Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển

Tính khoa học và cấp thiết của đề tài Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài toán thực tiễn phức tạp cóthể được giải quyết nhờ công cụ của phương trình liên hợp.. Để giải quyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Đình Dũng

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫnkhoa học của TS Nguyễn Đình Dũng, các kết quả lý thuyết được trình bày trongluận văn là sự tổng hợp từ các kết quả đã được công bố và có trích dẫn đầy đủ, kếtquả của chương trình thực nghiệm trong luận văn này được tôi thực hiện là hoàntoàn trung thực, nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin vàTruyền thông dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Đình Dũng Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyềnthông, Đại học Thái nguyên, các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin –Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn tới TS Nguyễn Đình Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệucần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng nghiệp

đã trao đổi, khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đạihọc Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã luôn bêncạnh, động viên và khuyến khích tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020

Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƯỜNG5 1.1 Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm 5

1.2 Phương trình truyền tải dừng 10

1.3 Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm 15

1.4 Bài toán liên hợp cho miền ba chiều 21

1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp 26

1.6 Kết luận chương 1 29

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG DỪNG31 2.1 Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho bài toán không dừng với toán tử phụ thuộc thời gian [4] 31

2.1.1 Bài toán thuần nhất 31

2.1.2 Xét bài toán thuần nhất 37

2.2 Phương pháp phân rã 39

2.2.1 Bài toán thuần nhất 39

2.2.2 Bài toán không thuần nhất 40

2.3 Phương pháp phân rã nhiều thành phần 44

2.3.1 Bài toán thuần nhất 45

2.3.2 Bài toán không thuần nhất 46

2.4 Kết luận chương 2 49

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 50

3.1 Bài toán ô nhiễm khí quyển 50

3.2 Sai phân biến không gian 51

3.2.1 Cấp xấp xỉ của toán tử sai phân 53

3.2.2 Tính không âm của toán tử sai phân 54

3.3 Lược đồ phân rã giải bài toán ô nhiễm khí quyển 55

3.4 Một số kết quả thực nghiệm 58

3.5 Kết luận chương 3 60

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦU

1 Tính khoa học và cấp thiết của đề tài

Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài toán thực tiễn phức tạp cóthể được giải quyết nhờ công cụ của phương trình liên hợp Chẳng hạn, đó là nhữngbài toán về cơ chế lượng tử, năng lượng hạt nhân, những quá trình động lực học phituyến trong vật lý, hoá học và nhiều vấn đề khác

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đề cập tới những vấn đề về môitrường và khí hậu Sự tác động qua lại của chúng chính là những vấn đề trọng tâmcủa khoa học, vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống trên trái đất

Môi trường quanh ta, đó là môi trường nước (nước mặt: sông hồ, biển, đạidương; nước ngầm: các dòng chảy trong lòng đất), môi trường không khí, môitrường đất và môi trường sinh thái Các thành phần của môi trường luôn luôn biếnđổi, chúng tác động qua lại với nhau và chuyển hoá từ trạng thái này sang trạngthái khác

Trong môi trường không khí, khí quyển, các thành phần của chúng pha trộnlẫn với nhau(theo một tỷ lệ nào đó), dịch chuyển nhờ gió và khuếch tán

Khí thải công nghiệp là tác nhân lớn nhất làm ô nhiễm không khí Để bảo vệđược môi trường sống chúng ta phải hiểu được qui luật khách quan và từ đó có cácbiện pháp tích cực và hữu hiệu để bảo vệ môi trường

Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lò hạt nhân, núilửa v.v ) lan truyền và khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau (dưới ảnhhưởng của nhiệt độ, độ ẩm) trở thành một hợp chất phức tạp, ta gọi chung là hợpchất khí Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động vớinhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với cuộcsống của sinh vật Quá trình này dẫn đến tình trạng ô nhiễm các lục địa và đạidương

Để giải quyết được điều đó ta cần phải biết được những quá trình lan truyền

và khuếch tán các thực thể nhiễm bẩn trong môi trường, mà khi di chuyển liên tụctrong khí quyển chúng có thể được biến đổi từ những thành phần không có hại

thành những thành phần có hại và ngược lại, thường làm ô nhiễm đại dương và cáclục địa Đó là những vấn đề rất đáng quan tâm Vì thế giới sẽ không ngừng hoànthiện, nền văn minh nhân loại sẽ ngày một phát triển, điều rất cần thiết là phải dựđoán được xu hướng phát triển của các ngành công nghiệp, để kết hợp với nhữngvấn đề về gìn giữ thiên nhiên, môi trường Hơn bao giờ hết, chúng ta cần phải tiếnhành đầu tư vốn cần thiết để không chỉ điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trongthiên nhiên đã bị mất đi, mà còn nâng cao nó, cải thiện môi trường Tuy nhiên điều

đó đòi hỏi một lượng kinh phí rất lớn Song vấn đề ấy là rất quan trọng và cần đượcchứng minh bằng sức mạnh toàn cầu Vấn đề là ở chỗ có thể thoả thuận được việccấm vũ khí hạt nhân cũng như có thể thoả thuận về việc giữ gìn hệ thống sinh tháiđảm bảo sự sống trên trái đất Vì vậy đây là vấn đề mang tính toàn cầu Tổ chức cácquốc gia thống nhất kêu gọi lập ra thoả hiệp về việc sử dụng thiên nhiên ở mọi quốcgia, trong sự quan tâm của toàn nhân loại Thiên nhiên là nguồn của cải chính củacon người và khi điều đó được tất cả mọi người công nhận, họ có thể sẽ có nhữngphương pháp hành động để giải quyết được những vấn đề đã nêu trên, tạo điều kiệnphát triển nền văn minh, gìn giữ và làm tăng thêm sự phong phú của thiên nhiên

Ở phương diện toán học, nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết những vấn đề này

là xây dựng được những mô hình toán học phản ánh đúng đắn bản chất tự nhiênkhách quan của hiện tượng, tìm ra các mối quan hệ biện chứng về định tính, địnhlượng và phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài toán đặt ra để từ đó định rachiến lược bảo vệ chất lượng môi trường sống (xem [1]- [3], [6]-[9], [11, 12]) Nộidung đề tài này, học viên trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựatrên các phương trình cơ bản đã được thừa nhận, các điều kiện biên, điều kiện banđầu, và phương pháp giải các bài toán để thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng

có thể đánh giá được mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường củamột vùng lãnh thổ (xem [5, 10])

Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứuphương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển” làmluận văn tốt nghiệp của mình Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu về phươngpháp phân rã giải bài toán không dừng và xây dựng ứng dụng bài toàn ô nghiễm khíquyển

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu 3 vấn đề cơ bản:

- Các mô hình toán học trong vấn đề môi trường;

- Phương pháp phân rã giải bài toán không dừng;

- Xây dựng ứng dụng phương pháp phân rã trong bài toán ô nhiễm khí quyển

3 Phương pháp luận nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp, nghiên cứu các tài liệu về

các mô hình toán học trong vấn đề môi trường

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Sau khi nghiên cứu lý thuyết,

luận văn sẽ tập trung vào xây dựng chương trình giải bài toán ô nhiễm khí trên môitrường Matlab; Đánh giá kết quả sau khi thử nghiệm

- Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến chuyên gia.

4 Nội dung và bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và hướng phát triển, luận văn được bố cụcthành ba chương chính như sau:

Chương 1 phân tích các mô hình toán học khác nhau của vấn đề ô nhiễm môitrường Các phương trình cơ bản được rút ra từ những quy luật bảo toàn (bảo toànkhối lượng và động lượng) Mỗi bài toán cơ bản đều xây dựng được một bài toánliên hợp tương ứng nhờ đẳng thức tích phân Lagrange Tính duy nhất nghiệm củacác bài toán cơ bản và bài toán liên hợp đối với những mô hình chính được chứngminh một cách chặt chẽ nhờ đẳng thức đối ngẫu

Chương 2 xây dựng phương pháp giải các bài toán đặt ra ở chương 1 Do độphức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầuchặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài toán Thực tế cho thấycác bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn Do đó, việc tìm các phương phápgiải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sửdụng Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp số cũng gặp nhiều khó khăn như sốchiều lớn, miền phức tạp v.v Rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư đã đã đưa ra nhiềuphương pháp sai phân cho những bài toán ô nhiễm môi trường Tuy nhiên do thiếu

những nền tảng toán học, một số phương pháp sai phân này cho lời giải không phùhợp với thực tiễn Để khắc phục hạn chế này ta phân rã phương trình khuyếch tántruyền tải bằng quá trình vật lý: Tại mỗi bước thời gian giải phương trình truyền tảibởi phương pháp đặc trưng, và tiếp theo giải bài toán khuyếch tán bởi phương phápphân rã Nội dung chương này trình bày khá chi tiết về sự ổn định, cấp chính xáccủa phương pháp phân rã trong bài toán tiến hoá thuần nhất và bài toán không thuầnnhất, phân tích nhược điểm của phương pháp khi toán tử của bài toán là tổng củahai toán tử không giao hoán Để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đưa raphương pháp phân rã cho bài toán và chứng minh khá chi tiết tính ổn định vô điềukiện và cấp chính xác 2 theo thời gian Tiếp theo sẽ trình bày cho trường hợp tổngquát khi toán tử của bài toán là tổng của nhiều toán tử nửa xác định dương

Chương 3 xấp xỉ toán tử vi phân của bài toán khuyếch tán đặt ra ở Chương 1bằng toán tử sai phân với cấp chính xác hai theo các biến không gian và thoả mãntính không âm Cuối cùng đưa ra lược đồ phân rã theo thời gian và cài đặt thuật toán

để cho kết quả số của bài toán sai phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân đã xâydựng ở Chương 1

CHƯƠNG 1 CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƯỜNG

1.1 Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm

z,t)

là cường độ của chất thải nào đó, di chuyển cùng với

dòng không khí trong khí quyển Ta sẽ xác định nghiệm của bài toán trong một

S    0  H

  

Gọi V  ui  vj 

trục x, y, z tương ứng) – là vec tơ vận tốc của các phần tử không khí, được coi như là

hạt không khí, với sự bảo toàn cường độ của nó được mô tả bởi phương trình:

Để có được



(1.1.4 )

ta đã sử dụng đẳng thức



(1.1.3 )

số hạng cuối cùng trong đẳng thức



(1.1.6 )

z,t)

(1.1.9

thành phần véc tơ vận tốc chưa đầy đủ thì cần phải sử dụng một cách tỉ mỉ các xấp

xỉ khác nhau mà ta sẽ trình bày sau đây

chuyển, thành phần vật chất đang xét có tham gia phản ứng với môi trường hay là bịphân giải, thì quá trình này có thể được xem như sự hấp thụ vật chất tỷ lệ với đại

biểuthị sự gia tăng thành phần  trong không khí:

Đại lượng   0 , tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian xem xét ý nghĩa của đại

Khi

đó

theo cả không gian và thời gian, tức là trên

việc lấy tích phân theo S ở vế phải của

(1.1.17)

thực chất chỉ còn là lấy tích phân theo

mặt bên  của hình trụ G Tuy nhiên, để không làm mất tính tổng quát, ta vẫn ký

thiết:

  0 khi t  0

(x, y, z)  S , u n  0

(1.1.21)

liên tục, khả vi theo tất cả các biến

1.2 Phương trình truyền tải dừng

Trong phần này ta tiến hành mô tả quá trình dừng của bài toán truyền tải vật

khác của bài toán như f và  , không phụ thuộc vào thời gian, thì ta có bài toán



với những dữ kiện cho trước không thay đổi theo thời gian Tuy vậy, bộ nghiệm



được sử dụng cả trong việc mô tả những tình huống vật lý phức tạp hơn trong ứngdụng thực tế Để chứng minh được điều này ta giả sử rằng trong từng giai đoạn khácnhau của thời gian, sự chuyển động của khối lượng không khí cho trước dù ở trạngthái này hay trạng thái khác, trong vùng đang xét, có thể được cho là dừng Sau mỗikhoảng thời gian như vậy, sự chuyển động của khối lượng vật chất lại có thay đổi vàbắt đầu sang một trạng thái dừng mới Sự thay đổi này diễn ra trong thời gian ngắnhơn khoảng thời gian tồn tại của dạng chuyển động trong bài toán dừng, có thể xemnhư sự thay đổi của chuyển động đó diễn ra rất nhanh Giả sử có n khoảng thời gianlàm xuất hiện bài toán dừng Bằng cách này ta đi đến một hệ phương trình độclập:

toán trung bình trong thời gian T  n t i

i1

của sự phân bố các chất pha trộn đượcbiểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:

của sự phân bố các chất của bài toán không dừng.

Thật vậy, xét bài toán không dừng:

ứng về độ trơn của các hàm được thiết lập như trong mục 1.1

Lấy tích phân hai vế phương trình

phương trình:

(1.2.7 )

và trong khoảng



t i   t  t i1, (i 1,2, ,n

1)

không phụ thuộc vào thời gian và

nhỏ

này là nghiệm của bài

có sự khác biệt

và

của các chất nhiễm bẩn là trùng nhau, nếu:

Ta ký hiệu

là thời gian cần thiết để thiết lập được, theo nghĩa xác định

(1.2.22) , quá trình phân bố các chất  trong khoảng t i ,t i1  Khi đó:

i i

i i

phân bố vật chất theo mô hình thống kê và bài toán không dừng

với các giả thiết đã nêu đủ gần với nhau

đến quá trình khuếch tán của vật chất mà ta còn gọi là các nhiễu nhỏ của đầu vào

1.3 Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm

Ta bắt đầu phân tích từ bài toán truyền tải vật chất đã biết trong 1.1:

Vì trong thực tế, cùng với quá trình truyền tải, các thành phần vật chất còn

Trong đó  và  là những đại lượng cùng cấp Theo giả thiết  

Số hạng thứ ba ở vế trái của phương trình này biểu thị thành phần khuếch tán

của quá trình dịch chuyển các thực thể vật chất trong khí quyển Véc tơ vận tốc rối

là hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang và thẳng

đứng Nó được xác định nhờ thực nghiệm đo đạc và là các đại lượng cho trước

trong các bài toán về khuếch tán

khuếch tán vật chất trong khí quyển như sau:

    divV   

t

trong đó:

K                (1.3.15)

x x y y z z

này thường hay xảy ra) thì:

z z

không nén được của môi trường

thì quá trình truyền tải và khuếch tán vật chất trong khí quyển có thể được phát biểu

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán

không gian và thời gian, ta nhận được phương trình:

S    0  H (trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G , 0

),

là một hàm nào đó đặc trưng cho tác động của lớp khí quyển tiếp

giáp với mặt đất, Ngoài ra, cần chú ý rằng thành phần thẳng đứng của véc tơ vận tốc

1.4 Bài toán liên hợp cho miền ba chiều

Xét bài toán cơ bản trong không gian ba chiều: