Tổng hợp kiến thức ôn thi THPT quốc gia môn toán 2015

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận đứng và ngang

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - MÔN TOÁN

NĂM 2014-2015 ****************************

A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo)

Câu I (2 điểm):

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Câu II (1 điểm):

Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 điểm):

Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số

Câu VI (1 điểm):

Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số)

Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, đường thẳng, elip

Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Tìm điểm thoả điều kiện cho trước

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu IX (1 điểm):Số phức - Tổ hợp, xác suất

B.CÁCH LÀM BÀI THI:

Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nàotrước thì làm trước Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏiquen thuộc và dễ thực hiện ưu tiên giải trước, các câu hỏi khó nên giải quyết sau Có thể tađánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nêndứt khoát chuyển qua câu khác, sau đó còn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thikhông khó thì nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai sót do cẩu thả; còn với đềthi có câu khó thì đừng nên nản lòng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thờigian trong buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khócòn lại (nếu gặp phải) Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo không biết cáchnào đúng sai thì không nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm

1

1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

,2

B A B A B

A x y y z z x

,3

,3

C B A C B A C B

x G

16 Véctơ đơn vị:e1(1,0,0);e2 (0,1,0); e3(0,0,1)17

Oz z K Oy y

N Ox x

M( , 0 , 0 )  ; ( 0 , , 0 )  ; ( 0 , 0 , ) 18

Oxz z

x K Oyz z

y N Oxy y

 d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

d < r : () cắt (S) theo đường tròn có phương trình      

II MẶT PHẲNG

1 Vect ơ pháp tuyến của mp  : n0 là véctơ pháp tuyến của mp()  Giá của n

mp()

2.P.trình tổng quát của mp(  ): Ax + By + Cz + D = 0(1) Mp(1) cĩ 1VTPT n = (A; B; C)

3.Một số trường hợp đặcbiệt của ph ươ ng trình mặt phẳng

*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0

*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): axbycz  1 với a.b.c≠0

*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

4 Vị trí t ươ ng đ ối của hai mp (  ): A 1 x +B 1 y +C 1 z + D 1 = 0 và (  ) : A 2 x +B 2 y+C 2 z + D 2 =

0

4

6.Góc gi ữa hai mặt phẳng : 1 2

III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a= (a 1 ;a 2 ;a 3 )

t a z

z

t a y

y

t a x

x

(d)

3 o

2 o

1 o

2.Phương trình chính tắc của (d)

3

2 a

z - z a y y a x x

1

3.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

Cho 2 đường thẳng d1 : cĩ véctơ chỉ phương a và đi qua M1, d2 : cĩ véctơ chỉ phương

a b

( với a1.a2.a3 ≠0)

5

5 Khoảng cách giữa từ M đến đường d 1 :  1 1

6 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d 1 ;d 2 )=d(M 1 ;d 2 ).

7 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:   ; 1 2

I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:

Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:

Dạng toán 2: Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và mp():

Phương pháp giải:

+ Tìm tâm H

B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp()

B2: Tâm H là giao điểm của d và mp()

+ Bán kính 2 2 ( , )



I

d R

Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu

Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:

Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu phương trình là:x a  2y b  2z c  2r2

Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 ptr mặt cầu

Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A

Phương pháp giải:

 Tìm bán kính mặt cầu là : r IA  (x A x I)2(y A y I)2(z A z I)2

 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).

Giải:

B¸n kÝnh mÆt cÇu là: r IA  221202  5

Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)2+ (y+3)2 + (z-1)2 = 5

Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), AB= ( 2) 242 ( 4)2 6

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính AB 3

2

r   phương trình của mặt cầu là :

Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()

 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (): 2x+2y+z-1=0

Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0

Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)

Phương pháp giải:

Mc(S) có ptr: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2) Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr mp(P)

Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D  phương trình mặt cầu

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)

a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1; 1)

Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB

a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3) b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7)

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0 Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1; 0)

Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I

thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0

Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1)2+ y2 + (z+2)2 = 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0 Chứng minh

mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

Chuù yù :

- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến -Mặt phẳng qua 1 điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B; C)

phương trình là: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 )= 0.

-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp() ta đi tìm 2 véctơ , a b 

không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp() khi đó n[ ; ]a b  là một

véctơ pháp tuyến của mặt phẳng().

Dạng 1: Viết phương trình mp ( ) điểm đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và 1 véctơ pháp tuyến

B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có 1 véctơ pháp tuyến n   ( ; ; ) A B C

B2: Viết phương trình mp() theo công thức: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)

Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2)    phương trình là:

-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0  -5x+4y-2z =0  5x-4y+2z=0

Dạng 3: Viết phương trình mp() đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0

Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0

(D≠4) Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0  D=7 (nhận) Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0

Dạng 4: Viết phương trình mp ( ) song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).

