Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 bằng 45o.. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy
Trang 1Gợi ý giải đề thi môn toán khối A - 2008
ĐỀ BÀI
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
x 3m
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1
2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45o
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình
3
2
π
π
2 Giải hệ phương trình
4 2
5
4 5
4
+ + + + = −
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
d :
1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Câu 4 (2 điểm)
0
tg x
cos2x
π
=∫
2 Tim các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
42x+ 2x 2 6 x 2 6 x+ 4 − + − =m (m∈¡ )
PHẦN RIÊNG thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
Câu V.a Theo chương trình không phân ban (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5
nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20
2 Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + + anxn , trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1, , an thỏa mãn hệ thức a0 +a1
2 + nn
a
4096 Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, , an
Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1 Giải phương trình log2x – 1(2x2 + x – 1) + logx+ 1(2x – 1)2 = 4
2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’
BÀI GIẢI Câu I:
+ −
2
2
y
x 3
′ =
( ) ( )
= − ⇒ − = −
⇔
= − ⇒ − = −
o xlim y→−3 = ∞ ⇒ tiệm cận đứng : x = -3
o
x
4
x 3
o xlim y→−∞ = −∞, lim yx→+∞ = +∞,
xlim y3− , lim yx 3+
→− = −∞ →− = +∞
Bảng biến thiên Đồ thị:
Trang 22 mx2 (3m2 2 x 2) 6m 2
Gọi (Cm) là đồ thị hàm số (Cm) cĩ tiệm cận đứng d : x 3m 0 1 + = và cĩ tiệm cận xiênd : mx y 2 02 − − =
1
3
m 2
+
2
m 1
Câu II:
1)
3
2
π
π
π
2
π
≠
4
π
4
π
4
4
8 5
8
−π
= + π
−π
thỏa dk
2 2
5
4 (I) 5
4
−
Đặt :
2
v xy
2
2
4
4
−
1
2
−
−
=
3 3
5
4
3 y
y 16
=
Câu III
1 Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
⇒H(1+2t;t;2+2t)
⇒AHuuur=(2t 1;t 5;2t 1− − − )
d
auur= 2;1;2
d
AHuuur⊥auur ⇔2 2t 1( − + − +) t 5 2 2t 1( − =) 0⇔ =t 1
⇒H(3;1;4)
2y z 2 0
− + =
(α) cĩ dạng:m x 2y 1( − − +) (n 2y z 2− + =) 0 m( 2+n2 ≠0)
O -3 -2
y
-1 2
-9
-5
-2
x y’
y
+
-9
-1
Trang 3( )
−
d A,
d A,
5
5
2
d A,
α =
2
2
2
d A,
− +
÷
Đặt
2
2
f (t)
− +
=
m t n
=
2
'
2 2
f (t)
−
=
− +
Bảng biến thiên suy ra: f(t) ≤ 29 ⇒ d(A, )α ≤ 3 2 với n 0∀ ≠ (2)
(1) và (2) suy ramaxd A( ,( )α ) = 3 2 , xảy ra khi: t= −1 ⇔ m 1
n = − Cho n = -1⇒ m =1
⇒ phương trình (α) cần tìm: x - 4y +z - 3= 0
Cách khác
Gọi ( ) α0 là mp chứa (d), vuông góc AH
( ) α là mp chứa (d), K là hình chiếu vuông góc của A lên ( ) α
Ta có: d A( ,( )α ) =AK AH d A≤ = ( ,(α0))
maxd A,( )α AH
Vậy pt ( ) α cần tìm: x−4y z+ − =3 0
Câu IV:
0
tg x
cos 2x
π
2 0
1 tg x
π
+
−
3
2
0
t
1 t
=
−
2
0 0
+
−
∫
+
2) 42x+ 2x 2 6 x 2 6 x+ 4 − + − =m (1) ĐK: 0 x 6≤ ≤
Xem hàm số y=42x+ 2x 2 6 x 2 6 x , x+ 4 − + − ∈[ ]0;6
−
−
α
A
d
0
α
H K
x y
0 0
6
π
3 3
x f(t)
-∞
0
2 9
1 5
1
f’(t)
Trang 4
( )3 ( )3
−
4 4
4
2x 6 x
2 2x 6 x
−
−
4 4
4
2x 6 x
2 2x 6 x
− +
−
−
4
Bảng biến thiên:
(1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
4 4
(HS có thể chứng tỏ y′′< ⇒0 y′ nghịch biến trên (0;6) và do y 2′( )=0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình y′ =0)
Câu Va.
1 Phương trình chính tắc có dạng:x22 y22 1(a b 0)
a +b = > >
Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 20 ⇔ + =a b 5 ⇔ = −b 5 a(0 < a < 5)
2 2 2
9
Phương trình chính tắc elip là
2 2
1
1 2x+ =a +a x a x+ + + a x (1)
2
12
k 0
=
k 12
Xét ak ≤ ak+1 (k = 0, ,11) ⇔ k ≤ 23
a < < a
≥ ≥
a8 = 28 8
12
C >29 9
12 9
Vậy số lớn nhất trong các số a0,a1, .,a12 là 8 8
8 12
Câu V.b:
1) ĐK:
1
x
2
x 1
>
≠
2x 1
2
−
−
+
2
( )
2x 1 2x 1
x 2
x 4
x 0 (loai)
−
−
=
+ =
4
=
2) Gọi M là trung điểm BC
∆vuông AMA’: A M' 2 =AA'2−AM2
A M' 2=4a2−a2=3a2
⇒ A’M a 3=
'
' ABC
A ABC
1
AB.AC.A M
3 2
6
2
=
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ
z
A
S B S
C S
A’
S B’
S
C’
S
M S
x
y’
y
0
412(1 + 412)
4 4
Trang 5A ; ;a 3
, M2; 2 ;0÷÷
Đường thẳng AA’ có vtcp là ar=(1; 3; 2 3)
Đường thẳng B’C ‘có vtcp là br= −( 1; 3; 0) (do B’C’//BC)
r r
r r
r r 1 cos cos ,
4
a b
a b
a b
ϕ
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Th.s Phan Trường Linh, Tôn Thất Tứ, Th.s Trần Nhân.
Trung Tâm BDVH SÀI GÒN TRI THỨC
