Khoá luận tốt nghiệp khảo sát đường cong trong mặt phẳng và các tính chất metric của nó

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.. Em xin cam đoan những kết

LỜI C Ả M Ơ N

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ N guyễn Thị Trà người đã tận tình hướng

dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học cũng như các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học

và trong suốt thời gian làm khoá luận

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khoá luận này

Mặc dù cố gắng nhiều, song kinh nghiệm và thời gian của bản thân còn nhiều hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Xoan

LỜI C A M Đ O A N

Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới

sự hướng dẫn nhiệt tình của ThS N guyễn Thị Trà.

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả của đề tài "Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và các tính chất m etric của nó" là kết quả của

việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không sao chép từ các khoá luận trước

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Xoan

M ụ c lụ c

1.1 Cung tham số hoá 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá trong lân cận một điểm 6 1.1.3 Tính các diện tích p h ẳ n g 14

1.1.4 Ví dụ 14

1.2 Đường cong trong toạ độ cực 19

1.2.1 Định nghĩa 19

1.2.2 Biểu diễn đường cong trong toạ độ c ự c 21

1.2.3 Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực trong lân cận một điểm 23

1.2.4 Tính diện tích phẳng trong toạ độ c ự c 29

1.2.5 Ví dụ 29

1.3 Đường cong cho bởi phương trình Descartes Hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng 31

1.3.1 Đường cong cho bởi phương trình Descartes 31

Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ T H Ị X O A N

1.3.2 Hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng 32

1.3.3 Ví dụ 36

2 Các tín h chất m etric của đường cong tron g m ặt phẳng 39 2.1 Các tính chất cấp 1 39

2.1.1 Hoành độ c o n g 39

2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành độ c o n g 41

2.1.3 Ví dụ 43

2.2 Các tính chất cấp 2 46

2.2.1 Bán kính cong Tâm c o n g 46

2.2.2 Đường tròn m ật tiếp Đường túc bế của một đường cong trên m ặt phẳng 49

2.2.3 Các đường thân khai của một đường cong trên mặt phẳng 52

2.2.4 Ví dụ 52

Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ T H Ị X O A N

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác

Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu chuyên ngành hình học, một bộ môn quan trọng và tương đối khó trong đó có môn hình học vi phân Hình học vi phân có ứng dụng lớn trong hình học phẳng ở trường

TH PT, có nhiều dạng bài khác nhau, mỗi dạng mang một đặc điểm và tính chất riêng

Trong kì thi quốc gia TH PT, dạng bài toán về khảo sát đồ thị hàm

số không thể thiếu, hoặc trong các chương trình đại học ở các phân môn khác nhau có các bài toán liên quan đến đồ thị các hàm số phức tạp hơn

mà bản thân em và các bạn sinh viên trong quá trình học cũng chưa biết hình dạng đồ thị của nó ra sao vì vậy để làm rõ hơn vấn đề này em đã

chọn đề tài "Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và tính chất metric

của nó " làm khoá luận tốt nghiệp.

Luận văn gồm hai chương: Chương 1 "Đường cong trong mặt phẳng ", Chương 2 "Tính chất metrỉc của đường cong trong mặt phẳng".

2 M ục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về đường cong trong m ặt phẳng, tính chất metric của nó.Xây đựng các bước khảo sát đường cong trong m ặt phẳng, thấy hình dáng đặc biệt của một số đường cong

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Làm rõ hơn về cung tham số hoá, đường cong trong toạ độ cực, đường cong cho bởi phương trình Descartes và hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng và tính chất cất một, cấp hai của nó

3 Đ ối tượng và phạm vi n ghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về "Khảo sát đường cong trong mặt

phẳng và tính chất metrỉc của nó".

Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán về khảo sát đường cong, tính diện tích phẳng, tìm hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng, tìm bán kính cong, tâm cong, bài toán về đường túc bế, đường thân khai của đường cong trên m ặt phẳng

4 N h iệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về đường cong và một số lược đồ khảo sát về đường cong và hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu liên quan

C h ư ơ n g 1

Đ ư ờ n g c o n g tr ê n m ặ t p h ẳ n g

Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng các bước khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong lân cận một điểm, cách tính diện tích đường cong, cách tìm hình bao của một họ đường thẳng trong m ặt phẳng

1.1 Cung tham số hoá

là cung tham số hoá thuộc lớp cfc Kí hiệu: f(t).

Cho / : I — » M2 là cung tham số hoá Ta gọi € 1} là quỹ đạocủa f hay e 1 } là một đường cong nhận f làm biểu diễn tham số(hay tập ảnh của cung tham số)

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Cho / : I — > R2 là một cung tham số hoá (thuộc lớp cfc).

• Phép đổi tham số (thuộc lớp c k ) của f là mọi ánh xạ ip : J — > I trong đó 1 là một khoảng của R sao cho: ip e c ktrên J, tp là song ánh,

(p~l € c ktrên I

• Biểu diễn tham số chấp nhận được (thuộc lớp cfc) của f là mọi ánh

xạ g : I — > R2 trong đó 1 c R sao cho tồn tại một phép đổi tham

số ip (thuộc lớp cfc) của f sao cho g = f o (f hay ánh xạ (f : J — > I

là một phép đổi tham số (thuộc lớp cfc) khi và chỉ khi: ip e c ktrên I,

tp' > 0 {ip' < 0), ip (J) = I.

N h ận xét:

• Nếu / : I — > R2 là một cung tham số hoá (thuộc lớp cfc), If : J — » I

là một phép đối tham số (thuộc lớp c k) thì các cung tham số hoá f và

f o (fi có cùng quỹ đạo.

• f và g là c k-tương đương khi và chỉ khi tồn tại một phép đổi tham số

(f (thuộc lớp c k) thoả mãn g = / o ip.

1.1.2 K hảo sát cu ng th am số hoá tron g lân cận m ột điểm a) T iếp tu y ến tạ i m ột điểm

Đ ịn h nghĩa 1:

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Khóa h ậ n tốt nghiệp Đại học V Ũ T H Ị X O A N

Đ ịn h n g h ĩa 2:

Ta nói rằng một cung tham số hoá / : I — y M2 thuộc lớp c1 (C2) là chính quy (song chính quy) khi và chỉ khi với mọi t e I, M (t) là một điểm chính quy (song chính quy) đối với f

Đ ịn h lý:

Cho / : I — y R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp c 1 T là quỹ đạo

của f và A (t) là điểm chính quy của T Khi đó tại mọi điểm chính quy

A (t), T nhận một tiếp tuyến và tiếp tuyến này có phương / '( 4 -

Đ ịn h n g h ĩa 3ỉ

Cho / : I — > M2 là một cung tham số hoá thuộc lớp c 1 T là quỹ đạo của f và A (t) là điểm chính quy của T Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định

hướng) của T tại A (t), kí hiệu là T(t] (hoặc ~ĩ) và được xác định bởi:

b ) D á n g đ iệ u c ủ a đ ư ờ n g c o n g t ạ i lâ n c ậ n m ộ t đ iể m

M ệ n h đ ề 1:

Cho / : I — y M2 là một cung tham số hoá r là quỹ đạo của f

• Nếu f thuộc c1, M (t) là một điểm chính quy của

T D là một đường thẳng đi qua M(to) và không định

phương bỏi f (to), Khi đó T cắt D tại M(to) Tức là

tại lân cận của M (t0):

Với t < ¿0 và t gần to, T nằm hoàn toàn về một phía

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

đối với D

Với t > t 0 và t gần t ữ, T nằm hoàn toàn về phía kia đối với D

• Nếu f € c 2, M ( t ) là một điểm song chính quy của T

Tại lân cận t, r thuộc nửa m ặt phẳng giới hạn

bởi tiếp tuyến với T tại M(t) và nằm về phía của

Khi đó r quay phía lõm của nó theo hướng

r $

-M ệnh đề 2:

Cho / : I — > R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp thích hợp T là quỹ

đạo của f, t € I

Kí hiệu: p là số nguyên nhỏ nhất, P > 1 sao cho Ỷ ổj q là số nguyên

Trong lân cân của M ít), T có dáng điêu như sau:

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

c) N h án h vô tậ n , tín h đối xứ ng và điểm bội.

• N hán h vô tận

Giả sử / : I — > M 2 là một cung tham số hoá r là quỹ đạo của f, t 0 € I (

có thể ¿0= — oo hoặc t0=+oo), R = (o , ~1 ,~j) là một hệ quy chiếu trực chuẩn của M2, (x,y) là các thành phần của f trong R

—»• +oo, tức là:+o o

\x(t)\ —> +oo

thì T có một nhánh vô tận khi t —> ¿

0-\y(t)\ -A +oo

Giả sử, T có một nhánh vô tận khi t —> t 0.

Phương tiệm, cận: T có một phương tiệm cận khi t —> t 0 khi và chỉ khi

Ta nói rằng T có một nhánh vô tận khi t —>• t ữ f ( t \

lx(t)]2+[y(t)]2

Nói riêng, nếu

Với mỗi A ẽ K2 sao cho: lim A M ( t )

t-Ato AM(t) = l ì

Vậy ta gọi vectơ l ì là phương tiệm cận của r khi

t Ì q

Đường tiệm cận: Đường thẳng D là đường tiệm

cận của T khi t —> ¿0 khi và chỉ khi tồn tại một vectơ

V sao cho { l t , độc lập, trong đó u là vectơ chỉ

phương của D

Kí hiệu (X (t ) , Y (t )) là toạ độ điểm chạy M (t ) trên

T trong hệ quy chiếu Descartes (O, u, v) Ta có:

Khóa h ậ n tốt nghiệp Đại học V Ũ T H Ị X O A N

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Khi vẽ T , ta cần biết vị trí tương đối của T và P (t) là

điểm của A có cùng hoành độ x(t) với M(t) VỊ trí tương

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

CÓ đường cong t ' Đường cong r ” suy ra từ r ' và t = t ' u t”

G iả th iế t đ ối với X , y, 'ệ (ch o Ví G I) P h é p đ ẳn g cự ch u yển từ r' san g r"

1y = x(t) Phép đối xứng qua đường phân giác thứ nhất,

song song với đường phân giác thứ hai.

Định nghĩa tương tự cho điểm bội ba, điểm bội bốn,

d) Lược đồ khảo sát cun g th am số hoá

• Khảo sát về X, y

1 Tìm các miền xác định của X và y

2 Khảo sát các phép đổi tham số để tìm tính chất đối xứng của r

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

3 Khảo sát tại cận của các khoảng đó

4 Khảo sát x ’, y’ xác định các điểm làm triệt tiêu x ’, y ’; dấu của x ’, y ’

5 Lập bảng biến thiên

• Khảo sát T

1 Xác định các nhánh vô tận và thể loại của nó

2 Xác định các điểm không chính quy, loại của chúng và dáng điệu của đường cong tại lân cận các điểm đó

3 Xác định các điểm bội và các tiếp điểm tại đó

4 Khảo sát các điểm đáng chú ý (điểm dừng; )

5 Khảo sát các điểm uốn

A(D ) = - / y.dx = f x.dy = ị f (x.dy - y.dx).

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

1 - 2 í 3

(1 + í 3)2

t{2 - tẤ)(l + í 3f

z '( í ) = 0 « í 3 = ị « í = ị j ị

y'{t) = 0 í(2 - í3) = 0 ^ t = 0

t = < / 2.

Bảng biến thiên:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học V Ũ T H Ị X O A N

Vậy T nhận đường thẳng A c ó phương trình: y = — X

Vậy T nằm về phía trên của A

Ví dụ 2: Khảo sát cung tham số hoá sau r:

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Tại t = 1 =+ M (1; 1).

Bảng biến thiên:

+Tai 0 Xét ^ ậ r =

x{t) khỉ t —> 0“ (0+)

Khóa h ậ n tốt nghiệp Đại học V Ũ T H Ị X O A N

+Tại 1 Bằng phép đổi biến u = t- l Ta có:

x(t) = *2 + 1 = (n + l )2 + 1 = 1 + — (> 21 2(u + 1 ) 2 ' l - ( - u )

= 1 + ^ -( 1 - u + 0(u) = 1 + ỉ « 2 — i « 3 + 0(us).

_ 2t — 1 _ 2(« + 1 ) - 1 _ 2 « + l _ «2

y t 2 (u -j-1)2 u2 + 2u + 1 u2 + 2u + 1

= 1 — u2(l — 2u + 9(u) = 1 — u2 + 2w3 + 6(uz).

Kí hiệu: = /W ( 1), = {1, 2, 3} th ì khi đó trong ^ ơ , c ó :

Ta có V3I độc lập và p=2, q=3

Vậy M (l) là điểm lùi loại một và tiếp tuyến được đinh phương bỏi

Ví dụ 3: Tính diện tích miền trong của vòng khuyên lá Descartes C:

( t ) t2 ‘

<y ~ l + t z

Giải:

Vì lý do đối xứng nên ta có:

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

A(D ) = 2.ỉ J (x.dy - y.dx).

ếi

Trong đó Cị là bộ phận của c với t chạy từ 0 đến 1 Ta có:

A(D) = /

0 1

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Kí hiệu: M [9; p\, (p có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0).

Vậy VM & K2\ {0} nhận hệ toạ độ cực đúng những (ớ; p) và những cặp

(9 + 7r; —p) trong đó 9(= 2 ĩt ) là những góc cực của M và p = OM.

Ngược lại, V(ớ; p) e R2 tồn tại duy nhất M e I 2

nhận (ớ; p) làm hệ toạ độ cực.

Với 9 G M, ta kí hiệu u{9\ = cos 9r ỉ + s in ớ ^ là

vecto chuẩn hoá có góc cực 9 và

Như vậy (ư(ớỊ; là một cơ sở trực chuẩn của M2

• Đ ổi trụ c cực

Giả sử: a E M; R' là hệ quy chiếu trực chuẩn

suy ra từ R bằng phép quay tâm o và góc quay

a

Với mọi M e R 2, nếu (ớ; ô) là một hệ toạ độ cực của M trong R thì hệ toạ độ cực của M trong R ’ là (9 — a; p).

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

1.2.2 B iểu diễn đường cong tron g to ạ độ cực

Giả sử

/ : I -> R 2

ị i-> M (t) = f ( t )

là một cung tham số hoá thuộc lớp c 1 T là quỹ đạo của f Giả thiết

Ví G I, M (t) Ỷ 0- Kí hiệu (x(t);y(t)) là toạ độ của M(t) trong R.

Cho ánh xạ g : I —»• u với Ví € I, g(t) = — x {t) + iy{t) £ (7 1

/.ớ-1 là một biến đổi tham số thuộc lớp c 1 của T Đường cong c khi đó

biểu diễn bởi p = p(0), trong đó:p : J —»■ M G c 1 Khi đó T nhận phương trình cực p = p(ớ), (p có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0)

Ví dụ 1: Giả sử D có phương trình: ax + by + c = 0 trong đó: (a; b) Ỷ

(0; 0), c Ỷ 0- D là đường thẳng không đi qua o

Thay: < X = p cos 9

y = p sin 9

vào phương trình của D ta có:

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Ví dụ 2: Cho (C) là một đường tròn đi qua o Phương trình Descartes

có dạng: X 2 + y 2 + 2ax + 2by = 0.

Thay: < X = p cos 9

y = p sin 9

vào phương trình của (C) ta có:

p2 + 2 p(a cos 9 + 6 sin 9) = 0.

p = 0

p — —2 (ữ cos 9 + b sin 9) Xét p = —2(acosớ + 6 sin ớ)

{A = —2ữ => p = X cos 9 + p sin 9.

p = —26

=>• (c ) nhận phương trình cực p = A cos 9 + p sin 9.

Ngược lại, phương trình cực p = Acos9 + /¿sin9 biểu diễn đường tròn

(C) có phương trình Descarter X 2 + y 2 — Xx — p,y = 0, đường tròn (C)

đi qua o

Chú ý: Ta có đường conic c với tiêu điểm o , đường chuẩn liên kết D,

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

tâm sai e, có phương trình cực là:

o và đường chuẩn liên kết D với phương trình X = 1

Phương trình Descartes của đường parabolic này là: y 2 = 1 — 2x.

1.2.3 K hảo sát đường cong cho bởi phương trìn h cực tron g

lân cận m ột điểm

a) K hảo sát đường cong cho bởi phương trìn h cực tạ i o

Cho T là một đường cong có phương trình:

p : I —» M

e ^ p(9)

Khóa h ậ n tốt nghiệp Đại học V Ũ T H Ị X O A N

Giả sử tồn tại ữ G l : p(a) = 0 và /ơ liên tục tại a.

Vectơ ũ(ề) = co&9.~ỉ + s in ổ ^ là vectơ chỉ

phương OM , có giới hạn là w(a) khi 9 —> a Suy

ra T nhận đường thẳng đi qua 0 và có góc cực a 'LỵS'®

làm tiếp tuyến tại o

b) K hảo sát đường cong cho bởi phương trìn h cực tạ i m ột điểm khác o

T nhận một tiếp tuyến tại M ( 9 ), tiếp tuyến được định phương bỏi

Kí hiệu T{9) là tiếp tuyến tại M(9) với T và 'â(ớ) = Z ((O M ), T(9)) +

Ta kí hiệu p, T, 'ởì a thay cho p(ớ), T(9)ì $( 9 ), a(0)

=>ta n ' ở = —,ce = 9 + iở + & 7T, k €. z

pf

c) N h án h vô tậ n , tín h đốỉ xứng, điểm b ộỉ, phía lổm đ ối với gốc

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

to ạ độ và điểm uốn

• Nhánh vô tận

+ Nếu p(9) —> a ^ 0 khi 6 —»• ±oo thì đường

tròn tâm o , bán kính |aỊ là đường tròn tiệm cận với T

+ Nếu p{9) —> ± 00, 9 —> ±oo thì T có một nhánh xoắn

ốc

± Giả sử tồn tại 90 sao cho p{9) —> ±oo khi 9 —»• ớ0-

Lấy hệ quy chiếu mới R ’ là hệ quy chiếu suy ra từ R bằng phép quay

tâm o và góc quay 90 Kí hiệu X ’X, Y ’Y là các trục của R ' Các toạ độ

Descarter X, Y của một điểm chạy của r là:

ị

K

x ( 9 ) = p(9)cos(9 — 9ữ) Y{9) = p{9)sin{9 — 90)

Theo giả thiết X (9) —> ±oo ,khi 9 —»■ 9 q

Suy ra Y (9) được biểu thị dưới một dạng không xác

định

Nếu Y (9) —> L G M khi 9 —»• 90 thì T nhận đường

thẳng có phương trình Descarter là Y =L trong R làm tiệm cận

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Nếu Y (9) —»■ ±oo khi 9 —> 90 thì T nhận một nhánh parabolic có phươngtiệm cận (X’X), vì = tan(ớ — 9 q ) —>■ 0 khi 9 —>■ 9 q

Ta thu được đường cong T từ một đường cong T (ứng với 9 biến thiên

trong một khoảng có độ dài T) bằng những phép quay liên tiếp tâm o

Nếu — ị (Q) thì cách vẽ r sẽ khó khăn hơn.

Ta nói T phản chu kì của 9 khi với mọi 9, p(9 + T) = —p{9) khi đó, với mọi 9, p(9 + 2T) = - p ( 9 + T) = p{9).

=>■ p tuần hoàn với chu kì 2T Khi đó ta chuyển M [9, p{9)] sang

M [9 + T, — p{9)] bằng phép quay tâm o , góc quay T + 7T

Với Vớ, p(—9) = piß)suy ra từ M [ớ; p{9)\

sang M [—ớ; p{—9)] bởi phép đối xứng qua

x ’x Suy ra cho 9 biến thiên trong [0; Too]

rồi thực hiện phép đối xứng qua x ’x

Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X O A N

Giả sử: ] a G M : Vỡ, p(a — 9) = p{9) Suy

ra chuyển M [ớ; p{ỡ)] sang M [a — 9] p(a — ớ)]

bởi phép đối xứng qua đường thẳng đi

thực hiện phép đối xứng qua đường thẳng đó M ị - “

Vớ, p{—9) = — p(9) Suy ra khi đó ta chuyển từ

M(ớ; p(9)) sang M (—9\ p{—9Ỵ) bởi phép đối xứng

qua y ’y Suy ra cho 9 biến thiên trong [0; +oo) rồi thực hiện phép đối

xứng qua y ’y

Giả sử 3ữ Ễ R : p{a — 9) = —p(9) Suy ra khi

rồi thực hiện phép đối xứng qua đường thẳng đó

• Điểm bội:

Cho r có phương trình cực p = p{9), 9 € r.

Điểm bội (có thể) của T gồm trong những điểm M{9 ) sao cho:

phép đối xứng qua đường thẳng đi qua o và có

góc cực — h—.Ta cho 9 biến thiên trong —; +oo 1

\ / Ỵ - 9

Giải 2 phương trình này với các ẩn 9 , k, 1

• Phía lõm đối với gốc toạ độ và điểm uốn