tóm tắt kiến thức oxy (ôn thi thpt quốc gia môn toán)

Định nghĩa Đoạn thẳng nối một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến Trong tam giác vuông, đường trung truyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa cạnh h

Định nghĩa Đoạn thẳng nối một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến

Trong tam giác vuông, đường trung truyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa cạnh huyền

1 2

phân giác Định nghĩa

Đường thẳng đi qua một đỉnh và chia góc tại đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau đợc gọi là tia phân giác Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạch của góc đó

N

I

A

Định nghĩa Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đó được gọi là đường trung trực

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Trong tam giác cân tại A, đường trung trực của cạnh BC đối diện đỉnh A vừa là đường cao, đường phân giác

và đường trung tuyến

Định nghĩa Đoạn thẳng vuông cách hạ từ một điểm xuống cạnh đối diện được gọi là đường cao

Ba đường cao cùng đi qua một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác

Hình chiếu vuông góc của điểm M (a,b) trên:

- trục Ox là điểm M1(a,0)

- trục Oy là điểm M2(0,b) Khoảng cách từ M(a,b) đến:

- trục Ox=b

- trục Oy=a Điểm đối xứng với điểm M(a,b) qua

- trục Ox là M1(a,-b)

- trục Oy là M2(-a,b)

- gốc toạ độ là M3(-a,-b)

Liên hệ toạ độ vectơ và toạ độ các điểm mút

A B I

x I

A B C G

x G

Ba điểm A x y ( ;1 1) , ( ; B x y2 2) , ( ; C x y3 3) thẳng hàng nếu (điều kiện cần và đủ)

1. 2 1. 2 1. 2

v v  x x  y y

Góc giữa hai vectơ

Góc giữa 2 vectơ v x y1( ;1 1) , ( ; v x y2 2 2) được xác định bởi

Diện tích tam giác có 3 đỉnh A x y ( ;1 1) , ( ; B x y2 2) , ( ; C x y3 3)được cho bởi công thức

1 1

1 2

PT tổng quát:

VTPT:n  ( ; ) a a b 2 b2  0PT: ax by    c 0

PT tham số VTCP u  ( ; ) a b và M(x0; y0) PT: 0

PT: x y 1

a   b

Lập phương trình

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M x y1( ;1 1) , M x y2( ;2 2) Đường thẳng (d) đi qua M x y1( ;1 1) , M x y2( ;2 2) được xác định bởi:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M x y0( ;0 0) và có vtcp a a a ( ;1 2)

a.Phương trình vectơ của đường thẳng: M  ( ) d    t R : M M0  t a b.Phương trình tham số của đường thẳng:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M x y0( ;0 0) và có vtpt n n n ( ;1 2) a.Phương trình vectơ của đường thẳng: M  ( ) d    t R : M M0  t a b.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

( ) : ( d n x1  x0)  n y2(  y0)  0 c.Phương trình tham số của đường thẳng

t a

b.Cho phương trình (d) có dạng tổng quát: Ax+By+C=0

Để chuyển (d) về dạng tham số, chính tắc ta thực hiện như sau:

Bước 1: gọi a là vtcp, ta có a (  B A ; ) Bước 2: Tìm một điểm M x y ( ;0 0)  ( ) d

Bước 3: Vậy ( ) : ( ;0 0)

( ; )

qua M x y d

1.Cho hai đường thẳng ( ), ( d1 d2) có phương trình tham số

Thay x, y từ phương trình tham số của đường thẳng ( ) d1 vào phương trình tổng quát của đường thẳng ( d2)

A x ( 1 a t1 )  B x ( 2 a t2 )    C 0 ( Aa1 Ba t2)  Ax1 By1  C 0 (1) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì ( ) / /( d1 d2)

Nếu phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì ( ) d1 cắt ( d2) Toạ độ giao điểm nhận được bằng cách thay giá trị của t vào phương trình tham số của đường thẳng ( ) d1

Nếu hệ có vô số nghiệm thì ( ) d1  d2)

3 Cho hai đường thẳng ( ), ( d1 d2) có phương trình tổng quát:

( ) : d1 A x1  B y C1  1 0 ; ( d2) : A x2  B y C2  2  0 Lập hệ phương trình tạo bởi ( ), ( d1 d2)theo hai ẩn x và y ta được

0 0

1 1 1 2 2 1

2 2

4.Cho hai đường thẳng ( ), ( d1 d2)có phương trình hệ số góc

đường thẳng

Cho hai đường thẳng căt nhau:

