Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong đồ họa máy tính, phương pháp thiết kế đồ họa, tạo các bề mặt cong dựa trên phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều lợi thế: - Sự tác đ

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN iv

LỜI CAM ĐOAN v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC HÌNH vii

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC 12

1.1 ĐƯỜNG CONG 12

1.1.1 Biểu diễn đường cong 12

1.1.2 Ðặc tính của đường cong 13

1.1.2.1 Độ chảy 13

1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị 14

1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính 14

1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong 15

1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong 15

1.2 MẶT CONG 16

1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong 16

1.2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn 16

1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số 16

1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số 177

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong 17

1.2.3 Độ cong 19

1.3.CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ 21

1.3.1 Phép biến đổi tọa độ 2D 21

1.3.2 Phép biến đổi tọa độ 3D 23

1.3.3 Phép ánh xạ 25

1.3.4 Khung tọa độ 26

1.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG 27

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 29

2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 29 2.1.1 Giới thiệu chung về phương trình đạo hàm riêng 29

2.1.2 Phương trình eliptic và phương pháp giải 31

2.1.2.1.Phương pháp tách biến Fourier 31

2.1.2.2.Phương pháp sai phân 32

2.1.2.3.Phương pháp phần tử hữu hạn 33

2.2 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP BỐN 35

2.3 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA 42

2.4 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC 50

2.5 TỔNG KẾT CHƯƠNG 56

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC 57

3.1 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA 57

3.2 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC 61

3.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG 64 KẾT LUẬN 65 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho

em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS TS Đặng Quang Á – người đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho

em trong suốt quá trình hình thành và hoàn chỉnh luận văn

Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học

Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong việc hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015

Tác giả

Lương Ngọc Tú

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á

Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo đúng qui định

Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015

Tác giả

Lương Ngọc Tú

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Tiếng Anh

CAD Computer Aided Design Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp

của máy tính PDE Partial differential equations Phương trình đạo hàm riêng CSG Constructive solid geometry Phương pháp hình học lập thể B-rep Boundary representation Phương pháp biểu diễn biên

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Tham số hóa đường tròn đơn vị 12

Hình 1.2 Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp 15

Hình 1.3 Hình học mặt cong 17

Hình 1.4 Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến 18

Hình 1.5 Phép biến đổi tọa độ 2D Hình 1.6 Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động Hình 2.1 Bề mặt bình tạo ra bởi nghiệm đóng của PDEs 31

Hình 2.2.Các dạng bề mặt bằng cách thay đổi các điều kiện biên tiếp tuyến 33

Hình 2.3 Các mặt cong PDE tương ứng với các điều kiện biên cụ thể 41

Hình 2.4 Các mặt cong PDE tương ứng với các điều kiện biên cụ thể 41

Hình 3.1 Thiết kế đối tượng bằng phương trình tam điều hòa 52

Hình 3.2 Thiết kế đối tượng bằng phương trình tam điều hòa 52

Hình 3.3 Thiết kế đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác 54

Hình 3.4 Thiết kế đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác 55

Hình 3.5 Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình tam điều hòa 56

Hình 3.6 Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sinh mặt (surface) là một chủ thể quan trọng trong đồ họa máy tính (computer graphics) và thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer Aided Design – CAD [1]) các mô hình hóa hình học một cách chi tiết Nhờ sự phát triển của công nghệ thông tin, các ngành công nghiệp có liên quan đến ngành hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa sử dụng CAD ngày một nhiều hơn

Thông thường thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình dạng mẫu được yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng của sản phẩm và các chức năng của nó Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt động lặp lại cho tới khi đạt được một thiết kế tối ưu Ngày nay, quy trình của việc thiết kế tự động theo chức năng dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy tính Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy tính không cung cấp giải pháp tự động cho một bài toán thiết kế cho trước, nhưng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy trình thiết kế Bởi vậy, các quá trình chính của thiết kế các mặt cong bao gồm việc mô tả hiệu quả hình dáng và thao tác trên các tham số của mô hình biểu diễn

Mặt có thể biểu diễn tường minh hoặc dạng ẩn và dạng tham số, trong các dạng này thì dạng tham số là phổ biến nhất trong đồ họa máy tính, thực tại

ảo và CAD Hầu hết các mặt tham số sử dụng các phương pháp mô hình hóa dựa trên các điểm điều khiển (control-point based modelling) như Bezier, B-spline và NURBS Gần đây phương pháp mô hình hóa nhờ phương trình đạo hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) được phát triển mạnh mẽ Việc sinh mặt sử dụng lời giải của PDE gắn với các điều kiện biên xác định

có thể được xem như phương pháp mô hình hóa dựa trên vật lý (physics-base modelling) Trong phương pháp này việc lựa chọn phương trình và các điều

kiện biên là các yếu tố rất quan trọng Một số phương pháp cả giải tích và phương pháp số được phát triển để tìm lời giải cho các phương trình này[6], [7]

So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong đồ họa máy tính, phương pháp thiết kế đồ họa, tạo các bề mặt cong dựa trên phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều lợi thế:

- Sự tác động của một đối tượng PDE được xác định bởi giá trị biên của các phương trình vi phân do đó các bề mặt có thể dễ dàng được xác định thông qua các phương trình vi phân bậc cao [5]

- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều kiện biên Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc giải các phương trình vi phân Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số

- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn các bề mặt biên Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG [3]), phương pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v vào một khung duy nhất

- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng (free-form deformation, FFD) cho các đối tượng nhúng bên trong các mô hình PDE

- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất

và khác nhau có thể được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời

Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng

ẩn bởi vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình

ẩn lại không có được điều này Do đó, việc sử dụng một cách thống nhất cả hai phương pháp sẽ có nhiều lợi thế trong việc mô hình hóa hình học [4] Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng

viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Các mặt cong phương trình đạo hàm

riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp

của mình

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp phương trình đạo hàm riêng tạo dựng các mặt cong và nắn chỉnh hình dạng của chúng nhờ can thiệp vào tham số trong chương trình và thay đổi điều kiện biên

3 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý thuyết như Cơ sở toán học trong thiết kế hình học, các phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phương trình đạo hàm riêng đặc biệt là các dạng phương trình elliptic cấp bốn và cấp sáu kết hợp với các điều kiện biên ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể

- Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể

- Cài đặt thuật toán ứng dụng các phương trình đạo hàm riêng để thiết

kế hình dạng trong môi trường Matlab

5 Những nội dung nghiên cứu chính

Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài Chương một, tập trung trình bày những kiến thức cơ bản về thiết kế hình học Chương hai, trình bày phương pháp phương trình trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học, các kỹ thuật tạo

bề mặt trong thiết kế bề mặt, phương pháp sinh mặt cong nhờ phương trình elliptic cấp bốn và cấp sáu Chương 3, trong chương này chúng tôi đã sử dụng các kết quả nghiên cứu liên quan đến phương trình đạo hàm riêng để thiết kế một số hình dạng bằng phương trình elliptic cấp sáu

Với những kết quả đạt được, phần cuối của luận văn nêu ra những phép

đo tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm tối ưu thuật toán, đánh giá các kết quả đạt được, những hạn chế và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc tài liệu

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC

1.1 ĐƯỜNG CONG

Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thỏa mãn một số điều kiện

1.1.1 Biểu diễn đường cong

Về toán học, đường cong có thể được biểu diễn dưới dạng

Trường hợp đặt góc  tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là

phương trình tham số đa thức hữu tỷ Quá trình thiết lập phương trình tham số

hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hóa

Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số

( ); ( ); ( )

xx t y y t zz t

hay dưới dạng vectơ r t( ) [ ( ), ( ), ( )]. x t y t z t

Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách

dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn ( , , ) 0

g x y z  biểu diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong

1.1.2 Ðặc tính của đường cong

Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham

số chuẩn tắc r r t( ) [ ( ), ( ), ( )]. x t y t z t

Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm

a Độ chảy của đường cong

b Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trương

cho thời gian Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1 Độ chảy

của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hóa

1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho

Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta

có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong

( / )/ | / | ( / )/ | / |

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2)

Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ B= TxN

Hình 1.2 Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp

3

| ' '' |

| ' |

r xr k

thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm

này.Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròng mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi  1/ k (1.11)

1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong

Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau

(dB ds N/ ) ,

   trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serect-Frenet

1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong

1.2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các

Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x2y2z2 1 0

và phương trìnhx2 y2 z2 1 0

(1.13)

biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu

Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g x y z ( , , ) 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian ( , , ) 0g x y z  và ( , , ) 0g x y z 

1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số

Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và

được biểu diễn bởi phương trình

( , ) [ ( , ), ( , ), ( , )]

trong đó u và v là tham số của mặt cong

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phương trình

(1.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt

cầu

( , ) (cos cos , cos sin ,sin )

với 0 u  2 và  / 2 v  / 2.

Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hóa phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ

1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số

Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ Descarte (ux v, y), mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số

Hình 1.3 Hình học mặt cong 1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong

Xét đường cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số r(u,v) hình (1.4)

( ) [ ( ), ( )]T

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho

( ) ( ( ), ( )) ( ( ( ), ( ), ( ( ), ( )), ( ( ), ( )))

r t r u t v t  x u t v t y u t v t z u t v t (1.19) Trường hợp đặc biệt của (1.19) là đường cong đẳng tham số

*, ( ) ; *, ( )

vv v t t uu u t t.

Hình 1.4 Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến

1.2.2.1 Vectơ tiếp tuyến

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau

trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); r u và r v là vectơ tiếp tuyến

của đường cong đẳng tham số u = u*, v = v* Ba vectơ tiếp tuyến r’, r uvà

r vxác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4)

1.2.2.2 Vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ

pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt

giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn Từ các công

thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’|, độ cong pháp tuyến được xác định

bởi công thức sau

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:

Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng 

đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong

Độ cong của đường cong với mặt phẳng  là độ cong pháp tuyến của mặt

cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q’

1.2.3.3 Độ cong chính

Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’

Giá trị cực đại của bộ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và

được xác định từ (1.30) như sau

với g g1, 2, h, d , d ,1 2 e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D

Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng

để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong

1.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ

lệ và quay

1.3.1 Phép biến đổi tọa độ 2D

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay  ngược chiều quay kim đồng

hồ (Hình 1.5c) được xác định như sau

x’ = x + tx; y’ = y + ty ; (1.33)

x’ =xcos- ysin; y’ = xsin + ycos (1.35)

Hình 1.5 Phép biến đổi tọa độ 2D

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ

x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h, (1.36) trong đó h  0 hệ số vô hướng

Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h

Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M

P’h= Ph M, (1.37) trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1)

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép

lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau

1.3.2 Phép biến đổi tọa độ 3D

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D Toạ

độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau

x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z (1.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S)

P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b) trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ;

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1)

s s

Phép quay cơ bản X' Y’ Z’

quanh trục z x’ = xcos + ysin y’ = xsin + ycos z’ = z

Bảng 1.1 Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có giá trị như sau (C = cos ; S = sin )

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu địnhnghĩa các vectơ hàng của R

và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai

và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập

và nhập dữ liệu hình học Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theohệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ

thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (x, y, z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’), sao cho thoả điều kiện

P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó

P: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x, y, z),

P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’),

H: Ma trận ánh xạ (1.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (x, y, z), so với hệ toạ độ (x’, y’, z’)

1.3.4 Khung tọa độ

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ tọa độ

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) Cho ih, jhvà kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của

hệ toạ độtham chiếuih= (1 0 0 1); jh= (0 1 0 1); kh= (0 0 1 1)

(1.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất

i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1), (1.47a) j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1), (1.47b)

k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1).(1.47c) Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi theo (1.42)

Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự

P’h= (0 0 0 1) H = (txtytz1) = (t 1) (1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống (hệ toạ độ cố định)

Hình 1.6 Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động

Viết lại biểu thức (1.42) ta có P’h= Ph H hay Ph = P’h H-1, trong đó

Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1), r(x, y, z) : vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc,

r’(x’, y’, z’) : vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống)

phương thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với

cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1.1 Giới thiệu chung về phương trình đạo hàm riêng

Trong thuật ngữ đơn giản, người ta có thể mô tả một phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE-Partial differential equations) như một công cụ toán học có thể được sử dụng để mô tả một hiện tượng vật lý nhất định Mô tả này được đưa ra trong các hình thức của một mối quan hệ toán học giữa mức

độ khác nhau của sự thay đổi của các hiện tượng trong câu hỏi về các biến khác nhau, ví dụ như với tọa độ vật lý và thời gian Do đó, nhiều vấn đề vật lý trong thế giới thực có thể được mô tả toán học của một số hình thức của một PDE, ví dụ như hiện tượng vật lý như truyền nhiệt, truyền gợn trong một cái

ao, một số vấn đề về kinh tế và tài chính

Về mặt toán học, phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE-Partial differential equations) là phương trình mà trong đó các hàm chưa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập Ví dụ đối với hàm u(x,y) phụ thuộc hai biến độc lập x, y Dạng tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêng đối với v(x, y) được cho bởi

Auxx + Buxy +Cuyy + Dux + Euy + Fu = G(x, y), (2.1) trong đó A, B, C, D, E, F là các hàm có thể phụ thuộc u(x,y), uxx, uxy, uyy, ux,

uy là kí hiệu của đạo hàm

Sở dĩ phương trình vi phân đạo hàm riêng có được tầm quan trọng của một công cụ toán học như thế bởi nó mô hình hóa được hầu hết các hiện tượng vật lý Ví dụ phương trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô

tả nhiệt được phân bố như thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực

tương ứng Các ví dụ khác của các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tượng vật lý là phương trình sóng và phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng được mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểu diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo các đặc tính khác nhau như

- Bậc được xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phương trình

- Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y) Nếu G(x,y) =0 thì phương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất

- Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm u(x,y) và đạo hàm riêng của chúng, ngược lại là phương trình phi tuyến tính

Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loại theo hệ số Theo cách này chúng được chia thành ba loại phương trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây:

+ Parabolic: Phương trìnhvi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0

+ Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn nếu B2- 4AC >0 + Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi phải thỏa mãn nếu B2- 4AC <0

Sự phân loại này còn được mở rộng cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc của phương trình Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả lại các hiện tượng vật lý của từng loại phương trình Việc giải các phương

trình vi phân đạo hàm riêng nói chung là không dễ dàng Tuy nhiên một số phương pháp đã được phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng Những phương pháp này biến đổi từ việc phân tích các lược đồ cho tới các kỹ thuật số hoàn chỉnh Ngày nay các phương trình vi phân đạo hàm riêng đã được biết đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đề rất hiệu quả

2.1.2 Phương trình Eliptic và phương pháp giải

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số phương pháp cơ bản giải phương trình elliptic tiêu biểu như phương trình Laplace 2 chiều

2.1.2.1.Phương pháp tách biến Fourier

trong đó các hệ số An, Bn tìm từ khai triển của 1( )x và 2( )x theo hệ sin(n x ) 

Tương tự, nghiệm của bài toán (2.3) tìm trong dạng tách biến

trong đó các hệ số Cn, Dn tìm từ khai triển của 1(y) và2(y)theo sin(n y ) 

2.1.2.2.Phương pháp sai phân

Nói chung người ta chỉ có thể tìm được nghiệm giải tích của các phương trình vi phân trong một số rất ít các trường hợp, khi mà các hệ số của phương trình là hằng số và các miền xét bài toán có dạng hình học rất đơn giản như hình tròn, hình chữ nhật loại một dải Vì thế, để tìm nghiệm của các bài toán cho phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng các phương pháp số để tìm lời giải gần đúng

Có nhiều phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng đã được phát triển như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên.Trong số các phương pháp này thì phương pháp sai phân là phương pháp được đề xuất và ứng dụng sớm nhất

Ý tưởng của phương pháp này là thay các đạo hàm bởi các tỷ sai phân

và dẫn bài toán về hệ các phương trình đại số tuyến tính

Ví dụ 1 Xét bài toán biên cho phương trình một biến cấp hai đơn giản

''

( ) ( ) ( ) ( ),0 1(0) , (1)

Hệ này được gọi là lược đồ sai phân cho bài toán (1)

Ví dụ 2 Xét bài toán cho phương trình Poisson

2 2 ( , ) trong mien ( , ) tren bien

Phủ miền hình vuông [0,1]x[0,1] bởi lưới điểm

PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán vật

lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp là những vùng nhỏ có các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chị các điều kiện biên khác nhau Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử

Trong PP PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con

được gọi là các phần tử Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên được gọi nút Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm (chẳng hạn đó

là các biến dạng, dịch chuyển, ứng suất, ) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm

đơn giản – được gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function) Các hàm xấp xỉ này được tính thông qua các giá trị của nó (đôi khi qua các giá trị đạo hàm) tại

các điểm nút trên phần tử và các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần

tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm của bài toán

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển

vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V ra nhiều miền con v e có kích thước và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính

trong tập hợp các miền v e

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v e được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến nút gắn

vào nút của v e và biên của nó

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v e được xây dựng sao cho chúng liên

tục trên v e và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

- Các miền con v eđược gọi là các phần tử

2.2 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP 4

Các phương pháp sinh mặt cong dựa trên lời giải của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDEs) lần đầu tiên được đề xuất bởi phương pháp Bloor

và Wilson Trong công trình của mình, Bloor và Wilson đã sử dụng phương trình đạo hàm riêng cụ thể là phương trình eliptic cấp 4 Hầu hết các công trình của Bloor sử dụng các lời giải của PDEs, nói chung là khó khăn hơn so với các giải pháp khác [11], [12]

Vì các thông số trong PDEs có tác dụng mạnh trên hình dạng của bề mặt được tạo ra bởi các giải pháp của PDEs, Zhang đã đề xuất một phương pháp tổng quát hơn đối với phương trình PDE cấp bốn, nó có ba vector tham

số hình dạng để trộn các bề mặt được sinh ra, chứa đựng tất cả các dạng của PDE cấp 4 được sử dụng, do đó có khả năng tạo ra các bề mặt của nhiều loại hơn [14]

Do đặc điểm của lọ, bình, phương pháp PDE thuận lợi hơn các phương pháp để sinh mặt, mô hình hóa bề mặt khác cho thiết kế bình tương tác Tuy nhiên, ba vấn đề phải được giải quyết trước khi phương pháp này có thể được

áp dụng hiệu quả Đó là: (2.6) xác định các dạng của PDEs, bao gồm các thông số điều chỉnh; (2.7) các điều kiện biên; và (2.8) lời giải của PDEs

Việc nghiên cứu cơ sở của một chiếc lọ, bình là những đường cong khép kín 3D Đối với hầu hết lọ, bình những đường cong khép kín có thể được mô tả bằng một hàm tuần hoàn trong các điều kiện biên PDE Mục tiêu của nghiên cứu này là để tạo ra bề mặt của lọ hoặc các đối tượng tương tự bằng cách sử dụng lời giải của PDEs

Trong dạng véc tơ, phương pháp PDE cấp bốn được sử dụng