Tổng hợp kiến thức về số phức và các ví dụ ôn thi THPT quốc gia môn toán

Phép chia cho số phức khác 0... BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I.. Căn bậc hai của số phức.. Có đúng một căn bậc hai là 0.. Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ ph

SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC

1 Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

 z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực (a)

 z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.

 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau

1) z = 2 + 3i , z = -i

2) z = -3 + 2i , z = -i2 3

2 Hai số phức z = a + bi a b   , z’ = a’ + b’i (,  a b   ) gọi là bằng nhau nếu ', '  '

'

a a

b b









 Khi đó ta viết

z = z’

Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i

II Biểu diễn hình học số phức

Số phức z = a + bi a b   được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng , 

tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y

 Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực

 Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo

b M

Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức

A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) z ( ; ) u a b

E(-2i), F(4)

0 a x

III Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức z = a + bi a b   , z’ = a’ + b’i (,  a b   ) Ta có:', ' 

1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i

2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i

 Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán)

 Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi

3) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

( ; )

OM  u a b

biểu diễn số phức z = a + bi, OM  'u a b'( ; )

biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì

 u u  ' biểu diễn số phức z + z’

 u u  ' biểu diễn số phức z - z’

Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i).

IV Phép nhân số phức

Tích của hai số phức z = a + bi a b   , z’ = a’ + b’i (,  a b   ) là số phức', ' 

zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i

 Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán

và phân phối)

Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i),

V Số phức liên hợp và môđun của số phức:

1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi a b   là z a bi,    Như vậy:

Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 - 2i , i, -i

 Hai số phức liên hợp  các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox

 'z z z z '

2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi a b   là số thực không âm ,  a2b2 và được kí

hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối) Như vậy:

2 2



 z     và |z| = 0 0 z  z0

 z z ' z z' , z z ' z  z'z z, ' 

Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 - 2i , i, -i

VI Phép chia cho số phức khác 0.

1

z



z của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’

với số nghịch đảo của z là z' z z' 1

z



 Như vậy: Nếu z 0 thì 2

' '

z

 

z ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z (nhân lượng liên hợp).

'

 

 

Ví dụ: Tính

i



Bài tập:

1) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:

a) (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i).

b) (1 + i)2 – (1 - i)2

c) (2 + i)3 – (3 - i)3

d) (i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (CĐ – 2009 )

1



f) 1 7 17

2i i i



g)

i



h)

33

10

(1 ) (2 3 )(2 3 ) 1

i





i) 1 1 i2(1 )i 2(1 )i 3 (1 ) i 2010

j)

2 2010

2 3 2010

2) Cho số phức z = x + iy x y   Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:, 

a) z2 – 2z + 4i

b)

1

z i

iz





3) Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun,

số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

a) z1z2z3

b) z z1 2z z2 3z z3 1

c) z z z 1 2 3

1 2 3

2 3 1

z

f)

2 2

1 2

2 2

2 3





4) Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

z



2

i

c) z2z 2 4i

d) 2

0

z   z

e) z2 z 0

f) 2 2

0

5) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z 1 1

z i





 và z 3i 1

z i





6) Tìm số phức z thỏa mãn:

4

1

z i

z i







7) Tìm số phức z thỏa mãn: z (2i)  10 và z z 25 (ĐHKB – 2009)

8) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) z z 3 4

b) z z  1 i 2

c) z (3 4 ) i 2 (ĐHKD – 2009)

d) 2 z i z(  )là số thực tùy ý, 2 z i z(  )là số ảo tùy ý

e) 2 z i  z z2i

f) z2 ( )z 2 4

BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

I Căn bậc hai của số phức.

 Định nghĩa: Cho số phức  Mỗi số phức z thỏa mãn z2 =  được gọi là một căn bậc hai của  1) Trường hợp  là số thực:

a)  = a = 0 Có đúng một căn bậc hai là 0

b)  = a khác 0

 a > 0:  có hai căn bậc hai là  a

 a < 0:  có hai căn bậc hai là  a i

2) Trường hợp  = a + bi a b   , b khác 0 z = x + yi ,  x y   là căn bậc hai của  khi và chỉ khi, 

2 2

2

xy b





 Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức 

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1) -1, -i2, - 5 + 12i, i

2)  1 4 3i , 4 6 5i , 1 2 6i 

II Phương trình bậc hai.

Mọi phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (1) (A, B, C là số phức cho trước, A khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau) Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực cụ thể:

Xét biệt thức  B2 4AC

 Nếu  0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 , 2

 là một căn bậc hai của 

 Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

2

B

A

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) z2 – z + 1 = 0

2) z2 + (-2 + i)z – 2i = 0

3) z2 = z + 1

4) z2 + 2z + 5 = 0

5) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

6) (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0

7) 8z2 – 4z + 1 = 0, 2z2 – iz + 1 = 0 ( TNPT – 2009 )

8) 4z 3 7i z 2i

z i

 

 

9) z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm) Tính giá trị biểu thức Az12 z22(ĐHKA – 2009) 10) z2 8(1 ) i z63 16 i0

Bài tập:

1 Giải các phương trình sau:

1) 2

1 0

z   z

(z i z )( 1)(z i) 0

3) (2 + 3i)z = z – 1

4) (1 )i z2  1 7i

5) z2z24z2z12 0

6) z 3 i2 6z 3 i13 0

7)

2

8) z212z32 0

9) z  2z 3 4i

10) z   z 3 4i

11) z3  2 11 ,i z x yi x y  ( ,  )

12)iz2(1 2 ) i z 1 0

13) z46(1 )i z2 5 6i0

14) (1 )i z2 2 11i0

2 Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

3 Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm

4 Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm

5 Giải phương trình z3 2( 1)i z23iz  1 i 0

6 Giải phương trình 2z3 9z214z 5 0

7 z4 4z216z16 0 (có nghiệm z2 – 2z – 4 = 0)

8 z42z3 z22z  1 0

9

2

2

z

z  z     z

10 z23z622z z 23z6 3z2 0

11 Giải hệ 12 2 2

1 2

4

5 2







, 1 22 2

1 2

5 5

5 2

 





