Lời giải HOMC 2013 (toán Hà Nội Mở rộng)UEE|ASP|JMS22 Mar 2014Chúng tôi giới thiệu lời giải các bài toán sử dụng trong kỳ thi HOMC 2013. Đề thi các năm khác cũng có thể tìm thấy trên trang Hexagon, chúng tôi sẽ tiếp tục cập nhật đưa lên lời giải các năm còn lại, theo đề nghị của một số bạn sử dụng website này.Question 1. Write 2013 as a sum of m prime numbers. The smallest value of m is A) 2 B) 3 C)4 D) 1 E) None of the aboveAnswer is D. There is only one way2013=2011+2.Notice that 2013 is odd. The sum of two numbers is odd if and only if one of them is odd while the other is even. Let 2n+1 be the odd numbers and 2m be the even numbers. Then2n+1+2m=2(m+n)+1,where n,m are integers. Since the only even prime is 2, we have 2013=2+2011.Also notice that 2011 can be written as 11 consecutive primes:2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211.Hence, the answer is E. Question 2. Let A be an even number but not divisible by 10. The last two digits of A20 areA) 46 B) 56 C) 66 D) 76 E) None of the Trước hết, ta có khẳng định: Nếu n là số chẵn và n không chia hết cho 5 thì n100 có ba chữ số tận cùng là 376. Từ đó, ta phải tìm hai chữ số tận cùng của A20 khi biết rằng A100 có tận cùng là 76. Trong các số đã cho chỉ có 76 thỏa mãn, nên 76 là hai chữ số tận cùng của A20.Question 3. The largest integer not exceeding (n+1)α−nα, where n is a natural number, α=20132014−−−−√ is A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) None of the above. Bài này nên đặc biệt hóa và dự đoán kết quả từ các trường hợp đặc biệt. Đáp án là A. Question 4. How many natural numbers n are there so that n2+2014 is a perfect square.A) 1B) 2C) 3D) 4E) None of the aboveLời giải. Let b2 be the number, where b is some integer. Then n2+2014=b2. We have (b−n)(b+n)=2014.By prime factorisation, we have 2014=2×1007=2×19×53. Two numbers in each of the pairs (2,1007), (19,106), (38,53) do not have the same parity.Hence, there are no such b. Answer: E) None of the above. Question 5. The number of integer solutions x of the equation below(12x−1)(6x−1)(4x−1)(3x−1)=330isA) 0B) 1C) 2D) 3E) None of the aboveLời giải. Expanding the lefthand side and rearranging gives a polynomial equation. The integer root of the equation is a factor of 329 which is factorised into 7×47. Hence, the possible factors are 1,7,47, and 329.If x=1, then11×5×3×2=330.If x=7 then 83×41×27×20≠330.If x=47, then 12x−1 exceeds 330. Hence, the number of integer roots is 1. Answer B.Question 6. Let ABC be a rightangled triangle with ∠CAB=90∘, ∠CBA=60∘, and CB=1 cm. Points D,E,F are chosen outside the triangle such that triangles ACD, AEB, and CBF are all equilateral. If the area of triangle DEF is x cm2, what is the value of x?Lời giải. Notice that D,B,F are collinear, and AC=3√2. Construct a rectangle GHIF. Hence, ∠GCE=30∘, ∠GEC=60∘. Simple computations give GE=3√4, and GC=34. Since CF=1, then GF=1+34=74. The area of (GEF)=73√32. Notice that the length of GH is equal to that of AC plus the altitude h of triangle ABD. Computing h gives h=3√4. That is, GH=33√4. The area of the rectangle is 213√16. The area of triangle (DFI) is 93√32. The area of (EHD) is 3√4. The area of (DEF) is 213√16−93√32−3√4−73√32=93√16.Đáp án: 93√16. Question 7. Let ABCDE be a convex pentagon. If the areas of triangles ABC,BCD,CDF,DEA, and EAB are all 2 cm2, what is the area of ABCDE?Lời giải. Vì diện tích hai tam giác EAB,CCAB bằng nhau nên AB||EC. Tương tự, BC,CD,DE,EA theo thứ tự song song với AD,BE,CA,DB. Gọi M là giao điểm của AC với BE. Vì area(EAB)=area (CAB), nên area(AEM)=area(BCM)=x. Lại có tứ giác EMCD là hình bình hành nên Area(CEM)=Area(CED)=2. Từ đó suy rax2−x=area(AEM)area(ABM)=EMBM=area(CEM)area(CBM)=2x.Do đó, x2+2x−4=0. Giải phương trình này, ta được x=5√−1. Từ đây, ta thu đượcarea(ABCDE)=area(ABE)+area(CED)+area(CEM)+area(BCM)=6+5√−1=5+5√. Question 7. Solve the simultaneous equationsx+y≤1,2xy+1x2+y2=10.Lời giải. Let s=x+y, p=xy. Then s2=x2+y2+2p or x2+y2≤1−2p. Hence, we have 2p+11−2p≥10.Simple manipulations give 2−4p+p≥10p(1−2p).20p2−13p+2≥0.The discriminant of the quadratic equation is 169−160=9. Hence, p=(13±3)40, or p=25, p=14. That is,20(p−25)(p−14)≥0.We have p≤14 from the fact that 4xy≤(x+y)2. This implies that the last inequality is true. Equality occurs when p=14, and s=1. Hence,x=y=12. Question 8. If a,b,c,d,e are positive real numbers such that (x+a)(x+b)(x+c)=x3+3dx2+3x+e3,for all x∈R,what is the minimum value of d?Lời giải. Expanding the lefthand side of the equation gives x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+3dx2+3x+e3.Comparing the coefficients gives a+b+c=3d,ab+bc+ca=3,abc=e3.Notice that (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),for all a,b,c∈R.This implies that 9d2≥3×3, or d≥1. Hence, the minimum value of d is 1. Question 9. Solve the system {1x+1y3x+2y=16,=56.Lời giải. Let 1x=a, 1y=b. Then a+b=16 and 3a+2b=56. Solving these simultaneous equations gives a=12, b=−13. Hence, x=2, y=−3.Question 10. Consider the set of all rectangles with a givenperimeter p. Find the largest value ofM=S2S+p+2.where S is denoted the area of the rectangle.Lời giải. Let a,b be the sidelength of a rectangle in the set. Then S=ab and p=2(a+b). Notice that (a+b)2≥4ab for all a,b. We have S≤p216.That is p≥4S√. Hence 2S+p+2≥2S+4S√+2=2(S√+1)2. Hence, M≤12(S√S√+1)2=12(1−1S√+1)2≤12.Answer: 12.Question 11. If f(x)=ax2+bx+c satisfies the condition|f(x)|