Phương pháp giải:

B1: Do mp ( ) //mp(): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp ( ) códạng:Ax+By+Cz+m=0

(mD)

B2: Giải phương trình d(M; ( ) )= k tìm được m thoả mDphương trình mp()

Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp():5x+y-7z+3=0 Viết phương trình mp() //mp() và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD

cho trước (với AB không cùng phương với CD )

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước (AB không song song với d)

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),

C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0) Lập phương trình mặt phẳng( ) chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.

Phương trình mặt phẳng() chứa trục ox có dạng: By+Cz=0 (1)

Do mặt phẳng() đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3  C= -2  phương trìnhmặt phẳng () là: 3y-2z=0

Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và toạ độ trung điểm I của đoạn AB

B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT

B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT



 phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0  2x-4y+2z-2=0

Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB

B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT

B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT



 phương trình mặt phẳng (P) là: 1)-(y-3)+1(z-0)=0  2x-y+z+1=0

2(x-Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm M 0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTCP u của d

B2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0 và nhận u làm VTPT

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng() cho trước (AB không vuông góc với ( ) )

B3: Viết phương trình mặt phẳng ()đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mp () đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0

-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0  -x+13y+5z-5=0  x-13y-5z+5=0

Dạng 10:

Viết phương trình mặt phẳng( )  //( )  : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S)

B2:Do mp()//mp( )  phương trình mặt phẳng() có dạng Ax+By+Cz+m=0(*)(m≠D)

B3: Mặt phẳng( )  tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,())=R giải phương trình này tìmđược m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng()

Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) :

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là n (3; 2;1) 

Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp( ) : x+3y-4z+3=0 và mp():

2x+2y-4z+1=0 Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (), ()

Bài 9: Cho hai đường thẳng 1: 1 2 3

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và 1 d 2

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):

B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu

Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP

B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP AB

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)

Giải:

Ta cóAB (3; 2; 1):

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là AB (3; 2; 1)Phương trình tham số là

B1:Tìm véctơ chỉ phương a  của 

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP a

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với :

3 4

Dạng 4: Đường thẳng d qua A và vuông góc mp()

Phương pháp giải:

B1:Tìm véctơ pháp tuyến n  của mp()

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP n 

Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P): x y z 5 0   

B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng

B2: Tính u[ ;n n p Q]

 

B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y0; z0  A(0; y0; z0) là một điểm thuộc giao tuyến

B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u 

.Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ : 2 5 4

B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua

điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2

= 0

Giải

Ta có nP = (2; 3; -2); nQ=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q) Do d //(P) và

d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là u= [ nP, nQ] = (-3; - 4; -9)

 Phương trình tham số của d là: 

t y

t x

9 5

4 1

3 3

B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình

(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)

B1:Tìm giao điểm A của (P) và .

B2 :Tìm véctơ chỉ phương a  của đường thẳng .VTPT n  của mp(P)

B3: u[ ; ]a n 

B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y 3 z 3

 và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với  và cắt 

và d đi qua A(0 ;-1 ;4) 

phương trình tham số của d là

Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)

Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với :

x t

y t

z t

Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P): 2x y  2z  3 0

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và đ) và đờng thẳng d:

Bài 9: Trong khụng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y 3 z 3    

1 2 3 và mp(P): 2x + y – 2z + 9 =

0 Viết phương trỡnh đường thẳng nằm trong (P) vuụng gúc với d và cắt d

IV/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TèM ĐIỂM:

Daùng 1: Tỡm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

B1: Đưa phương trỡnh đường thẳng d về dạng tham số

B2: Gọi M=d()  Md  toạ độ M theo tham số t.

B3: Mặt khỏc M(), thế toạ độ M vào phương trỡnh mặt phẳng () giải phương

Daùng 2: Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp(P)

Phương phỏp giải:

Phương phỏp giải:

B1: Tỡm VTPT của mp(P)

B2: Viết phương trỡnh đường thẳng d qua M và vuụng gúc mp(P)

B3: Hỡnh chiếu H là giao điểm của d và (P)

Gọi d là đường thẳng qua A và vuơng gĩc với (P) d cĩ VTCP n phương trình là:

 Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P)

 M/ đối xứng với M qua (P)  H là trung điểm của MM/ nên :

/

/

/

2 2 2

H M M

H M M

H M M

 (đã giải trong bài tìm hình chiếu của

M trên mp) Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’

/

/

/

48 2

49 24 2

49 65 2

 Viết phương trình mp() qua M và vuông góc với d: ta có n  a d

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : Ptr d  

H là hình chiếu của A lên d nên H=d  (P)  Hd  H(2+t;-3-t;-t) mặt khác H(P)  ta có

 Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d

 M/ đối xứng với M qua d  H là trung điểm của MM/ nên :

/ / /

2 2 2

H M M

H M M

H M M

  và điểm A1;3;5 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng

của A qua đường thẳng d.

B1: Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số (Nếu phương trình đường thẳng chưa

có dạng tham số), giả sử phương trình có dạng:

B2: Gọi Md M(x0at;y0bt;z0ct)

B3: Thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình theo điều kiện bài cho để tìm ra điểm M.

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 1

t t

B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P) A.a+B.b+C.c+D=0(1).

B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M

Ví dụ (TNTHPT năm 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho

AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P)

Giải Gọi M(a;b;c), ta có M( )P  2a 2b c 1 0  c2b 2a1(1)

Ta có:AM (a1;b1; ),c OA(1; 1;0)

, doAM OA  AM OA  0 a b 2

(2) Mặt khác AM  a12b12c2  a12b129 và d A P  ,( ) 1

DoAM 3 ( ,( ))d A P  a12b12c2 0(3) Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) ta được:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC

a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1)

HD: MOy  M(0 ;y ;0) M cách đều hai điểm A, B AM=BM

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).HD: MOxz  M(x ;0 ;z ) M cách đều 3 điểm A, B, C AM=BM=CM

c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1) Tìm điểm D để tứ giá ABCD là

hình bình hành

HD:Tứ giác ABCD là hình bình hành AD BC 

d) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3) vµ ®; 1; -1) Tìm điểm M sao cho

hai véctơ bằng nhau  các toạ độ tương ứng bằng nhau

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 1: Cho đường thẳng : x 2 y 1 z

1 2 1 và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0 Tìm toạ độ giaođiểm H của A và mặt phẳng (P)

Bài 2: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu của

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

Bài 2) TNTHPT 2010

Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B

2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB

Bài 5) TNTHPT năm 2013

Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;1) và mặt phẳng( )P có phương trình x2y2z 3 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( )P

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với ( ) P

Bài 6) TNTHPT năm 2014

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1; 1;0)A  và mặt phẳng ( )P có phương trình

2x 2y z 1 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( )P

Bài 9) ĐH KD-2014

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) :

x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm của (C)

PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

1/ Hình vuông cạnh a : Đường chéo là a 2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a

3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là a2b2c2 ,

2/ Tam giác đều cạnh a: đường cao là 3

2

a , diện tích là 2 3

4

a

3/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có

đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

4/ Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

5/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCvuông ở A ta có :

a) Định lý Pitago : 2 2 2

BC AB AC b) BA2 BH.BC; CA2 CH.CB

S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao

d(M,) M

H

f/ Diện tích hình tròn : S.R2

8) Xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():

Các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():

+ Xác định hình chiếu a’ của a trên mp ()

+ (a, ( )) a, a’     

9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng () và ():

Các bước xác định góc:

+ Xác định giao tuyến c của () và ()

+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên

hai mặt phẳng () và () đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c

+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa () và ()



11) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a) Định nghĩa 1 : AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

b) Định nghĩa 2 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó

c) Chú ý : Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như sau:

 Nếu hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau:

- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng () chứa b và vuông góc với a tại A

- Trong () dựng đoạn AB b  tại B đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa a và b.

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và songsong với b

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

 M

H

 I M

H A

K



M

H A

K

Bài 1: Khối A năm 2013

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC 30 0, SBC là tam giác đều cạnh a

và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Giải

Gọi H là trung điểm BC do ∆ABC là tam giác đềuSHBC, mà

(SBC) (ABC) theo giao tuyến BC nên SH  (ABC)(1) và SH

a HK

Do H là hình chiếu vuông góc của trên(ABC)SH(ABC)HC

là hình chiếu của SC trên (ABC) (SC ABC ,( )) SCH 60  0

dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC Vẽ HK AD(DAD), trong tam giác vuông SHK

ta kẻ HISK(ISK) (1), ta có AKHK, AKSH AK(SHK) AKHI(2) Từ (1) và (2)  HI(SAK) HI=d(H,(SAK)) Ta cũng có BC//(SAK) d(BC,SA) =d(B,(SAK))=

I

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc

600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 3 (đề thi TNTHPT – 2011 )

Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a.

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích

khối chóp SABCD theo a

Bài 4 (đề thi TNTHPT – 2012)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a Góc

giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

theo a

Bài 5 (đề thi TNTHPT – 2013 )

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông gócvới mặt phẳng đáy Đường SD tạo với mặt phẳng (SAB một góc ) 30 Tính thể tích của0khối chóp S ABCD theo a.

Bài 6 (đề thi TNTHPT – 2014 )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1; 1;0)A  và mặt phẳng ( )P có phương trình 2x 2y z 1 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( )P

Bài 7 (đề thi ĐHK A+A 1 – 2014 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a

2 , hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Bài 8 (đề thi ĐHK B – 2014 )

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(ACC’A’)

Bài 9 (đề thi ĐHK D – 2014 )

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đềucạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC vàkhoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

PHẦN III: GIẢI TÍCH CHUYÊN ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUANDẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (  ;  2) và (0 ; + )

+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; 0)

0,25

6 Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = y(–2) = 0

+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 4

0 0

3.Giới hạn: lim x  y; limx y

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số : y 2x 4

x 1

-=+

1 điểm

Hàm số đạt cực trị tại x = 2  f '(2) 0  m1 0,25Với m = -1 ta được hàm số y = x3 – 3x2 + 2,

2 1

I

Bài tập luyện tập

1 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1

2 Tìm các giá trị của m để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân

biệt khác nghiệm của mẫu

* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m Tìm tất cả các giá trị của m để hàm

số có cực đại và cực tiểu

Đáp án

Cho hàm số y = mx 3 – 3mx 2 + (2m + 1)x + 3 – m Tìm tất cả các giá trị của m

để hàm số có cực đại và cực tiểu. 1 điểm

1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]

B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định

B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)

B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)}

2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)

B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định

B2: Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN

3/ Chú ý:

- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a)

- Nếu f(x) gỉam trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b)

- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ cĩ một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0) chính là GTNN hoặc GTLN.

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) x 4  2x2 1 trên đoạn [0;2].

4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) x 2  ln(1 2x) trên đoạn 2;0

5 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

[0; 1] bằng 2

DẠNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Fx,m  0

Phương pháp giải:

B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm Fx,m 0  f(x)   (m)

B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = ( ) m(cùng phương với trục hồnh vì ( ) m là hằng số) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kếtluận số nghiệm

Ví dụ: Cho đồ thị (C): y = 8x4 – 9x2 + 1 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm củaphương trình: 8x4 – 9x2 + 1 = m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3 + 3x2 1 = m

2 Cho hàm số 1 3 3 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3  6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phânbiệt hoctoancapba.com

DẠNG 7: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán Cho hai đồ thị  C :yf x và  L :yg x Tìm tạo độ giao điểm của hai đường

x y x



 và đường thẳng d: mx – y + 1 = 0 có hai điểm chung khác nhau.

(C) và (d) có 2 điểm chung khác nhau  (1) có 2 nghiệm phân biệt

 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác – 2 0,25

2

1 00

( 2) 0 1 0

m a







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2

2 Cho đồ thị (C): 2 1

2

x y x

DẠNG 8: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các

trường hợp sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ là y0 f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f (x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1

5/ Đi qua điểm A(x A ,y A ).

y x

x k x

) ( '

) (

) (

Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến

CII

: Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong C : yf x  đi qua điểm

A x y cho trước ( kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số)

b1 : Giả sử tiếp điểm làM x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 0; 0

  0 0 0  

y f x x x y d

b2: Điểm A x y A; A   d , ta được: y A f x'  0 x A x0y0  x0.Từ đó lập được

phương trình tiếp tuyến  d

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạinhững điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm

Đáp án Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại những điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm. 1 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là:

x3 – 3x2 + 2 = 0 x 1 x 1 3 x 1 3

0,25

Do điểm theo yêu cầu đề bài có hoành độ âm nên ta chọn x  1 3 0,25

Vậy ta có tiếp tuyến cần tìm là: :y6x 6 6 3 0,25

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biếttiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1

Đáp án

Cho đồ thị (C): y = x 3 – 3x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1. 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0, 4)





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếnqua điểm ( 1, 3)A  .

CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

aa

a



 + aα.β    aα β  aβ α+ a bα α (a.b)α +

α α

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :

a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Một số phương pháp giải Phương trình mũ, Phương trình logarit

o Phương Pháp 1 Đưa về cùng cơ số :

 af (x)= ag(x) (0<a≠1)  f(x) = g(x)

 logaf(x) = loga g(x) (0<a ≠1)  f (x) 0(g(x) 0)

 

 

 

.logax +.logax +  = 0 ; Đặt : t = logx

.logax +.log x a +  = 0 ; Đặt : t = logax  log x a =1

DẠNG 9: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 8x x x1 500



Đáp án Giải phương trình: 5 8x x x1 500

3

31

log 2log 5

Ví dụ 3: Giải phương trình: log3xlog9xlog7x11

 x36  x729 ( thỏa điều kiện *)

Vậy phương trình có nghiệm: x = 729

0,25

Chú ý: Bài toán trên có thể không đặt điều kiện (việc này nên dành cho học sinh khá, giỏi)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log2 2 8 1 2

DẠNG 10: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0

Đáp án Giải phương trình: 3.8 x 4.12x 18x 2.27x 0

Ví dụ 2: Giải phương trình: log 2 log4 7 0