( ) : d1 A x1  B y C1  1 0 ; ( d2) : A x2  B y C2  2  0Mọi đường thẳng qua giao điểm của ( ), ( d1 d2)có phương trình dạng:

 ( A x1  B y C1  1)   ( A x2  B y C2  2)  0 , ,    R , 2 2  0 (1) Không mất tính tổng quát, ta giả sử   0 Khi đó phương trình (1) được viết dưới dạng:

khi đó có một vtcp là a (   B1 mB A2; 1 mA2)

Đường thẳng của chum song song với một đường thẳng ( )  cho trước

Bước 1: xác định một vtcp b (  B A , ) của ( )  Bước 2: đường thẳng của chùm song song với đường thẳng ( ) 

Đường thẳng của chùm tạo với đường thằng ( )  cho trước một góc 

Bước 1: xác định một vtcp b (  B A , ) của ( )  Bước 2: đường thẳng của chùm tạo với đường thẳng ( )  một góc 

Nhận xét rằng ( ) d1  ( d2)  a b1 1 a b2 2  0 Cách 2: Gọi k1, k2 theo thứ tự là hsg của ( ), ( d1 d2)

Cho 2 đường thẳng ( ), ( d1 d2) cắt nhau Xác định hệ số góc có hướng từ ( ) d1 đến ( d2)

Gọi 12 là góc có hướng từ ( ) d1 đến ( d2) được xác định bởi công thức:

1.Nếu biết vtpt của ( ) d1 , ( d2) theo thứ tự n A B1( 1, 1), n A B2( 2, 2) thì:

Cho điểm M x ( M; yM) và đường thẳng (d) Hãy xác định khoảng cách từ M tới (d)

Gọi H là hình chiếu của M lên (d), khi đó khoảng cách từ M tới (d) bằng MH Chúng ta xét các trường hợp sau:

Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng: Ax+By+C=0 khi đó:

Nhận xét: sử dụng phương pháp này ngoài việc xác định được MHta còn xác định được toạ độ điểm H

Xác định hai đường phân giác được tạo bởi ( ) : d1 A x1  B y C1  1  0; ( d2) : A x2  B y C2  2  0

Hai đường phân giác được xác định bởi: 1 1 1 2 2 2

Xác định hình chiếu của H lên đường thẳng (d)

Viết phương trình ( ) :

qua M Mx

Xác định điểm M1 đối xứng với M qua (d)

Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên (d) Gọi M1là điểm đối xứng với M qua (d) thì M là trung điểm của MM1

1

1

2 2

TH2: Nếu t tA.B  0 A, B cùng phía với (d) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d) A1 Viết phương trình ( A B1 )

Gọi P0  ( A B1 )  ( ) d  P0

Ta có PA PB   PA1 PB  AB Vậy PA+PB nhỏ nhất khi A P B1, , thẳng hàng   P P0

Đường

cong tiếp

xúc

Tìm đường cong cố đinh tiếp xúc họ đường thẳng phụ thuộc tham

Bước 1: tính đạo hàm phương trình f x y m ( , , )  0 theo m, ta có: '

m

f x y m  Bước 2: khử tham số m từ hệ phương trình:

'

( , , ) 0

( , ) 0 ( , , ) 0

R  a  b  c Phương trình chính tắc của đường tròn Tâm I(a,b) và bán kính R   2 2 2

Phương trình của chùm đường tròn đi qua 2 điểm E, F

Gọi E x ( E, yE), ( F xF, yF) là hai điểm thuộc đường thẳng (d):Ax+By+C=0 Phương trình chùm đường tròn là:

( x  xE)2 ( y  yE)2 m Ax (  By C  )  0 ; m  0 (hình 2)

Khi A  0, B  0, E  Fchùm đường tròn được gọi là chùm đường tròn chung đỉnh với đỉnh chung ( E, E)

E x y có phương trình dạng:

( x  xE)2 ( y  yE)2 m y (  yE)  0 ; m  0 (hình 3) Khi A  0, B  0, E  F chùm đường tròn được gọi là chùm đường tròn chung đỉnh với đỉnh chung ( E, E)

E x y có phương trình dạng:

( x  xE)2 ( y  yE)2 m x (  xE)  0 ; m  0 (hình 4)

(Hình 1) (Hình 2)

(Hình 3) (Hình 4)

Vị trí tương

đối đường tròn Điểm với

Cho điểm M x y ( ;0 0) và đường tròn (C) có phương trình

tròn Vị trí tương đối đường tròn Điểm với

Ta biết rằng phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là:

Nhận xét rằng:

-Nếu PM/( )I   0 M nằm trong đường tròn

- Nếu PM/( )I   0 M nằm trên đường tròn

- Nếu PM/( )I   0 M nằm ngoài đường tròn

R  a  b  c

và đường thẳng (d): 2 2

Ax  By C   A  B  Phương pháp 1: gọi h d I d  , ( )  Aa 2Bb C2

Phương pháp 2: xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d) là:

-Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( ) d  ( ) C   A B , với A, B là nghiệm phương trình (*)

Đường tròn và đường tròn

Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C1), ( C2) có phương trình

CHUYÊN

Đường

tròn

Vị trí tương

đối Đường tròn và đường tròn

-Nếu I I1 2  R1 R2  ( C1), ( C2) tiếp xúc trong nhau -Nếu R1 R2  I I1 2  R1 R2  ( C1), ( C2)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Phương pháp này được sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Phương pháp 2: xét hệ phương trình tạo bởi ( C1), ( C2)

-Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ( C1)cắt ( C2) tại hai điểm phân biết A, B có toạ độ là nghiệm của phương trình (1)

Tiếp tuyến Tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình:

x2 y2 2 ax  2 by c   0 ( a2   b2 c 0) (hoặc 2 2 2

( x a  )   ( y b )  R )

có tâm I a b ( , ) và bán kính 2 2

R  a  b  c

Để xác định phương trình tiếp tuyến của (C) ta xét hai khả năng:

Khả năng 1: biết tiếp điểm

Nếu biết tiếp điểm M x y ( ,0 0) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ được phương trình tiếp tuyến:

x x 0 y y 0 a x (  x0)  b y (  y0)   c 0 hoặc 2

( x a x  )(   a ) ( y b y  )(   b ) R

Khả năng 2: không biết tiếp điểm Ta lựa chọn một trong hai cách sau

Cách 1: đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Giả sử tiếp điểm là M x y ( ;0 0) khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

x x 0 y y 0 a x (  x0)  b y (  y0)   c 0 hoặc 2

( x a x  )(   a ) ( y b y  )(   b ) R (1) Điểm 2 2

Cách 2: ta xét hai trường hợp:

a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng: x   a R Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đề bài b.Xét tiếp tuyến không vuông góc với Ox, có dạng: y  kx m  Muốn tìm được tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) -Phương trình thứ hai được suyu ra từ điều kiện cho thêm của đầu bài Ví dụ như:

(d) đi qua A x y ( A, A)  yA kxA m (d) có phương cho trước hệ số góc k (d) hợp với ( )  (có hsg k1) một góc 1

1

tan

1

k k kk



Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( C1), ( C2) có phương trình

Để tìm tiếp tuyến chung (nếu có) của ( C1), ( C2)ta xét hai trường hợp:

a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x   a1 R1

Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài b.Xét tiếp tuyến không vuông góc vơi Ox có dạng y  kx m 

Để tìm được tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và ( C1) -Phương trình thứ hai được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và ( C2)

Chú ý:

a.Để kiểm tra lại kết quả, ta nhớ rắng:

-Nếu ( C1), ( C2)ngoài nhau: có 4 tiếp tuyến chung

-Nếu ( C1), ( C2)tiếp xúc ngoài: có 3 tiếp tuyến chung -Nếu ( C1), ( C2)cắt nhau: có 2 tiếp tuyến chung -Nếu ( C1), ( C2)tiếp xúc trong: có 1 tiếp tuyến chung -Nếu ( C1), ( C2)nằm trong nhau: không có tiếp tuyến chung b.Trong trường hợp ( C1), ( C2)ngoài nhau ta có thể sử dụng tính chất sau để xác định phương trình tiếp tuyến chung:

-Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đi qua điểm I chia ngoài đoạn nối tâm I I1 2 theo tỷ số 1



Vậy bài toán trong trường hợp này được thực hiện theo hai bước:

Bước 1: tìm I, J theo thứ tự chia đoạn I I1 2 theo tỉ số 1

2

R R



Bước 2: lập phương trình tiếp tuyến qua I, J tiếp xúc với ( C1) (hoặc ( C2) )

Họ tiếp tuyến với đường tròn

Cho đường tròn 2 2 2

( ) : ( C x a  )   ( y b )  R Tiếp tuyến với (C) tại M x y ( ;0 0)  ( ) C có dạng:

Ta gọi các tiếp tuyến ( d)với tham số  là họ tiếp tuyến của (C) Toạ độ tiếp điểm của (C) với ( d)là: cos

b.(E) cắt các trục toạ độ tại 4 điểm

-( ) E  Ox   A A1, 2 có toạ độ A1(  a , 0), A a2( , 0), A A1 2  2a được gọi là trục lớn

-( ) E  Oy   B B1, 2có toạ độ B1(0,  b ), B2(0, ), b B B1 2  2 b được gọi là trục nhỏ -Bốn điểm A A1, , , 2 B B1 2 gọi là bốn đỉnh của elip (E)

c.Hình chữ nhật cơ sở có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x   a và các đường thẳng y   b Vậy elip (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, các kích thước là 2a, 2b

d.Từ M x y ( , )  ( ) E

2 2 2 2

1 1

a.Nếu a>b (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm 2 2 2

1( , 0), 2( , 0),

F  c F c c  a  b (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng 2b

Tâm sai: e c (0 e 1)

a

b.Nếu a<b (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm 2 2 2

1(0, ), 2(0, ),

F  c F c c  b  a (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng 2a

Tâm sai: e c (0 e 1)

b

Dạng 2: Cho elip (E) có phương trình A x2 2 B y2 2  C2

Để chuyển (E) về dạng chính tắc ta chia cả hai vế cho 2

Cho elip (E) có phương trình: 2 2

0

Ax  By  Cx  Dy   E (1) Biến đổi phương trình (1) về dạng:

1( , ), 2( , ),

F   c   F c    c  a  b (E) có trục nhỏ // Oy có độ dài 2b

Tâm sai e c (0 e 1)

a

b.Nếu a<b (E) có trục lớn // Oy có độ dài 2b, chứa hai tiêu điểm 2 2 2

1( , ), 2( , ),

F    c  F  c   c  b  a (E) có trục nhỏ // Ox có độ dài 2a

Tâm sai e c (0 e 1)

b

Lập phương

trình chính

tắc

Bước 1: xác định hình dạng của elip (E) -Nếu (E) có trục đối xứng trùng với trục toạ độ, thực hiện bước 2 -Nếu (E) có trục đối xứng cùng phương với trục toạ độ, thực hiện bước 3 -Nếu (E) có trục đối xứng nghiêng với trục toạ độ, thực hiện bước 4 Bước 2: ta cần tìm 2 2

, ( , )

a b a b Vậy cần một hệ hai phương trình với ẩn 2 2

, ( , )

a b a b

Bước 3: ta cần tìm a b , , ,   Vậy cần một hệ phương trình với các ẩn a b , , ,  

Bước 4: thực hiện như sau:

-Lấy điểm M x y ( , )  ( ) E có tiêu điểm F x y1( ,1 1), F x y2( ,2 2) và độ dài trục lớn bằng 2a

-Chuyển MF1 MF2  2 a (1) thành biểu thức giải tích nhờ: 2 2 2

MF   x x  y  y (2)

MF22  ( x  x2)2 ( y  y2)2 (3) -Suy ra:

-Lấy (1)+(4) ta được MF1, rồi thay vào (2) ta sẽ được phương trình (E)

Chú ý: nếu không có gì đặc biệt ta luôn giả sử (E) có dạng:

Elip Tiếp tuyến Của một elip

Cho elip (E) có phương trình:

Giả sử tiếp điểm M x y ( ,0 0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 0 0

Cách 2: ta xét các trường hợp a.tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x   a b.tiếp tuyến vuông góc với Oy, có dạng y   b c.xét tiếp tuyến không vuông góc, có dạng y  kx m  Muốn được phương trình tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và (E)

-Phương trình thứ hai được suyu ra từ điều kiện cho thêm của đầu bài Ví dụ như:

(d) đi qua A x ( A, yA)  yA kxA m (d) có phương cho trước hệ số góc k (d) hợp với ( )  (có hsg k1) một góc 1

1

tan

1

k k kk



Của hai elip

Cho hai elip ( E1), ( E2) có phương trình

b.Xét tiếp tuyến không vuông góc có dạng y  kx m  , ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m -Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và ( E1)

-Phương trình thứ hai được suy ra từ điều kiện tiếp của của (d) và ( E2)

CHUYÊN

Elip Tiếp tuyến Họ tiếp tuyến với elip

Cho elip (E):

b.(H) cắt các trục toạ độ tại 4 điểm

-( H )  Ox   A A1, 2 có toạ độ A1(  a , 0), A a2( , 0), A A1 2  2a được gọi là trục thực -(H) không cắt Oy Đặc biệt B1(0,  b ), B2(0, ), b B B1 2  2 b được gọi là trục ảo -Vậy trục thực của Hypebol là trục đối xứng cắt Hypebol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hypebol c.Từ

2 2

Hypebol Cơ bản Phương trình

-Tập con của (H) chứa những điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi là nhánh bên phải của Hypebol -Hai nhánh này đối nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng