Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển

Tính khoa học và cấp thiết của đề tài Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài toán thực tiễn phức tạp có thể được giải quyết nhờ công cụ của phương trình liên hợp.. Để giải quy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Đình Dũng

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Đình Dũng, các kết quả lý thuyết được trình bày trong luận văn là sự tổng hợp từ các kết quả đã được công bố và có trích dẫn đầy đủ, kết quả của chương trình thực nghiệm trong luận văn này được tôi thực hiện là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Đình Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Đại học Thái nguyên, các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Đình Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng nghiệp

đã trao đổi, khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã luôn bên cạnh, động viên và khuyến khích tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020

Học viên cao học

Phạm Thanh Nghị

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƯỜNG5 1.1 Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm 5

1.2 Phương trình truyền tải dừng 10

1.3 Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm 15

1.4 Bài toán liên hợp cho miền ba chiều 21

1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp 26

1.6 Kết luận chương 1 29

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG DỪNG 31 2.1 Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho bài toán không dừng với toán tử phụ thuộc thời gian [4] 31

2.1.1 Bài toán thuần nhất 31

2.1.2 Xét bài toán thuần nhất 37

2.2 Phương pháp phân rã 39

2.2.1 Bài toán thuần nhất 39

2.2.2 Bài toán không thuần nhất 40

2.3 Phương pháp phân rã nhiều thành phần 44

2.3.1 Bài toán thuần nhất 45

2.3.2 Bài toán không thuần nhất 46

2.4 Kết luận chương 2 49

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 50

3.1 Bài toán ô nhiễm khí quyển 50

3.2 Sai phân biến không gian 51

3.2.1 Cấp xấp xỉ của toán tử sai phân 53

3.2.2 Tính không âm của toán tử sai phân 54

3.3 Lược đồ phân rã giải bài toán ô nhiễm khí quyển 55

3.4 Một số kết quả thực nghiệm 58

3.5 Kết luận chương 3 60

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦU

1 Tính khoa học và cấp thiết của đề tài

Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài toán thực tiễn phức tạp có thể được giải quyết nhờ công cụ của phương trình liên hợp Chẳng hạn, đó là những bài toán về cơ chế lượng tử, năng lượng hạt nhân, những quá trình động lực học phi tuyến trong vật lý, hoá học và nhiều vấn đề khác

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đề cập tới những vấn đề về môi trường và khí hậu Sự tác động qua lại của chúng chính là những vấn đề trọng tâm của khoa học, vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống trên trái đất

Môi trường quanh ta, đó là môi trường nước (nước mặt: sông hồ, biển, đại dương; nước ngầm: các dòng chảy trong lòng đất), môi trường không khí, môi trường đất và môi trường sinh thái Các thành phần của môi trường luôn luôn biến đổi, chúng tác động qua lại với nhau và chuyển hoá từ trạng thái này sang trạng thái khác

Trong môi trường không khí, khí quyển, các thành phần của chúng pha trộn lẫn với nhau(theo một tỷ lệ nào đó), dịch chuyển nhờ gió và khuếch tán

Khí thải công nghiệp là tác nhân lớn nhất làm ô nhiễm không khí Để bảo vệ được môi trường sống chúng ta phải hiểu được qui luật khách quan và từ đó có các biện pháp tích cực và hữu hiệu để bảo vệ môi trường

Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lò hạt nhân, núi lửa v.v ) lan truyền và khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau (dưới ảnh hưởng của nhiệt độ, độ ẩm) trở thành một hợp chất phức tạp, ta gọi chung là hợp chất khí Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động với nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với cuộc sống của sinh vật Quá trình này dẫn đến tình trạng ô nhiễm các lục địa và đại dương

Để giải quyết được điều đó ta cần phải biết được những quá trình lan truyền

và khuếch tán các thực thể nhiễm bẩn trong môi trường, mà khi di chuyển liên tục trong khí quyển chúng có thể được biến đổi từ những thành phần không có hại

thành những thành phần có hại và ngược lại, thường làm ô nhiễm đại dương và các lục địa Đó là những vấn đề rất đáng quan tâm Vì thế giới sẽ không ngừng hoàn thiện, nền văn minh nhân loại sẽ ngày một phát triển, điều rất cần thiết là phải dự đoán được xu hướng phát triển của các ngành công nghiệp, để kết hợp với những vấn đề về gìn giữ thiên nhiên, môi trường Hơn bao giờ hết, chúng ta cần phải tiến hành đầu tư vốn cần thiết để không chỉ điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong thiên nhiên đã bị mất đi, mà còn nâng cao nó, cải thiện môi trường Tuy nhiên điều

đó đòi hỏi một lượng kinh phí rất lớn Song vấn đề ấy là rất quan trọng và cần được chứng minh bằng sức mạnh toàn cầu Vấn đề là ở chỗ có thể thoả thuận được việc cấm vũ khí hạt nhân cũng như có thể thoả thuận về việc giữ gìn hệ thống sinh thái đảm bảo sự sống trên trái đất Vì vậy đây là vấn đề mang tính toàn cầu Tổ chức các quốc gia thống nhất kêu gọi lập ra thoả hiệp về việc sử dụng thiên nhiên ở mọi quốc gia, trong sự quan tâm của toàn nhân loại Thiên nhiên là nguồn của cải chính của con người và khi điều đó được tất cả mọi người công nhận, họ có thể sẽ có những phương pháp hành động để giải quyết được những vấn đề đã nêu trên, tạo điều kiện phát triển nền văn minh, gìn giữ và làm tăng thêm sự phong phú của thiên nhiên

Ở phương diện toán học, nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết những vấn đề này là xây dựng được những mô hình toán học phản ánh đúng đắn bản chất tự nhiên khách quan của hiện tượng, tìm ra các mối quan hệ biện chứng về định tính, định lượng và phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài toán đặt ra để từ đó định ra chiến lược bảo

vệ chất lượng môi trường sống (xem [1]- [3], [6]-[9], [11, 12]) Nội dung đề tài này, học viên trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương trình cơ bản đã được thừa nhận, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu, và phương pháp giải các bài toán để thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ (xem [5, 10])

Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển” làm luận văn tốt nghiệp của mình Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp phân rã giải bài toán không dừng và xây dựng ứng dụng bài toàn ô nghiễm khí quyển

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu 3 vấn đề cơ bản:

- Các mô hình toán học trong vấn đề môi trường;

- Phương pháp phân rã giải bài toán không dừng;

- Xây dựng ứng dụng phương pháp phân rã trong bài toán ô nhiễm khí quyển

3 Phương pháp luận nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp, nghiên cứu các tài liệu về

các mô hình toán học trong vấn đề môi trường

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Sau khi nghiên cứu lý thuyết,

luận văn sẽ tập trung vào xây dựng chương trình giải bài toán ô nhiễm khí trên môi trường Matlab; Đánh giá kết quả sau khi thử nghiệm

- Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến chuyên gia

4 Nội dung và bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và hướng phát triển, luận văn được bố cục thành ba chương chính như sau:

Chương 1 phân tích các mô hình toán học khác nhau của vấn đề ô nhiễm môi trường Các phương trình cơ bản được rút ra từ những quy luật bảo toàn (bảo toàn khối lượng và động lượng) Mỗi bài toán cơ bản đều xây dựng được một bài toán liên hợp tương ứng nhờ đẳng thức tích phân Lagrange Tính duy nhất nghiệm của các bài toán cơ bản và bài toán liên hợp đối với những mô hình chính được chứng minh một cách chặt chẽ nhờ đẳng thức đối ngẫu

Chương 2 xây dựng phương pháp giải các bài toán đặt ra ở chương 1 Do độ phức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài toán Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn Do đó, việc tìm các phương pháp giải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sử dụng Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp số cũng gặp nhiều khó khăn như số chiều lớn, miền phức tạp v.v Rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư đã đã đưa ra nhiều phương pháp sai phân cho những bài toán ô nhiễm môi trường Tuy nhiên do thiếu

những nền tảng toán học, một số phương pháp sai phân này cho lời giải không phù hợp với thực tiễn Để khắc phục hạn chế này ta phân rã phương trình khuyếch tán truyền tải bằng quá trình vật lý: Tại mỗi bước thời gian giải phương trình truyền tải bởi phương pháp đặc trưng, và tiếp theo giải bài toán khuyếch tán bởi phương pháp phân rã Nội dung chương này trình bày khá chi tiết về sự ổn định, cấp chính xác của phương pháp phân rã trong bài toán tiến hoá thuần nhất và bài toán không thuần nhất, phân tích nhược điểm của phương pháp khi toán tử của bài toán là tổng của hai toán tử không giao hoán Để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đưa ra phương pháp phân rã cho bài toán và chứng minh khá chi tiết tính ổn định vô điều kiện và cấp chính xác 2 theo thời gian Tiếp theo sẽ trình bày cho trường hợp tổng quát khi toán tử của bài toán là tổng của nhiều toán tử nửa xác định dương

Chương 3 xấp xỉ toán tử vi phân của bài toán khuyếch tán đặt ra ở Chương 1 bằng toán tử sai phân với cấp chính xác hai theo các biến không gian và thoả mãn tính không âm Cuối cùng đưa ra lược đồ phân rã theo thời gian và cài đặt thuật toán

để cho kết quả số của bài toán sai phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân đã xây dựng ở Chương 1

CHƯƠNG 1 CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƯỜNG

1.1 Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm

Giả sử  ( x , y , z , t ) là cường độ của chất thải nào đó, di chuyển cùng với dòng không khí trong khí quyển Ta sẽ xác định nghiệm của bài toán trong một miền trụ G, với bề mặt S

H

S 0

trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G,

0 là mặt đáy dưới (khi z 0)

H là mặt đáy trên (khi zH)

v x

u t

v x

Để có được ( 1 1 4 ) ta đã sử dụng đẳng thức ( 1 1 3 ) với điều kiện khả vi của

v x

và có dạng:

   div V

z

w y

v x

 0 khi t 0 ( 1 1 8 )

và điều kiện biên trên S của miền trụ G

 S trên S khi u n  0 ( 1 1 9 )trong đó 0 và S là các hàm cho trước và u n là hình chiếu của vec tơ V

lên pháp tuyến ngoài đối với mặt S Đẳng thức ( 1 1 9 ) là giá trị của nghiệm trên phần biên của S, tại đó khối lượng không khí cùng với các chất đang nghiên cứu đi vào miền

G Để tìm nghiệm (x,y,z,t) của bài toán ( 1 1 4 ) thoả mãn các điều kiện ( 1 1 8 ), )

xỉ khác nhau mà ta sẽ trình bày sau đây

Phương trình ( 1 1 4 ) có thể được khái quát hoá Nếu trong quá trình dịch chuyển, thành phần vật chất đang xét có tham gia phản ứng với môi trường hay là bị phân giải, thì quá trình này có thể được xem như sự hấp thụ vật chất tỷ lệ với đại lượng  Khi đó trong phương trình ( 1 1 4 ) xuất hiện thêm số hạng mới  , biểu thị sự gia tăng thành phần  trong không khí:

đó ( 1 1 10 ) có dạng

  0



t ( 1 1 11 )Nghiệm của ( 1 1 11 ):

dtdG div V dtdG

t G T T

G

T

dG f dt dG

dt  



0 2

(

t t

t

T

G T

G

dG dG

dG dt

t dG dt

t

dG

0

2 2

0

2

0 2 2

u x

V div

u x

0

2 2

G

G t

G t T

dG f dt dG dt

dG

V div dt dG



0 2 0 0

2

0

2 2

2 2

2



( 1 1 16 )Theo công thức Ostrogradski-Gauss ta có

 

S n G

dS

u dG

V div

2 2

 S trên S khi u n 0 ( 1 1 18 )

trong đó 0,S là những hàm cho trước, ta đưa những hàm này vào ( 1 1 16 ) thì đẳng thức sẽ như sau:

S n T

G

T

dG dt

dS

u dt

0 2

S

S n T

G

dG f dt dS

u dt



0 2

0

2 0

0

n

n n n

u

u u u

u n u n u n

(trong ( 1 1 19 ), để cho gọn ta đã ký hiệu   T khi t T)

Đẳng thức ( 1 1 19 ) chính là đẳng thức tích phân cơ bản để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán ( 1 1 13 ), ( 1 1 18 )

Thật vậy, giả sử bài toán ( 1 1 13 ), ( 1 1 18 ) có hai nghiệm phân biệt 1, 2 Khi

đó, vì  1 và 2 là các nghiệm của bài toán nên ta có:

) , , (

0 1

0 1

1 1 1

n

t

f V

div t

0 2

0 2

2 2 2

n

t

f V

div t



( 1 1 20 )   0 khi t  0

0 (x,y,z)S,u n 0 ( 1 1 21 )

Đối với hàm  thì đẳng thức ( 1 1 19 ) có dạng:

       

T

S n T T

dG dt

dS

u dt

22

2 0 2

và hàm  là hàm liên tục từng khúc Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tất cả các điều kiện này được thoả mãn

Phương trình ( 1 1 23 ) có thể được viết dưới dạng:

1.2 Phương trình truyền tải dừng

Trong phần này ta tiến hành mô tả quá trình dừng của bài toán truyền tải vật chất ( 1 1 23 ), ( 1 1 24 ) Nếu như các hệ số u ,,v w cùng với những yếu tố cho trước khác của bài toán như f và , không phụ thuộc vào thời gian, thì ta có bài toán dừng tương ứng với bài toán ( 1 1 23 ), ( 1 1 24 ) được phát biểu rất đơn giản như sau: div V  f ( 1 2 1 )

 S trên S khi u n 0 ( 1 2 2 )

Dễ dàng thấy rằng đẳng thức tương ứng với ( 1 1 19 ) có dạng:

       

G S

S n

n

dG f dS

u dG dS

2 2

2 2

2

( 1 2 3 )Bằng phương pháp mà ta đã trình bày trong mục ( 1 1 ), có thể thấy rằng bài toán ( 1 2 1 ), ( 1 2 2 ) có nghiệm duy nhất

Như vậy, bài toán ( 1 2 1 ), ( 1 2 2 ) mô tả một quá trình truyền tải vật chất riêng, với những dữ kiện cho trước không thay đổi theo thời gian Tuy vậy, bộ nghiệm tương ứng với những V, f,S

khác nhau của các bài toán dừng riêng biệt, có thể được sử dụng cả trong việc mô tả những tình huống vật lý phức tạp hơn trong ứng dụng thực tế Để chứng minh được điều này ta giả sử rằng trong từng giai đoạn khác nhau của thời gian, sự chuyển động của khối lượng không khí cho trước dù ở trạng thái này hay trạng thái khác, trong vùng đang xét, có thể được cho là dừng Sau mỗi khoảng thời gian như vậy, sự chuyển động của khối lượng vật chất lại có thay đổi và bắt đầu sang một trạng thái dừng mới Sự thay đổi này diễn ra trong thời gian ngắn hơn khoảng thời gian tồn tại của dạng chuyển động trong bài toán dừng, có thể xem như sự thay đổi của chuyển động đó diễn ra rất nhanh Giả sử có n khoảng thời gian làm xuất hiện bài toán dừng Bằng cách này ta đi đến một hệ phương trình độc lập: div Vii i  f ( 1 2 4 )

i iS trên S khi u in 0,i1,2, ,n ( 1 2 5 )

Bài toán ( 1 2 4 ), ( 1 2 5 ), trong đó iS là giá trị của hàm i trên biên S, u in là hình chiếu của véc tơ vận tốc gió loại i trên pháp tuyến ngoài đối với biên, tương ứng với mỗi khoảng thời gian t i tt i1 có độ dài là t i

Giả sử, tất cả các bài toán ( 1 2 4 ), ( 1 2 5 ) giải được Khi đó nghiệm của bài

toán trung bình trong thời gian 





i i

t T

1

của sự phân bố các chất pha trộn được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:

Có thể gọi bài toán ( 1 2 4 )-( 1 2 6 ) là mô hình thống kê

Nghiệm của các bài toán dừng dạng ( 1 2 1 ), ( 1 2 2 ) và ( 1 2 4 ), ( 1 2 5 ) có nhiều

điểm chung với nghiệm của bài toán trung bình trong khoảng thời gian T nào đó

của sự phân bố các chất của bài toán không dừng

Thật vậy, xét bài toán không dừng:

Tính duy nhất nghiệm của bài toán ( 1 2 7 ), ( 1 2 8 ) với các giả thiết tương

ứng về độ trơn của các hàm được thiết lập như trong mục 1.1

Lấy tích phân hai vế phương trình ( 1 2 7 ) trong đoạn [ T0 , ], ta nhận được

dt V div dt

Từ phương trình này, với tính duy nhất nghiệm của bài toán ( 1 2 1 ), ( 1 2 2 ), ta

đi đến kết luận: Nghiệm trung bình trong chu kỳ T của bài toán ( 1 2 7 ), ( 1 2 8 )

trùng với nghiệm của bài toán ( 1 2 1 ), ( 1 2 2 )

Ta xét một trường hợp phức tạp hơn giả sử hàm V

đủ trơn trên đoạn [ T0 , ]

và trong khoảng t i  tt i1,(i1,2, ,n1) không phụ thuộc vào thời gian và

trùng với Vi

từ ( 1 2 4 ) Khoảng thời gian làm thay đổi lưu số  được xem là rất nhỏ

so với t i:

   0





i i i

Nhân phương trình đầu ở ( 1 1 19 ) với i rồi lấy tích phân kết quả đó theo miền G Ta nhận được:

( 1 2 23 )

Thực hiện động một cách tương tự như đã trình bày ở trên, với việc tính đến

bất đẳng thức ( 1 2 21 ), ta nhận được sự đánh giá đối với hàm  trong khoảng

t , i t i :

 i   t t i

i t t

1

1 1

0

11

11

i t

t

n

i

i i n

i t

t i n

i i i

i i

i i

dt T

T

dt T

t T

Bằng phương pháp này, nghiệm của bài toán trung bình với chu kỳ T , về sự

phân bố vật chất theo mô hình thống kê và bài toán không dừng ( 1 2 11 )-( 1 2 13 )

với các giả thiết đã nêu đủ gần với nhau

Như vậy, ta thấy rằng khi giải bài toán ( 1 2 4 ), ( 1 2 5 ) hay ( 1 2 11 )-( 1 2 13 )

và lấy trung bình các kết quả theo ( 1 2 6 ) hay ( 1 2 14 ) một cách tương ứng, có tính

đến quá trình khuếch tán của vật chất mà ta còn gọi là các nhiễu nhỏ của đầu vào

1.3 Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm

Ta bắt đầu phân tích từ bài toán truyền tải vật chất đã biết trong 1.1:

Vì trong thực tế, cùng với quá trình truyền tải, các thành phần vật chất còn

chịu ảnh hưởng của sự khuếch tán, nên ta có thể xem hàm  như là:

   ( 1 3 3 )

trong đó  là giá trị trung bình xấp xỉ bằng , nghĩa là:

 

T t

t

dt

 1Cũng lý do đó ta xem:

V V V ( 1 3 4 )trong đó, V

t

T t

t

T t

t

fdt dt

T dt V div T T

t T

( ) ( ) 1  1

( 1 3 5 )Nếu bài toán ( 1 3 1 ), ( 1 3 2 ) không có nguồn ( f  0) thì tương ứng với

t

dt T dt V div T T

t T

( 1 3 6 )Thay ( 1 3 3 ), ( 1 3 4 ) vào ( 1 3 6 ) ta được:

0 ) (

) )(

( 1

) ( ) ( ) ( ) (

t

dt T

dt V

V div T T

t T

t T

t T

t dt

T

dt T

dt V dt V div T T

t T t

T t

t

T t

t

T t

t

T t

t

) ( ) (

1 ) ( ) (

t V

div V

div T

t T

Trong đó  và  là những đại lượng cùng cấp Theo giả thiết  

div V

div T

t T

t       

( 1 3 11 )trong đó O( 1 ) là đại lượng cấp  Vế phải của phương trình ( 1 3 11 ) là đại lượng

( 1 3 12 )Nếu T là khoảng thời gian trong đó hàm (t) biến đổi không lớn, thì

T

t T

Thế các biểu thức ( 1 3 13 ) vào ( 1 3 12 ) ta đi đến phương trình truyền tải và khuếch tán vật chất trong khí quyển như sau:

div

t   ( 1 3 14 )trong đó:

z z y y x x

z z K

trong đó  là toán tử Laplace hai chiều

Cùng với phương trình ( 1 3 14 ) cần phải thoả mãn đẳng thức biểu thị tính không nén được của môi trường

z z V

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán ( 1 3 19 )

Giả sử bài toán có hai nghiệm 1, 2 Khi đó:

z z V

1 1

 0 khi t 0 ( 1 3 20 ) 1 S trên S khi u n 0

và

z z V

2 2

div t



  0 khi t 0 ( 1 3 22 )

 0 trên S khi u n 0

Sau khi nhân phương trình ( 1 3 22 ) với  rồi lấy tích phân kết quả đó theo cả

không gian và thời gian, ta nhận được phương trình:

0

2 2

2 0

2 2

2

0 2

0 2

G T G

n T G

T

dG dt

dG z

y x

dt dS

u dt dG

Ta nhận thấy rằng tất cả các số hạng ở vế trái của ( 1 3 23 ) là không âm, do

đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   0 hay 1 2 Điều này chứng tỏ rằng bài

toán ( 1 3 19 ) có nghiệm duy nhất

Tóm lại, với tất cả các yếu tố đã được phân tích và trình bày ở trên, thì bài

toán truyền tải và khuếch tán vật chất được xét trên miền trụ có biên

H

S0 (trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ G, 0

là mặt đáy dưới (khi z 0), Hlà mặt đáy trên (khi zH)) có dạng:

div V K f

t    



   

 S trên 

thì cũng tương tự như cách làm trên, ta có thể chứng minh được bài toán sau cũng

có nghiệm duy nhất:

t T

1

Trong mỗi khoảng thời gian ấy, ta giả thiết các đại lượng cho trước của bài

toán là không phụ thuộc vào thời gian Khi đó, ta có tập các bài toán dừng, ví dụ

tương ứng với mô hình ( 1 3 26 )

div Vii i Ki  f ( 1 3 28 )  i iS trên  khi u in 0

 0





n i



trên Htrong đó:

i t

T 1

 ( 1 3 30 )

1.4 Bài toán liên hợp cho miền ba chiều

Xét bài toán cơ bản trong không gian ba chiều:

f

z z V

là hàm khả vi, tuần hoàn theo t (với chu kỳ T ) Hơn nữa với mỗi t hàm (x,y,z,t)

thuộc tập D ( A) các hàm từ không gian Hilbert thực L2(G), liên tục và khả vi trong

G, sao cho:

) (

2 G L z

Có thể mô tả bài toán cơ bản ( 1 4 1 ) dưới dạng:

A f

t  



  ( 1 4 2 )trong đó toán tử A với miền xác định D ( A) tác động trong không gian Hilbert thực

div

còn hàm  giả sử là hàm tuần hoàn theo t

Ta đi xây dựng bài toán liên hợp như sau

Nhân phương trình đầu trong ( 1 4 1 ) với hàm * nào đó và lấy tích phân kết quả trên miền xác định của nghiệm G[ T0 , ] ta nhận được:

G T

G

T

G T

G T

G T

fdG dt

dG dt

dG z z dt

dG dt

dG V div dt

dG t dt

* 0

* 0

* 0

* 0

* 0

* 0

G

T t t G

T

dG t dt dG

dG t dt

*

0 0

*

* 0

S n T

G

T

dG V div dt dS u

dt dG V div

0

* 0

* 0

T

G T

dG z z dt d

z z

dt

d z z

dt dG z z dt

*

* 0

* 0

G

T

dG dt

d n n

dt dG

0

*

* 0

* 0

dt

d z z

dt d

z z

dt

dS u

dt dG dG

fdG dt

dG z

z V

div t dt

T

T T

S n T

G G

T T G

*

* 0

*

* 0

* 0

* 0 0

*

* 0

và ta biến đổi vế phải của đẳng thức ( 1 4 8 ) Để làm điều này ta sử dụng các điều kiện biên của hàm  từ ( 1 4 1 ) và điều kiện tuần hoàn của hàm  theo thời gian Ta giả sử * cũng là hàm tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ T Khi đó:

 *  0 0* 0

G G

T

T dG   dG

 ( 1 4 10 )Theo giả thiết

T

S n

T

* 0

* 0



 ( 1 4 11 )Tại đây ta đã sử dụng điều kiện:

d z dt

d z z

dt d

z z

dt

T T

d n dt

d n n

dt

T T

  ( , , )   |  0

n u z y x

  ( , , )   |  0

n u z y x

Đưa kết quả tính toán từ các biểu thức ( 1 4 9 )-( 1 4 14 ) vào ( 1 4 8 ) ta được:

d n dt

d z

dt

z dt

d u dt fdG dt

dG p dt

T T

T

T n

T G

T G

* 0 0

   

G T

G

T

fdG dt

dG p

0 0

0

( 1 4 18 )thì biểu thức đối ngẫu đồng nhất của nó có dạng:

 

G

T

fdG dt

0

 ( 1 4 19 )Khi chọn những hàm p khác nhau, ta có thể nhận được những phiếm hàm và những đẳng thức liên hợp tương ứng khác nhau

Bài toán liên hợp ( 1 4 16 ) có thể viết dưới dạng toán tử như sau:

Miền xác định D(A*)của toán tử *

A có thể là tập các hàm * từ L2(G), liên tục và khả vi trong G, sao cho:

* 2( )

*

G L z

Giả sử nghiệm *(x,y,z,t) của bài toán liên hợp là khả vi và tuần hoàn theo t

Ta nhận thấy rằng, đối với trường hợp phương trình cơ bản dạng ( 1 3 27 ) ta

có thể nhận được bài toán toán liên hợp sau:

số hạng bổ xung liên quan tới tính không thuần nhất của bài toán

1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp

Trong phần này ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm của bài toán liên hợp ( 1 4 16 ) là duy

nhất Giả sử *(x,y,z,t) liên tục trong miền G[ T0 , ], khả vi và tuần hoàn theo t

Ngoài ra, ta còn giả sử với mỗi t hàm *(x,y,z,t) thuộc vào tập hợp D(A*)L2(G)

Nhân phương trình ( 1 4 16 ) với * và lấy tích phân trên toàn miền xác định

của nghiệm, ta thu được

) 1 5 1 (

* 0

*

* 0

*

* 0 2

0

*

* 0

G

T

G T

G T

G T

G

T

dG p dt dG dt

dG z z dt dG dt

dG V div dt

dG t dt

Tương tự như đã làm ở các phần trước, ta biến đổi từng thành phần ở vế trái

của ( 1 5 1 ) như sau:

T

G T

G

T

2 2

2

0

2

* 0

*

* 0

T

G

T

dG z dt

d z dt

d z dt

dG z z

*

* 0

G

T

dG dt

d n dt

*

* 0

) ( 

2 ) ( ,     

j y

i n

n n

G T

G T

dG p dt d

z

d z

d n u

u

dG z

dt dG t dt

H

* 0

0 2

0

0

2

21

* 2

0 2

d u dt

T n

d z dt

T T

G T

G T

G

T n

T

dG p dt d

dt

dG dt

dG z dt

dG dt

d

u

dt

* 0

2

0

2

* 0

2

*

0 2

0 2

0

0

) ( 2

   Khi đó, đối với  *, ta có bài toán thuần nhất sau:

div t

0

) ( 2

2

*

0 2

0 2

dG dt

dG z dt

dG dt

G T

G

T n

Trong hệ thức ( 1 5 15 ) ta cũng giả thiết rằng ,,,  0, khi đó đẳng thức )

Ta nhận thấy rằng, cả bài toán cơ bản và bài toán liên hợp luôn có nghiệm duy nhất kể cả khi trong trường hợp ( 1 4 1 ) thay các điều kiện  0 trên  khi 0

được thay bởi các điều kiện  0 trên  và *0 trên  đối với mọi u n

1.6 Kết luận chương 1