa mãn tại các điểm trùng khớp Chúng ta sẽ thấy rằng, tính chính xác của nghiệm là một hàm của tham

số hình dạng  , và giá trị  nhỏ thường cho kết quả tốt nhất Vấn đề của các phương pháp này là ma trận nội suy có điều kiện xấu xuất hiện khi  nhỏ Điều này làm cho không thể sử dụng vượt quá giá trị giới hạn nào đó của .

Nhóm phương pháp trùng khớp thứ ba được đề xuất gần đây bởi Mai Duy và Trần Công Thay vì xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua hàm RBF, sau đó tính đạo hàm và trùng khớp để tìm hệ số, nhóm phương pháp này xấp xỉ đạo hàm của nghiệm bằng RBF, sau đó tính tích phân rồi mới

sử dụng điều kiện trùng khớp để tìm các hệ số của khai triển

Trong chương này chúng ta trình bày phương pháp trùng khớp trong nhóm phương pháp thứ hai Đó là các phương pháp trùng khớp đối xứng trên

cơ sở nội suy Hermit được đề xuất bởi Wu, năm 1992 Mô tả các phương pháp trên bài toán biên Eliptic sau:

1

)

23

j

j

- Trong một số trường hợp, ta cần tìm hàm đa thức không những đi qua

các điểm cho trước mà còn phải thoả mãn điều kiện về đạo hàm tại các điểm

đó Ta gọi đa thức như vậy là đa thức nội suy Hermit Để đơn giản, ta khảo sát một đa thức bậc 3:

h(x) =H3x +H2x +H1x +H0 (2.3)

Đi qua hai điểm (x0, y0), (x1, y1) và có các đạo hàm là y0' , y1' Ta tìm các hệ

số Hi bằng cách giải hệ phương trình:

2 1 3 1

0 1 0 2

2 0 3 0

1 0 1 1

2 1 2

3 1 3 1

0 0 0 1

2 0 2

3 0 3 0

'2

3)('

'2

3)('

)(

)(

y H x H x

H x

h

y H x H x

H x

h

y H x H x H x H x

h

y H x H x H x H x

)()(

1

)(

)(

Bây giờ ta tìm đa thức nội suy Lagrange hay Newton đi qua 4 điểm:

),(,)',

(,)',

Hàm Hermit() tạo nên phương trình (2.4)

function H = hermit(x0, y0, dy0, x1, y1, dy1)

A = [x0^3 x0^2 x0 1; x1^3 x1^2 x1 1;

3*x0^2 2*x0 1 0; 3*x1^2 2*x1 1 0];

b = [y0 y1 dy0 dy1]’; %Pt.(2)

H = (A\b)’;

Hàm hermits() dùng hàm hermit() để tính các hệ số của đa thức Hermit trên

nhiều đoạn và giá trị nội suy:

function [H,yi] = hermits(x, y, dy, xi)

% Tim cac he so cua c da thuc Hermite tren c doan

Để nội suy ta dùng chương trình cthermite.m

Phương pháp này có cơ sở là phương pháp nội suy dữ liệu rời rạc

i i

i L f i n x R

x, ,  1 , , ;  , với LL1, ,L n là tập các hàm tuyến tính độc lập tuyến tính Xây dựng hàm nội suy:

j j

i L

L

A ij  i  j , ,  1 , , (2.7)

Ma trận A của phương pháp nội suy Hermit đảm bảo không suy biến với một số lớp hàm , trong đó có các hàm RBF thông dụng, thông thường, nội suy Hermit sử dụng khi có thêm yêu cầu thỏa mãn các điều kiện về đạo hàm tại các điểm nội suy Công thức (2.7) ở trên là rất tổng quát, áp dụng cho

tất cả các hàm tuyến tính L miễn là hệ hàm phải độc lập tuyến tính.

Đối với phương pháp trùng khớp đối xứng, ta sử dụng hàm L trong hàm

nội suy Hermit bằng toán tử tuyến tính của phương trình đạo hàm riêng (2.1), (2.2) Cụ thể, hàm nội suy nghiệm của phương trình được xây dựng dưới dạng: