Mô hình bề mặt và đường cong trong đồ hoạ máy tính

Việc yêu cầu người sử dụng đưa vào các vector tiếp tuyến tại mỗi điểm trong tập hợp các điểm là cực kỳ bất tiện cho nên thường trong các đường bậc ba đa hợp ta sửdụng các điều kiện biên

Mục lục

CHƯƠNG 1 3

CÁC KHÁI NIỆM CHUNG 3

1.1 Khái Niệm 3

1.2 Mục Đích Và Các Biện Pháp Thể Hiện 3

1.2.1 Mục Đích 3

1.2.2 Các Biện Pháp Thể Hiện 3

CHƯƠNG II: 5

CÁC MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG TRONG ĐỒ HỌA 5

2.1 Đường Cong Đa Thức Bậc Ba Tham Chiếu 5

2.2 Đường Cong Hermite 6

2.3 Đường Cong Bezier 7

2.4 Đường Cong B-Spline 8

CHƯƠNG III: 15

CÁC MÔ HÌNH BỀ MẶT TRONG ĐỒ HỌA 15

3.1 Bề Mặt Đa Giác 15

3.1.1 Biểu Diễn Lưới Đa Giác 15

3.1.2 Phương Trình Mặt Phẳng 17

3.2 Bề Mặt Bậc Hai 20

3.2.1 Hình Cầu 20

3.2.2 Ellipsoid 21

3.2.3 Hình Xuyến 22

3.3 Mặt Cong Bậc Ba 23

3.3.1 Bề Mặt Bậc Ba Hermite 23

3.3.2 Bề Mặt Bậc Ba Bézier 24

3.3.3 Bề Mặt Bậc Ba B-spline 25

CHƯƠNG VI: 26

ỨNG DỤNG CỦA VIỆC SỬ DỤNG BỀ MẶTTRONG 3DS MAX 26

4.1 Giới Thiệu Về Phần Mềm 3ds Max 26

4.2 Giới Thiệu Chung Về MAXScript 35

4.2.1.Tổng Quan Về MAXScript 35

4.2.2 Sử Dụng Các Tài Liệu Mô Tả MAXScript 37

4.2.3 Về Visual MAXScript: 38

4.3 Mô Phỏng Ứng Dụng Trên 3ds Max: Xây Dựng Trò Rubic Trên 3ds Max 40

4.3.1 Giới Thiệu Chung 40

4.3.2 Các Kiến Thức Liên Quan 41

4.3.3 Xây Dựng Trò Chơi 43

LỜI NÓI ĐẦU Trong thời đại hiện nay với sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, đặc biệt là sự phát triển của công nghệ thông tin và ứng dụng của nó trong các ngành khác nhau Chẳng hạn như trong ngành xây dựng, hay chế tạo máy, để đạt được kết quả của công việc thì con người phải làm thí nghiệm để có thể biết được hình dạng, kích thước của nó, nhưng việc làm mô hình ngoài thực tế lại gây tốn kém rất nhiều về thời gian lẫn công sức Do vậy mô hình xây dựng thế giới hiện thực trong không gian ảo được ứng dụng để tạo ra những mô hình giống như thật nhưng trong môi trường máy tính, giúp con người quan sát được hình dạng và hoạt động của sản phẩm mà mình muốn tạo ra trong hiện thực Khi xây dựng mô hình thì bề mặt là phần quan trong nhất của một mô hình nó vừa mô tả bề mặt của vật vừa thể hiện được các thuộc tính, tính chất của vật Để giúp các bạn hiểu thêm về mô hình bề mặt trong đồ hoạ tôi xin giới thiệu sơ lược về các mô hình bề mặt và đường cong trong đồ hoạ máy tính

Do thời gian nghiên cứu có hạn do vậy không thể tránh được những sai xót

Em mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và bạn bè, để những đề tài sau của em được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của cô giáo: Trần Hồng Nhâm đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài đúng thời hạn

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CHUNG

1.1 Khái Niệm

không gian Trong đồ họa thì đường cong thường được dùng để mô tả thế giới thực và góp phần tạo nên các mặt cong

Bề mặt (Surface) là tập hợp toàn bộ các phần bao quanh bên ngoài của

một đồ vật, công cụ hoặc bất kì một dụng cụ, thiết bị mà con người có khả năng quan sát được

1.2 Mục Đích Và Các Biện Pháp Thể Hiện

1.2.1 Mục Đích

hợp để tạo nên các mặt cong trong việc mô tả thế giới thực: vật dụng, núi non hay xây dựng nên các thực thể đang được thiết kế

Bề mặt và các phương pháp biểu diễn chúng là kỹ thuật đồ hoạ đóng vai

trò rất quan trọng trong việc xây dựng các mô hình trong thiết kế, sản xuất và các ứng dụng khác Từ vật dụng hàng ngày như giầy dép, cốc,… đến các sản phẩm đòi hỏi độ phức tạp cao như vỏ xe ô tô, vỏ tầu…

1.2.2 Các Biện Pháp Thể Hiện

a) Đường cong

Đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình thiết

kế và các điểm đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và mô hình hóa đường cong Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực thiết kế mô hình học của máy tính có các cách biểu diễn đường cong sau:

 Tường minh (Explicit functions):

 x f

 t y y t z z t x

x  ,  ,  trong đó t 01

b) Bề mặt

Với các công nghệ cũ biểu diễn bề mặt ba chiều được thông qua việc sử dụng nhiều các hình chiếu của đối tượng dưới các góc chiếu khác nhau xung quanh đối tượng cần quan sát Như vậy thực tế bề mặt được biểu diễn bởi chỉ các lưới tập các đường cong phẳng trên mặt phẳng tham chiếu tạo cho người sử dụng cảm giác ba chiều

Trong việc thể hiện bằng đồ hoạ máy tính, việc biểu diễn bề mặt được phát triển với việc sử dụng các mô hình toán học ba chiều Điều đó mang lại nhiều ưu điểm như:

- Cho phép phân tích sớm và dễ dàng các đặc tính của bề mặt, đường cong của bề mặt và tính chất vật lý của bề mặt

- Cho phép xác định diện tích, xác định vùng của bề mặt hay các moment của mặt

- Với khả năng tô mầu bề mặt trong thực tế cho phép kiểm tra thiết kế đơn giản

- Và cuối cùng là việc tạo ra các thông tin cần thiết cho việc sản xuất và tạo

ra bề mặt như code điều khiển số được dễ dàng thụân tiện hơn nhiều so với các phương pháp cổ điển

- Thông thường người ta sử dụng hai kỹ thuật cho việc mô tả bề mặt bao gồm:

+ Thứ nhất: Dựa vào việc xây dựng và tạo bề mặt trên những điểm dữ liệu + Thứ hai: Dựa trên việc xây dựng nền bề mặt phụ thuộc vào biến số có khả năng thay đổi một cách trực diện thông qua các tương tác đồ hoạ Bề mặt được xây dựng theo phương pháp này gọi là phương pháp tổng hợp hay còn có một thuật ngữ khác là hỗn hợp

CHƯƠNG II:

CÁC MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG TRONG ĐỒ HỌA

2.1 Đường Cong Đa Thức Bậc Ba Tham Chiếu

Thế nào được gọi là đường cong bậc ba: Đường cong đa thức bậc ba phải đảm bảo là đường không gian với 3 trục tọa độ x,y,z Tránh những tính toán phức tạp

và những phần nhấp nhô ngoài ý muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao Sau đây là một số cách mô tả đường cong đa thức bậc ba

Công thức mô tả:

 Tường minh: y f3 x, z g3 x

 Không tường minh: f3x,y,z0

 Biểu diễn các đường cong tham biến:

 u y f  u z f  u f

x 3 ,  3 ,  3 trong đó u 01Theo Lagrange

3 1 2 1 1

1 b u c u d u a

3 2 2 2 2

2 b u c u d u a

y   

3 3 2 3 3

3 b u c u d u a

z   

Hình 2.1: Đường cong đa thức bậc ba

Đây là phương trình với 12 ẩn số

Với 4 điểm p0,p1,p2,p3 phương trình trên được xác định (vì 4 điểm thì xác định được một đường cong trong không gian)

Mỗi điểm ở đây có các giá trị là:

z y

x p

z y

x p

z y

x p

z y

x p

Giải hệ 12 phương trình trên ta thu được các ẩn số từ a1 d3

Nhận xét : Khi có sự thay đổi một chút về đường cong sẽ dẫn đến ta phải giải lại hệ 12 phương trình trên để tính các hệ số của đường cong việc này hết sức phức tạp do đó làm chậm quá trình sử lý của máy tính

2.2 Đường Cong Hermite

Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons năm 60 Với phương pháp của Hermite đường bậc ba sẽ được xác định bởi hai điểm đầu và cuối cùng với hai góc nghiêng tại hai điểm đó

Công thức biểu diễn:

 

 p u

p k0 k1uk2u2k3u3

p u k i u i Với iN, k ilà các tham số chưa biết

Độ dốc đường cong là p, u được tính như sau

3 2

 u p

3 2 2 1

0 k u k u k u

1 3 2 0

3 2 1 3 2

3 2

'

' 1 1 2 2

1 2 3 3

0 1 0 0

0 0 0 1 1

p p p p u

u u u

p

p

Theo phương trình này thì sự thay đổi các góc nghiêng (thay đổi p0p1) sẽ dẫn đến sự thay đổi hình dạng của đường cong

2.3 Đường Cong Bezier

Việc sử dụng điểm với các vector kiểm soát được độ dốc của đường cong tại những điểm mà nó đi qua Tuy nhiên không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận với các độ dốc của đường cong bằng giá trị số (Hermite)

Paul Bezier, nhân viên hãng RENAULT vào năm 1970 đã đi đầu trong việc ứng dụng máy tính cho việc xây dựng các bề mặt Hệ thống UNISURE của ông được ứng dụng trong thực tế vào năm 1972 Ông đã sử dụng đa giác kiểm soát đường cong tại những đỉnh của nó và tiếp tuyến tại các đỉnh đó (p0,p1,p2,p3)

Trong đó các đỉnh p0, p3tương đương với p0, p1 trên đường Hermite các điểm

3

'0 p1 p0

p  

) (

3 2 3 3 2

0 1 3u 2u p 3u 2u p' u 2u u p' u u p

u

p

        3

3 3 2 2 3 2 1

3 2

0 1 3u 3u u p 3u 6u 3u p 3u 3u p u p

3 2

1 3 3 1

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1 1

p p p p u

u u u

2.4 Đường Cong B-Spline

a) Đường cong bậc ba Spline

Trong công thức Bezier chúng ta sử dụng hàm hợp liên tục để xác định điểm kiểm soát tương đối Với các điểm nội suy thì mức độ tương đối sẽ khác nhau mà trong đó một chuỗi các phần tử nhỏ sẽ kết hợp với nhau tạo ra đường cong đa hợp Theo tính toán đường cong bậc ba là đa thức bậc thấp nhất có thể biểu diễn một đường cong trong không gian và chuỗi điểm Hermite sẽ phù hợp nhất đối với việc xây dựng nên đương cong đa hợp này

Việc yêu cầu người sử dụng đưa vào các vector tiếp tuyến tại mỗi điểm trong tập hợp các điểm là cực kỳ bất tiện cho nên thường trong các đường bậc ba

đa hợp ta sửdụng các điều kiện biên liên tục trong phép đạo hàm bậc một và bậc hai tại điểm nối giữa, đường cong xác định như trên gọi là đường cong Spline bậc ba với phép đạo hàm liên tục bậc hai Giá trị đạo hàm của đường cong sẽ xác định độ cong mà tại mỗi điểm nút và nó cũng đưa ra điều kiện biên cho mỗi đoạn trên đường cong Vậy đừơng bậc ba Spline có ưu điểm là không xác định độ dốc

của đường cong tại các nút nhưng nhược điểm của nó là chỉ tạo ra sự thay đổi toàn cục khi tắt hay đổi vị trí của điểm

Đường cong Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đương cong bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút Với n điểm ta có n-1 với mỗi đoạn gồm 4 vector hệ số hay 4(n-1) cho n-1 đoạn và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 về điều kiện về độ dốc cùng độ cong

Để xây dựng nên đường cong có n điểm nút ta có một dãy các giá trị tham

sẽ đưa vào chiều dài, nhưng phương pháp này cũng không được chính xác khi

mà đường cong chưa xác định chiều dài Tuy nhiên thông thường người ta sử dụng việc tích lũy của các dây cung với:

0

0 

u và u i1 u id i1 trong đó d i là khoảng cách giữa hai điểm p i1và p i

Trong các trường hợp đường cong có bậc lớn hơn ba có thể dùng cho đường Spline

Thông thường đường Spline bậc n sẽ được xây trên các phần nhỏ liên tục của các điểm độc lập Việc kết hợp các đoạn cong Hermite bậc ba để mô tả một đường cong mềm theo kiểu phân đoạn Spline là phương pháp đơn giản nhất hay còn gọi là phương pháp Hermite nội suy Với phương pháp này thì tham biến u i

cho mỗi đoạn cong i của tập các đoạn cong Hermite sẽ biến đổi trong khoảng từ

0 đến 1 và luôn tồn tại đạo hàm bậc nhất của các đoạn cong tại các điểm nối Phương trình cho mỗi đoạn cong được sử dụng lúc này là phương trình đường cong bậc ba Hermite:

3 2

'

' 1 1 2 2

1 2 3 3

0 1 0 0

0 0 0 1 1

p p p p u

u u u

Theo Hermite các đoạn là đường cong, tính liên tục của đạo hàm bậc hai tại các điểm nối có thể dễ dàng đạt được bằng cách đặt p"i1u i1  1 là đạo hàm bậc hai tại điểm cuối của đoạn i-1 bằng với p"iu i 0 đạo hàm bậc hai tại điểm đầu của đoạn thứ i

0 k u k u k u k

23p  p  2p' p'  62p p  p' p'  22p  p  p' p' 

b) Đường B-Spline

Với Bezier hay Spline đều không cho ta thay đổi đường cong một cách cục

bộ, việc thay đổi vị trí các điểm kiểm soát hay các vector tiếp tuyến không chỉ ảnh hưởng trực tiếp đến độ dốc của đường cong lân cận quanh điểm kiểm soát

mà còn kéo theo ảnh hưởng đến các phần còn lại của đường cong Đường Bezier thêm vào đó khi tính sấp xỉ ở bậc cao sẽ phức tạp còn khi liên kết nhiều đoạn Bezier hay Hermite bậc thấp có thể đem lại ích lợi khi tính toán nhưng yếu tố ràng buộc về tính liên tục của đạo hàm bậc cao tại các điểm nối không cho điều khiển cục bộ như mong muốn

Việc kết hợp luôn phiên các đoạn cong tổng hợp, thông qua các đa thức tham số xác định riêng rẽ trên một số điểm kiểm soát lân cận với số bậc tùy ý không phụ thuộc vào số điểm kiểm soát, cho phép tạo nên đường cong mềm B-Spline Đường cong này đã khắc phục được các nhược điểm mà các dạng đường cong trước chưa đạt được Có nghĩa là khi dịch chuyển điểm kiểm soát của đường cong thì chỉ một vài lân cận của điểm kiểm soát bị ảnh hưởng chứ không phải toàn bộ đường cong

Với n+1 điểm kiểm soát p i ta có:

    





n i

i k

i u p N u

p

0 , Trong đó N i, k u là hàm hợp B-Spline bậc k-1 và sự khác biệt giữa B-Spline và Bezier sẽ được thể hiện trên đó Trong đường Bezier bậc của đa thức được xác định bởi số đoạn cong trên đường cong đó Trong đường Bezier bậc của đa thức được xác định bởi số đoạn cong trên đường cong đó, còn với đường B-Spline bậc được thỏa mãn độc lập với số điểm kiểm soát của đường Hơn nữa bậc của Bezier khác 0 trên toàn bộ khoảng của tham số u còn bậc của B-Spline chỉ khác 0 trên đoạn ngắn của các tham số mỗi doạn trên hàm hợp chỉ tương ứng với một điểm thì chỉ dẫn tới sự thay đổi cục bộ trong khoảng mà trên đó tham số của hàm hợp khác 0

Biểu diễn toán học của B-Spline, vớihàm B-Spline có bậc k-1 xác định:

       

U U N  u

u U u

N U U

U u u

k i i

i k

i k i i

k i k

2 1

1 1

, 1 1

Không như Bezier đường B-Spline không đi qua điểm đầu và điểm cuối trừ khi hàm hợp được dùng là tuyến tính Đường B-Spline có thể được tạo qua hai điểm đầu, cuối và tiếp xúc với vector đầu, cuối của đa giác kiểm soát Bằng cách thêm vào các nút tại vị trí của các nút cuối của vector tuy nhiên các giá trị giống nhau không nhiều hơn bậc của đường cong

Giống như Bezier tính chất bao lồi của đa giác được kiểm soát và tính chất chuẩn được thỏa mãn

Nên ta có:   





n i k

i u N

0 , 1

Trong đường cong B-Spline, số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển luôn có quan hệ rằng buộc:

2

0 unk

Vậy việc xác định vector nút sẽ phụ thuộc vào sự phân loại của chính bản thân chúng và điều đó sẽ ảnh hưởng đến hình dạng của đường cong được môt tả Phân loại sẽ dựa trên loại của đường cong như sau:

Đều tuần hoàn

Không tuần hoàn

Không đều

 B-Spline Đều và tuần hoàn

Vector nút là đều khi các giá trị của chúng cách đều nhau một khoảng ∆ xác định

Ví dụ: [2 4 6 8 10] với ∆ xác định=2

[1/3 2/3 1 4/3 5/3] với ∆ xác định= 1/3

Trong các bài toán thực tế, thong thường khoảng xác định tham biến nằm trong khoảng từ 0 đến 1 hay từ 0° đến 360° thì việc chọn giá trị của các vector nút được chuẩn hóa trong khoảng từ [0 1] hay [0° 360°] đó

Các nút gọi là đều và tuần hoàn khi các hàm B-Spline đối với mỗi phân đoạn có thể chuyển đổi lẫn nhau Bảng dưới đay chỉ ra thay đổi của miền tham số

và vector nút khác nhau của các đường cong B-Spline khi bậc của đường cong thay đổi Số lượng của vector nút được quy định bởi biểu thức m-n+k và số lượng các điểm kiểm soát được tính qua biểu thức n+1=6

Bậc (k-1) Cấp (k) Vector nút (m=n+k) Khoảng tham số k-1≤t≤n+1

Đường B-Spline tuần hoàn không đi qua các điểm đầu và cuối của đa giác kiểm soát ngoại trừ đường bậc 1 (k=2) mà khi đó đường cong chuyển dạng thành đường thẳng

Ví dụ về đường cong B-Spline tuần hoàn có các bậc khác nhau có cùng điểm kiểm soát Khi k=2 đường cong bậc một trùng với các cạnh của đa giác kiểm soát

Khi k=3 đường cong B-Spline bậc 2, bắt đàu tại trung điểm của cạnh thứ nhất và kết thúc tại trung điểm của cạnh cuối cùng của đa giác kiểm soát

 B-Spline Không tuần hoàn

Một vector không tuần hoàn hoặc mở là vector nút có giá trị nút tại các điểm đầu cuối lặp lại với số lượng các giá trị lặp lại bằng chính cấp k của đường cong

và các giá trị nút trong mỗi giá trị lặp lại này là bằng nhau Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai điều kiện không được thỏa mãn thì vector nút là không đều

Các vector nút không tuần hoàn cung cấp các hàm cơ sở được định nghĩa trong một miền tham số tạp và không có sự phức tạp và không có sự mất mát như với loại vector tuần hoàn và vì vậy đường cong B-Spline loại này luôn đi qua các điểm đầu và cuối của đa giác kiểm soát

 B-Spline Không đều

Trong vector nút không tuần hoàn, giá trị các nút xuất hiện tại các biên được lặp lại và các nút bên trong các nút bằng nhau Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai điều kiện không thỏa mãn thì vector nút là không đều

Ví dụ: [0 1 2 3 3 4 5]

[0.0 0.3 0.5 0.84 1]

Các vector nút loại đều cho phép người sử dụng dễ hình dung và sử lý trong các phép toán nhưng trong một số các trường hợp bước nút không đều lại có ưu điểm đặc biệt Ví dụ như trong việc điều khiển hình dạng của đường cong trong tiến trình thiết kế khi các sai lệch không mong muốn có thể xuất hiện

Hai tiêu thức cơ bản, không gian và thời gian được, sử dụng để đánh giá các biểu diễn khác nhau Các thao tác đặc trưong trên một lưới đa giác là tìm ra tất cả các cạnh chung gắn với một đỉnh, xác định các đa giáccó chung cạnh hoặc chung đỉnh, xác định các đỉnh nối cho một cạnh, xác định các cạnh của một đa giác, biểu diễn lưới, nhận dạng các lỗi khi khi biểu diễn ( thiếu cạnh, đỉnh hoặc đa giác ) Nói chung mối quan hệ giữa các đa giác, đỉnh và các cạnh càng được biểu diễn

rõ ràng thì thao tác sẽ được thực hiện nhanh hơn nhưng lại đòi hỏi nhiều không gian hơn

3.1.1 Biểu Diễn Lưới Đa Giác

Có ba cách biểu diễn lưới đa giác

- Biểu diễn theo hàm hiện

- Con trỏ tới danh sách các đỉnh

- Con trỏ tới danh sách các cạnh a) Biểu diễn theo hàm hiện

Mỗi đa giác được biểu diễn bởi danh sách toạ độ các đỉnh

P=(( , , ), ( , , 2), ( , , )

2 2 1

1

1 y z x y z x y z

Các đỉnh được lưu theo thứ tựmà ta sẽ gặp chúng khi đi một vòng quanh đa giác Có các cạnh giữa các đỉnh trong danh sách và giữa đỉnh đầu và đỉnh cuối Với một đa giác đơn,cách biểu diễn này hiệu quả về mặt không gian; với một lưới đa giác sẽ tốn nhiều không gian hơn vì toạ độ các đỉnh chung được tính hai lần Vấn đề là không có cách biểu diễn theo hàm hiện cho các cạnh chung và các đỉnh chung Chẳng hạn để di chuyển một đỉnh mà tất cả các cạnh nối với đỉnh đó đều phải biến đổi theo, ta phải xác định tất cả đa giác chung đỉnh đó Việc tìm kiếm này đòi hỏi so sánhba toạ độ một đỉnh một đa giác với các đa giác khác Cách làm hiệu quả nhất là sắp sếp N toạ độ, nhưng quá trình này tốn N log2N,

và có thể nguuy hiểm vì một đỉnh có thể sẽ có toạ độ khác đi do quá trình làm tròn Do đó sẽ không thể thực hiện chính xác được

Trong phương pháp này lưới đa giác được biểu diễn dưới dạng tô màu đa giác hoặc vẽ đường nét bên ngoài cần đựoc chuyển đổi các đỉnh và cắt các cạnh của mỗi đa giác Mỗi cạnh chung sẽ được vẽ hai kần đó là nguyên nhân vẽ lại trong bút vẽ, thiết bị ghi phím và các hiển thị vector và raster

b) Con trỏ tới danh sách các đỉnh

Mỗi đỉnh của lưới đa giác được lưu ch ỉ một lần trong danh sách các đỉnh V= , , 1), ,( , , ))

1

1

(( x y z xn yn zn Một đa giác được xác định bởi danh sách các chỉ

số ( hoặc các con trỏ ) tới danh sách các đỉnh Một đa giác có các đỉnh là 2,4,7 và

9 thì danh sách các đỉnh được biểu diễn là p=(2,4,7,9)

c) Con trỏ tới danh sách các cạnh

Ta có danh sách các cạnh V Trong phương pháp này, biểu diễn đa giác theo danh sách con trỏ nhưng không phải trỏ tới danh sách các đỉnh mà trỏ tới danh sách các cạnh, mỗi cạnh đúng một lần Mỗi cạnh trong danh sách các cạnh trỏ tới hai đỉnh trong danh sách các đỉnh để xác định một cạnh, và một hoặc hai đa giác

mà cạnh đó thuộc Như vậy,ta mô tả đa giác dưới dạng P=(E1, ,En), và một

cạnh được mô tả E=(V1 ,V2 ,P1 ,P2) Khi một cạnh chỉ thuộc một đa giác P1 hoặc P2 sẽ là rỗng

Khi biểu diễn đa giác bởi các cạnh, thay bằng cách biểu diễn tất cả các đa giác thì tránh được các phép cắt, chuyển đổi và chuyển đổiphân hình Việc tô màu đa giác cũng được thực hiện dễ dàng Trong một vài trường hợp, khi mô tả cấu trúc của một đối tượng dạng tổ ong 3D, một số cạnh sẽ là cạnh chung của 3 đa giác Trong trường hợp này, khi mô tả một cạnh có thể mở rộng ra bao gồm một số đa

Khi biểu diễn dữ liệu cho bề mặt lưới đa giác hoặc cho một vật thể ba chiều nói chung trong máy tính, nên nhập dữ liệu thành một file riêng Điều này rất tiện lợi khi ta muốn thay đổi vật thể thì chỉ cần thay đổi dữ liệu ở file riêng này Ngoài ra cách tổ chức dữ liệu thành file riêng còn giảm được bộ nhớ cho chương trình, và thực hiện rất tốt với các vật thể phức tạp Trong CAD các file này đã có định dạng sẵn

3.1.2 Phương Trình Mặt Phẳng

Khi làm việc với nhiều đa giác hoặc lưới đa giác, ta thường cần biết tới phương trình mặt phẳng chứa đa giác đó Trong một vài trường hợp các phương trình này được biết theo hàm ẩn qua phương pháp xác định đa giác Nếu không biết được phương trình ta có thể sử dụng toạ độ của ba đỉnh để xác định mặt phẳng

a) Phương trình hàm ẩn

Phương trình mặt phẳng có thể được biểu diễn theo dạng sau

F(x,y,z)= Ax+By+Cz+D=0 (1.1)

Trong đó (x,y,z) xác điịnh một điểm tuỳ ý trongmặt phẳng, các hệ số A,B,C và

D là các hằng số mô tả đặc điểm không gian của mặt phẳng

 Cho ba điểm không thẳng hàng P1 ,P2 và P3 trong mặt phẳng ta có thể xác định các giá trị A,B,C và D bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính sau:

2 1 1 1 3 2 3 2

1 x x z x x z x x

2 1 3 1 3 2 3 2

2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2

+) Hướng của mặt phẳng có thể được mô tả bởi pháp tuyến của mặt phẳng Ta

tính được bằng tích của vector P1P2*P1P3 (hoặc P2P3*P2P1,…)

Vector pháp tuyến này có ba thành phần A,B,C xác định bởi (3) Nếu tích vector này là 0, thì ba điểm thẳng hàng và không xác định được mặt phẳng Để tính D ta thay thế pháp tuyến [A,B,C] và một trong ba điểm vào phương trình (1)

+) Khi đã xác định được phương trình mặt phẳng bằng cách sử dụng toạ độ của tất cả các đỉnh, ta có thể đánh giá sự không đồng phẳng của đa giác bằng cách tính các khoảng cách từ mặt phẳng tới mỗi đỉnh Khoảng cách d tới đỉnh có toạ

độ (x,y,z) là:

D=

C B A

Cz By x

2 2 2

Khoảng cách này có thể dương hoặc âm tuỳ thuộc vào vị trí của điểm đó đối với mặt phẳng, nếu đỉnh ở trên mặt phẳng thì d=0 Tất nhiên nếu chỉ để xác định xem điểm đó nằm ở phía bên nào đối với mặt phẳng, ta chỉ cần xét dấu của d như vậy việc chia cho căn là không cần thiết và có thể bỏ dấu căn đi được

+) Phương trình của mặt phẳng là không duy nhất; khi nhân thêm với hằng số k

sẽ làm thay đổi phương trình nhưng không làm thay đổi mặt phẳng Tốt nhất là lưu trữ các hệ số mặt phẳng với pháp tuyến của nó

b) Xác định điểm trên mặt phẳng

Giả thiết rằng mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng P1,P2

và P3 Một điểm P(x,y,z) nằm trên mặt phẳng thì vector P1P phải là kết hợp tuyến tính của vector P1P2 và P1P3 Nói một cách khác là tồn tai hai số thực u,v

thoả mãn:

P1P=uP1P2+vP1P3

1 3 1

y a

2 2

3.2.3 Hình Xuyến

Hình xuyến là một bề mặt được tạo ra bằng cách quay một đường tròn hoặc một đường bậc hai quanh một trục xác định Phương trình của một hình xuyến trong hệ toạ độ Decard như sau:

y a

x

Trong đó r là bán kính đường biên ngoài Trong nhiều ứng dụng hình xuyến được tạo ra bằng cách sử dụng đường tròn (a=b) như trong hình dưới đây Biểu diễn theo tham số của hình xuyến theo các góc vĩ độ  và góc kinh độ  như sau:

3.3 Mặt Cong Bậc Ba

3.3.1 Bề Mặt Bậc Ba Hermite

Mặt cong tham biến được tạo bởi bề mặt qua tại 4 điểm dữ liệu tại 4 góc và các

đường cong có phương trình bậc ba qua chúng: như vậy 16 vector điều kiện hay tương đương với 48 giá trị đại số cần thiết để xác định hệ số của phương trình Khi những hệ số là 4 điểm dữ liệu góc và 8 vector tiếp tuyến tại các điểm đó theo các hướng u,v tương ứng cùng 4 vector xoắn thì mặt cong tạo thành là mặt cong Hermite

Phương trình của mặt bậc ba có dạng:

Q(u,v)= C u vj

i

i j

Hay tương đương ở dạng ma trận:

     T

V C U

23 22 21 20

13 12 11 10

03 02 01 00

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

Bề mặt Hermite được giới hạn bởi bốn đường cong và mỗi đường cong giới hạn là đường cong Hermite Những đường cong này được xác định một cách chính xác dựa trên 4 điểm P(u,0), P(1,u), P(0,v), và P(1,v)

3.3.2 Bề Mặt Bậc Ba Bézier

Mặt cong Hermite là một công cụ cho phép biểu diễn mềm dẻo trong thiết kế, tuy niên trong một số trường hợp khi yêu cầu sự biến đổi mật độ thì mặt cong Hermite lại xuất hiện nhiều nhược điểm Để khắc phục những nhược điểm này người ta đưa vào mặt cong Bézier tuy nó không thay thế được hoàn tào mặt cong Hermite nhưng nó cũng đưa cho người sử dụng những cách lựa chọn mới thích hợp hơn

Công thức tổng quát của bề mặt Bézier có dạng:

)()()

,

3

0 3

30

23 22 21

20

13 12 11

10

03 02 01

00

P P P

P

P P P

P

P P P

P

P P P

3 1

Thông thường bề mặt bậc ba Bézier được giới hạn bởi 4 đường cong trong đó mỗi đường cong lại là một đường Bézier nên mặt cong Bézier cũng có nhiều thuộc tính tương tự như đường cong Bézier

3.3.3 Bề Mặt Bậc Ba B-spline

Là mô hình mặt được pháp triển từ mặt Bézier có công thức như sau:

 u  v v

u

i

k i j

3

0

, 3

0 , )

N x x

x

N x N

i k i

k i u k i i

k i

k i i k

i

u u

u

1

1 , 1

1 ,

1 , ,

M y y

l i j j

l j

j j l

v v

v

1 1

1 , 1 1

1

1 , ,

Trong đó xi,yj là các phần tử của nút vector

Bi, j là các điểm của lưới đa giác kiểm soát bề mặt

Thông thường người ta dùng các hàm hợp để mô tả các đương biên lẫn các yếu

tố bên trong Nếu số điểm kiểm soát bằng số bậc của mặt cong cộng 1 thì mặt spline chuyển dạng sang mặt Bézier

B-CHƯƠNG VI:

ỨNG DỤNG CỦA VIỆC SỬ DỤNG BỀ MẶT

TRONG 3DS MAX

4.1 Giới Thiệu Về Phần Mềm 3ds Max

3DS Max là một phần mềm ứng dụng giúp mô tả hoặc tạo ra các vật, các mô hình trong không gian 3D Đây là một công cụ rất hữu hiệu và có nhiều chức năng mạnh, dễ sử dụng với giao diện thân thiện

a) Hướng dẫn cài đặt

Yêu cầu hệ thống:

+ Phần cứng:

 Bộ sử lý PIII trở lên ở tốc độ 300 Megahertz trở lên hoặc tố

hơn Thích hợp với nhiều bộ sử lý cùng lúc

 Thích hợp nếu có thêm card đồ họa

 Đĩa cứng: Yêu cầu trống 650MB cho việc cài đặt điều này

cònphụ thuộc vào số lượng thành phần cài đặt

 CD-Rom yêu cầu dành cho việc load phần mềm và cần cho

việc truy cập các file VD

 Card âm thanh và loa: Yêu cầu cho việc nghe các đoạn âm thanh

 Thiết bị trỏ: Hỗ trợ cho các thiết bị trỏ của Microsoft hoặc

của bảng của Wacom® 3ds Max đặc biệt thích hợp với

loại chuột có 3 nút hoặc có hỗ trợ bánh xe

 Mạng (tùy ý): Một cấu hình mạng TCP/IP cho việc sử dụng mạng diễn hoạt

 Các thứ khác: Sự cho phép của 3ds Max và sự truy cập trợ

giúp trực tuyến bạn cần có Internet Explorer® 6

+ Phần mềm:

 Hệ điều hành: Microsoft® Windows® 2000 (Service

Pack 4), Windows XP Professional (Service Pack 1) or Windows XP Home (Service Pack 1), phải có sự cho phép

cài đăt 3ds Max Chú ý các hệ điều hành Window 98 và Window ME là không được hỗ trợ

• 3ds max 6 và character studio 4: CD chứa các thành phần chính

3ds Max được lưu dưới dạng các file nén

• 3ds max 6 CD chứa các nguồn hỗ trợ được thêm vào để phát triển

bở các đối tác đồng minh của Discreet®

• 3ds max 6 và character studio 4 CD chứa các hướng dẫn và các

file VD sự hướng dẫn các VD Hướng dẫn tham chiếu là được cài

đặt thành phần với sự tham chiếu 3ds Max (mục 4) trong 3ds

max 6 Installer Welcome Bắt đầu cài đặt:

- Đóng tất cả các chương trình đang chạy hiện hành và chèn đĩa

cài chương trình 3ds Max vào ổ đĩa CD

- Nếu file Autorun không bắt đầu cài đặt 3ds Max 6 thì mở thanh

công cụ Window, chọn Star sau đó chon Run, nhập kí tự ổ đĩa

theo sau bởi :\Cdsetup VD : E:\Cdsetup sau đó ấn Enter Ta

cũng có thể chạy chương trình Setup từ My Compute hoặc Windows Explorer bằng cách chỉ định đến ổ CD-ROM và kích đúp vào file CDsetup.exe màn hình chào mừng 3ds max được hiển thị chọn các mục mô tả dưới đây:

+ 3ds Max Install Panel: khi click có thể chọn các thành

phần 3ds Max từ danh sách cần để cài đặt Các nút Radio kết

hợp với danh sách các thành phần cho phép thiết lập thêm hoặc bớt khỏi danh sách Ở đây cũng đã có các thành phần được chọn

và bỏ theo mặc định của chương trình ta có thể thay đổi tùy theo nhu cầu của người sử dụng

Click nút Remove của bất kì các thành phần buộc trình cài đặt bỏ qua thành phần đó nếu cài lần đầu hoặc gỡ bỏ thành phần

đó nếu thành phần này đã được cài đặt trước đó Khi di chuyển con trỏ qua một thành phần một sự mô tả xuất hiện trong phần

mô tả thành phần phía dưới danh sách các thành phần Bên phải