Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ

Lời nói đầuBài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặt đại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số.. Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm

Lời nói đầu

Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặt đại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứng dụng thiết thực trong lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính Vì vậy, nó đã và đang trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và tin học

Năm 2008, J R Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề "Rational Algebraic Curvers" Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán tham số hóa Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìm phép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham

số hóa

Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thì ngoài những lợi ích mà phép tham số hóa mang lại như đã nói thì việc nghiên cứu các tính chất hình học của nó có hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng một đa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường cong, tìm số bội của một điểm bất kì và từ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có gì khó khăn? Một trong các câu trả lời đã được S Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói trên, đưa ra trong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007

Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới Công việc của người viết là trình bày lại những nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tương đối phức tạp Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình,

TS Phó Đức Tài Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến quá trình viết và bảo vệ luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Đại số Hình học

-Tô pô đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một môi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học

Học viên

Hà Đăng Toàn

Mục lục

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ 1

0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ 3

0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong 5

0.4 Giải kì dị đường cong đại số 5

0.5 Không gian ước và giống Định lí Riemann 7

1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 8 1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa 8

1.2 Tham số hóa bằng các đường thẳng 9

1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp 10

2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ 13 2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ 13

2.2 Phép tham số hóa chuẩn 14

2.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa 15

Chương 0

Kiến thức chuẩn bị

Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặc số 0 Còn khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụ thể hơn là, đa thức định nghĩa của nó không chứa thừa số bội

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ

0.1.1 Không gian afin và không gian xạ ảnh

0.1.2 Tập đại số Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh

Giả sử F ∈ k[X1, , Xn], một điểm P = (a1, , an) trong Anđược gọi là một không điểm của F nếu F (P ) = F (a1, , an) = 0 Nếu F không là hằng số thì tập tất cả các không điểm của F được gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F )

Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X1, , Xn], ta kí hiệu

V (S) = {P ∈ An|F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức là V (S) = ∩F ∈SV (F )

Một tập X ⊂ An được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào đó

Đặc biệt, trong A2 ta có định nghĩa:

Định nghĩa 0.1 Một đường cong đại số afin phẳng trên k là một tập đại số

C = V (F ) = {(a, b) ∈ A2(k)|F (a, b) = 0}, trong đó F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] là một đa thức khác hằng

Khi đó F được gọi là đa thức định nghĩa của C (và tất nhiên, một đa thức G = c.F , với c 6= 0 nào đó thuộc k, cũng định nghĩa cùng một đường cong)

Định nghĩa 0.2 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng trên k được định nghĩa bởi tập hợp

C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P2(k)|F (a, b, c) = 0}, với một đa thức thuần nhất khác hằng không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z] Ta gọi F là một đa thức định nghĩa của C

Khái niệm bậc, thành phần và tính bất khả quy (như trong định nghĩa 0.1 cho đường cong afin)

có thể sử dụng cho đường cong xạ ảnh một cách tương tự

Nếu đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) thì ta có thể nhận được đường cong xạ ảnh

C∗ tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F∗

(X, Y, Z) Nghĩa là, nếu:

F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + + Fm(X, Y ), thì:

F∗(X, Y, Z) = Fr(X, Y )Zm−r+ Fr+1(X, Y )Zm−r−1+ + Fm(X, Y ), và

C∗= {[a : b : c] ∈ P2(k)|F∗(a, b, c) = 0}

Định nghĩa 0.3 Đường cong xạ ảnh tương ứng với một đường cong afin C trên k được gọi là bao đóng xạ ảnh của C trong P2(k)

0.1.3 Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường cong phẳng

Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng

Định nghĩa 0.4 Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] và

P = (a, b) ∈ C Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàm riêng (theo X, Y ) của

F cho tới bậc r − 1 triệt tiêu tại P nhưng ít nhất một đạo hàm riêng bậc r không triệt tiêu tại P

Ta ký hiệu bội của P trên C là multP(C)

Khi đó, nếu multP(C) = 0 thì P /∈ C, nếu multP(C) = 1 ta nói P là một điểm đơn trên C, còn nếu multP(C) = r > 1 thì ta gọi P là một điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r trên C hay điểm bội r Ta nói rằng một đường cong là không kì dị (hay trơn) nếu nó không có điểm kì dị

Định nghĩa 0.5 Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thông thường nếu r tiếp tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại

Mệnh đề 0.6 ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường cong afin phẳng chỉ có hữu hạn điểm kì dị



Mệnh đề 0.7 ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả sử P là một điểm đơn của đường cong xạ ảnh C xác định bởi đa thức F (X, Y, Z) Khi đó:

X∂F

∂Y(P ) + Y

∂F

∂Y(P ) + Z

∂F

∂Z(P )

là đa thức định nghĩa của tiếp tuyến với C tại P 

Mệnh đề 0.8 ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P2(k) là một kỳ dị của đường cong xạ ảnh C (định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z)) nếu và chỉ nếu ∂F

∂X(P ) =

∂F

∂Y(P ) =

∂F

∂Z(P ) = 0  Mệnh đề 0.9 ([5], chương 2, Định lý 2.15) Giả sử C đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z) bậc m Khi đó P ∈ P2(k) là một điểm có bội ít nhất bằng r trên (r ≤ m) khi

và khi nếu mọi đạo hàm riêng thứ r − 1 của F triệt tiêu tại P 

0.1.4 Vành tọa độ và trường hàm hữu tỉ của một đường cong

Mệnh đề 0.10 ([1], chương 2, Mệnh đề 2.)

1 Tập hợp các điểm cực của một hàm hữu tỉ là một tập con đại số của V

2 Γ(V ) = T

P ∈V

Mệnh đề 0.11 ([1], chương 2, Mệnh đề 2) OP(V ) là một miền nguyên Noether địa phương  Mệnh đề 0.12 ([1], chương 3, Định lí 1.) P là một điểm đơn trên C khi và chỉ khi OP(C) là một vành giá trị rời rạc Trong trường hợp đó, nếu L = aX + bY + C là đường thẳng qua P nhưng không tiếp xúc C tại P thì ảnh l của L là trong OP(C) một tham số đơn trị của OP(C) 

0.1.5 Ánh xạ đa thức và phép biến đổi tọa độ

Định nghĩa 0.13 Giả sử V ⊂ An, W ⊂ Am là các đa tạp Một ánh xạ ϕ : V → W được gọi một là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T1, T2, , Tm ∈ k[X1, X2, , Xn] sao cho

ϕ(a1, a2, , an) = (T1(a1, a2, , an), T2(a1, a2, , an), , Tm(a1, a2, , am)),

với mọi (a1, a2, , an) ∈ V

Mệnh đề 0.14 ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ An, W ⊂ Am là các đa tạp Khi đó, có một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V → W và các đồng cấu ˜ϕ : Γ(W ) → Γ(V ) Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa thức từ An tới Am 

0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ

0.2.1 Tôpô Zariski và khái niệm đa tạp tổng quát và số chiều của đa tạp

0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương song hữu tỉ giữa các

đường cong

Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ An Phép hợp thành với ϕ tạo nên một đồng cấu vành ˜ϕ : F(Y, k) → F(X, k) tức là ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ

Định nghĩa 0.15 Cho X và Y là các đa tạp Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạ ϕ : X → Y sao cho

1 ϕ liên tục;

2 Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U, OY) thì ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ− 1(U ), OX)

Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1 − 1 từ X lên Y sao cho ϕ− 1 là cấu xạ

Mệnh đề 0.16 ([1], chương 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó, có một tương ứng

tự nhiên 1 − 1 giữa các cấu xạ ϕ : X → Y và các đồng cấu ˜ϕ : Γ(Y ) → Γ(X) Nếu X ⊂ An, Y ⊂ Am

thì một cấu xạ chính là một ánh xạ đa thức từ X tới Y

Mệnh đề 0.17 ([1], chương 6, Hệ quả của Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y là các cấu xạ Khi đó, tập {x ∈ X|f (x) = g(x)} là một tập đóng trong X Hơn nữa, nếu f và g đồng nhất trên một tập trù

Định nghĩa 0.18 1 Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi là một ánh xạ hữu

tỉ từ X tới Y Ánh xạ hữu tỉ f được gọi là trội nếu f (U) trù mật trong X, với mọi U là đa tạp con mở của X

2 Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tập mở

U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đương F Khi đó, ta cũng nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ

Mệnh đề 0.19 ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ khi và chỉ khi

Hệ quả 0.20 Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng 

Ta nói rằng một đa tạp là hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với An hoặc Pn với n nào đó Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau

Định nghĩa 0.21 Một đường cong đại số được gọi là đường cong hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với A1 hoặc P1

0.2.3 Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội

Định nghĩa 0.22 Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với dim W1 = dim W2 Ta định nghĩa bậc của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W1) trên ˜ϕ(k(W2)), tức là:

deg(ϕ) = [k(W1) : ˜ϕ(k(W2))]

0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong

0.3.1 Số giao của các đường cong Định lí Bézout

Định lý 0.23 (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m, n tương ứng Giả

sử F và G không có nhân tử chung Khi đó P

P ∈P 2

0.3.2 Chu trình giao Định lí Max Noether

0.3.3 Hệ tuyến tính các đường cong

Bổ đề 0.24 ([1], chương 5, Bổ đề trong mục 5.2)

(1) Giả sử P ∈ P2 Khi đó, tập hợp các đường cong phẳng xạ ảnh bậc d đi qua P là một siêu mặt

của Pd(d+3)2

(2) Nếu T : P2 → P2 là một phép biến đổi tọa độ thì ánh xạ F 7→ FT từ tập các đường cong bậc d

vào chính nó là một phép biến đổi tọa độ của Pd(d+3)2 

Giả sử P1, P2, , Pnlà các điểm trong P2, r1, r2, , rnlà các số nguyên không âm Đặt V (d, r1P1, r2P2, , rnPn)

là tập hợp các đường cong bậc d mà mP i(F ) ≥ ri, (1 ≤ i ≤ n)

Mệnh đề 0.25 ([1], chương 5, Định lí 1)

1 V (d, r1P1, r2P2, , rnPn) là đa tạp con tuyến tính của Pd(d+3)2 với số chiều không nhỏ hơn

d(d+3)

2 −Pr i (r i +1)

2 Nếu d ≥ P ri thì dim V (d, r1P1, r2P2, , rnPn) = d(d+3)2 −Pr i (r i +1)

0.4 Giải kì dị đường cong đại số

0.4.1 Phép nổ một điểm trong không gian afin

0.4.2 Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh

0.4.3 Phép biến đổi bậc hai

Trong P2 ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P′

= [0 : 1 : 0], P′′

= [1 : 0 : 0] là các điểm cơ sở;

L = V (Z), L′ = V (Y ), L′′ = V (X) là các đường thẳng cá biệt Chú ý rằng P là giao điểm của L′ và

L′′, còn L đi qua P′ và P′′

Kí hiệu U = P2\V (XY Z)

Định nghĩa 0.26 Phép biến đổi Q : P2\{P, P′

, P′′} → P2 định nghĩa bởi Q([x : y : z]) = [yz : xz : xy], được gọi là phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremona chuẩn Với mỗi phép biến

đổi tọa độ T ta gọi Q ◦ T là một phép biến đổi bậc hai

Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sở P, P , P có bội tương ứng là r1, r2, r3 trên C Giả sử ˜F là dạng biến đổi bậc hai của F và ˜C là đường cong định nghĩa bởi ˜F Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [1]

(1) Zr1 là lũy thừa cao nhất của Z mà là ước của FQ

(2) deg( ˜F ) = 2n − r1− r2− r3, ˜F = F, ˜˜ F bất khả quy và ˜C = V ( ˜F )

(3) ˜C có bội n − r2− r3, n − r1− r3, n − r1− r2, tương ứng tại P, P′

, P′′

(4) Nếu C có vị trí tốt thì ˜C cũng có vị trí tốt

(5) Nếu C có vị trí tốt và P1, P2, , Pskhông phải các điểm cơ sở trong ˜C ∩L thì mP i( ˜C) ≤ I(Pi, ˜C ∩L)

và Ps

i=1

I(Pi, ˜C ∩ Z) = r1

(6) Nếu C có vị trí hoàn hảo thì ˜C có các tính chất sau:

(a) Có một sự tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất giữa các điểm bội của ˜C trong U với các điểm bội của C trong U

(b) P, P′

, P′′ là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n − r1, n − r1 (c) Trên ˜C ∩ L′ hoặc ˜C ∩ L′′không có điểm nào không phải điểm cơ sở Giả sử trên ˜C ∩ L có các điểm P1, , Ps là các điểm không phải cơ sở thì mP i( ˜C) ≤ I(Pi, ˜C ∩ L) và Ps

i=1

I(Pi, ˜C ∩ L) =

r1

(7) Với một đường cong xạ ảnh C như giả thiết có các điểm kì dị có bội bằng rP = mP(C), kí hiệu

g∗(C) = (n − 1)(n − 2)

2 −XrP(rP − 1)

và ta có thể chứng minh được rằng đây là một số không âm

Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g∗

( ˜C) = g∗

(C) − Ps

1=1

r i (r i − 1)

2 , với ri = mPi( ˜C) và P1, , Ps là các điểm khác cơ sở của ˜C ∩ L

Bổ đề 0.27 ([1], chương 7, Bổ đề 1) Cho C là một đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy, P là một điểm trên C Khi đó, có một phép biến đổi tọa độ T sao cho FT có vị trí hoàn hảo và T ([0 : 0 : 1]) = P



Mệnh đề 0.28 ([1], chương 7, Định lí 2) Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi bậc hai, một đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành một đường cong chỉ có các kì dị thường  Định nghĩa 0.29 Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy, P ∈ Sing(C) Nếu P là kì

dị thông thường thì cây lân cận tại P bao gồm nút đơn P Còn nếu P là kì dị không thông thường thì cây lân cận tại P có P là gốc và cây lân cận của các điểm kì dị lân cận của P tại lân cận thứ nhất như các cây con

Đồ thị lân cận của P , ký hiệu là Ngr(C), là tập các cây lân cận của tất cả các điểm kì dị của C

Định nghĩa 0.30 Một đường cong xạ ảnh C được gọi là một liên hợp của đường cong bất khả quy

C khi và chỉ khi multP(QP(C′

)) ≥ multP(QP(C)) − 1 với ∀P ∈ Ngr(C)

Ta nói rằng C′ là một đường cong liên hợp bậc m của C nếu C′ là liên hợp của C và deg(C′

) = m

0.4.4 Mô hình không kì dị của đường cong đại số

Mệnh đề 0.31 ([1], chương 7, Định lí 3) Cho C là một đường cong xạ ảnh Khi đó có một đường cong xạ ảnh không kì dị X và cấu xạ song hữu tỉ f từ X lên C Nếu f′

: X′

→ C cũng là một mô hình như vậy thì tồn tại duy nhất đẳng cấu g : X → X′ sao cho f′

0.5 Không gian ước và giống Định lí Riemann

0.5.1 Giới thiệu về ước và không gian L(D)

Một ước trên X là một tổng hình thức D = PP ∈XnPP , nP ∈ Z và chỉ có hữu hạn nP khác không Như thế, các ước trên X làm thành một nhóm abel tự do trên tập X

Với z ∈ k(C) định nghĩa ước của z, div(z) = PP ∈XordP(z)P Đây là định nghĩa tốt do z chỉ có hữu hạn cực và không điểm Ta kí hiệu (z)0 =P

ord P (x)>0ordP(z)P là ước của các không điểm và (z)∞=P

ord P (x)<0ordP(z)P là ước của các điểm cực Khi đó, div(z) = (z)0− (z)∞ và dễ thấy rằng div(zz′) = div(z) + div(z′) và div(z−1) = − div(z) Hơn nữa, deg(div(z)) = 0

Ta xét một ước D = PP ∈XnPP và tập hợp

L(D) = {f ∈ k(C)| ordP(f ) ≥ −nP, ∀P ∈ X}

Mệnh đề 0.32 ([1], Chương 8, Mệnh đề 3)

1 Nếu D ≤ D′ thì L(D) ⊂ L(D′

) và dimk(L(D′

)/L(D)) ≤ deg(D′− D)

2 L(0) = k, L(D) = 0 nếu deg(D) < 0

3 l(D) < +∞ và nếu deg(D) ≥ 0 thì l(D) ≤ deg(D) + 1

4 Nếu D ≡ D′

thì l(D) = l(D′

0.5.2 Định lí Riemann và giống của đường cong

Định lý 0.33 (Định lí Riemann) Tồn tại một số nguyên g sao cho l(D) ≥ deg(D) + 1 − g với mọi ước D Số nguyên nhỏ nhất như vậy được gọi là giống của đường cong C hoặc X

Mệnh đề 0.34 ([1], chương 8, Mệnh đề 5) Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị thường Khi đó, nếu n = deg(C) và rP = mP(C) thì giống của đường cong cho bởi công thức

g = (n − 1)(n − 2)

P ∈C

rP(rP − 1)

Chương 1

Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ

Trong phần còn lại của luận văn ta luôn giả sử một phép tham số hóa afin hữu tỉ luôn được cho dưới dạng P(t) = (f(t), g(t)) =f n (t)

f d (t),gn (t)

g d (t)

 Trong đó, f, g ∈ k(t), fn, fd, gn, gd∈ k[t] Ngoài ra, với P(t) như vậy ta còn xét các đa thức f (s, t) = fn(t)fd(s) − fn(s)fd(t), g(s, t) = gn(t)gd(s) − gn(s)gd(t), các đa thức này được sử dụng nhiều trong chương 2

1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa

Định nghĩa 1.1 Cho đường cong afin C trong A2(k) định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) Cặp hàm hữu tỉ (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 được gọi là một phép tham số hóa afin hữu tỉ của C nếu

1 Với hầu hết t0∈ k, điểm (f (t0), g(t0)) thuộc C

2 Với hầu hết các điểm (x0, y0) ∈ C, có một t0∈ k sao cho (x0, y0) = (f (t0), g(t0))

Ta nói (f(t), g(t)) là tối giản nếu các hàm f(t) và g(t) đều có dạng tối giản, nghĩa là, tử số và mẫu

số của chúng chỉ có các ước chung tầm thường

Định nghĩa 1.2 Cho đường cong xạ ảnh C trong P2(k) định nghĩa bởi đa thức thuần nhất

F (X, Y, Z) Bộ các đa thức f (t), g(t), h(t) ∈ k[t], gcd(f, g, h) = 1 được gọi là phép tham số hóa

xạ ảnh hữu tỉ của C nếu

1 Với hầu hết t0∈ k, điểm (f (t0), g(t0), h(t0)) thuộc C

2 Với hầu hết các điểm [x0 : y0 : z0] ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho [x0: y0: z0] = [f (t0) : g(t0) : h(t0)] Mệnh đề 1.3 ([5], chương 4, Định lý 4.4) Mọi đường cong tham số hóa hữu tỉ được, nghĩa là có phép tham số hóa hữu tỉ, đều bất khả quy

Định lý 1.4 (Định lí L¨uroth) Giả sử L là một trường (không nhất thiết đóng đại số), t là một phần tử siêu việt trên L Nếu K là một trường con thực sự của L(t) chứa L thì K là L−đẳng cấu với